2015-2016学年高中数学 2.3.1双曲线及其标准方程.

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·选修1-1圆锥曲线与方程第二章§3双曲线3.1双曲线及其标准方程第二章课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1课前自主预习1.了解双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程．2．会用待定系数法求双曲线的标准方程.类比椭圆的定义我们可以给出双曲线的定义在平面内到两个定点F1、F2距离之_____的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的_____，两焦点之间的距离叫作双曲线的_____.双曲线的定义差焦点焦距1.焦点在x轴上的双曲线的标准方程为________________，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为__________________．2．在双曲线的标准方程中a、b、c的关系为__________.双曲线的标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)a2＋b2＝c21.定义中为何强调“绝对值”和“02a|F1F2|”．(1)在双曲线的定义中，条件02a|F1F2|不应忽视，若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是两条射线；若2a|F1F2|，则动点的轨迹是不存在．(2)双曲线定义中应注意关键词“绝对值”，若去掉定义中“绝对值”三个字，动点轨迹只能是双曲线的一支．2．对比是学习数学中常用的有效的学习方法，应用对比的学习方法常能起到巩固旧知识，深化对新知识的理解的作用，也能有效的避免知识的混淆．在学习双曲线知识时，要时时留意与椭圆进行对比．椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系.椭圆双曲线定义|MF1|＋|MF2|＝2a定义|MF1|－|MF2|＝±2a因为ac0，所以令a2－c2＝b2(b0)因为0ac，所以令c2－a2＝b2(b0)x2a2＋y2b2＝1或y2a2＋x2b2＝1(ab0)x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0，a不一定大于b)3.通过比较两种不同类型的双曲线方程x2a2－y2b2＝1和y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，可以看出，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上.1.已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是()A．||PF1|－|PF2||＝5B．||PF1|－|PF2||＝6C．||PF1|－|PF2||＝7D．||PF1|－|PF2||＝0[解析]A中，∵|F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝5|F1F2|，故运点P的轨迹是双曲线；B中，∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点)；C中，∵||PF1|－|PF2||＝7|F1F2|，∴动点P的轨迹不存在；D中，∵||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选A.[答案]A[方法规律总结]注意双曲线定义中的“小于|F1F2|”这一限制条件，其依据是“三角形两边之差小于第三边”．实际上，(1)若2a＝|F1F1|，即||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，根据平面几何知识，当|PF1|－|PF2|＝|F1F2|时，动点轨迹是以F2为端点的一条射线；当|PF2|－|PF1|＝|F1F2|时，动点轨迹是以F1为端点的一条射线；(2)若2a|F1F2|，即||PF1|－|PF2|||F1F2|，则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾，故动点轨迹不存在；(3)特别地当2a＝0时，|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．2．双曲线x225－y29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为()A．22或2B．7C．22D．2[答案]A[解析]∵a2＝25，∴a＝5，由双曲线定义可得||PF1|－|PF2||＝10，由题意知|PF1|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝22或2.3．在方程mx2－my2＝n中，若mn0，则方程的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线[答案]D[解析]方程mx2－my2＝n可化为：y2－nm－x2－nm＝1，∵mn0，∴－nm0，∴方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线．4．(2014·山师大附中高二期中)双曲线的焦点为(6,0)，(－6,0)，且经过点A(6，－5)，则其标准方程为()A.x216－y220＝1B．y216－x220＝1C.y220－x216＝1D．y245－x29＝1[答案]A[解析]由条件知c＝6，焦点在x轴上，排除B、C、D；又双曲线经过点A(6，－5)，故选A.5．满足下列条件的点P(x，y)的轨迹是什么图形？(1)|x＋52＋y2－x－52＋y2|＝6；(2)x＋42＋y2－x－42＋y2＝6.[答案](1)以(－5,0)，(5,0)为焦点的双曲线；(2)以(－4,0)，(4,0)为焦点的双曲线的右支．课堂典例探究待定系数法求双曲线的标准方程(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线经过点(3，－42)和(94，5)，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．[分析]可先设出双曲线的标准方程，再构造关于a、b的方程组，求得a、b，从而求得双曲线的标准方程．注意对平方关系c2＝a2＋b2的运用．[解析](1)由已知可设所求双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则32a2－9b2＝125a2－8116b2＝1，解得a2＝16b2＝9.∴双曲线的标准方程为y216－x29＝1.(2)解法一：设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由题意易求得c＝25.又双曲线过点(32，2)，∴322a2－4b2＝1.又∵a2＋b2＝(25)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.解法二：设双曲线方程为x216－k－y24＋k＝1，将点(32，2)代入得k＝4，∴所求双曲线方程为x212－y28＝1.[方法规律总结]1.利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两坐标轴都有可能．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，焦点不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(m·n0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a、b(或m、n)的方程组；(4)得方程：解方程组，将a、b、c(或m、n)的值代入所设方程即为所求．2．在求过两定点的椭圆方程时，我们曾经将椭圆方程设为mx2＋my2＝1(m0，n0)以简化运算，同理求经过两定点的双曲线方程也可设为mx2＋ny2＝1，但这里应有m·n0.求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点A(－5，6)，________；(2)与椭圆x216＋y225＝1共焦点，且过点(1，－52)，________.[答案](1)y216－x220＝1(2)y25－x24＝1[解析](1)解法一：由已知得，c＝6，且焦点在y轴上，则另一焦点坐标是(0,6)．因为点A(－5,6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，即2a＝|－52＋6＋62－－52＋6－62|＝|13－5|＝8，得a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.因此，所求的双曲线标准方程是y216－x220＝1.解法二：由焦点坐标知c＝6，∴a2＋b2＝36，∴双曲线方程为y2a2－x236－a2＝1.∵双曲线过点A(－5,6)，∴36a2－2536－a2＝1，∴a2＝16，b2＝20.双曲线方程为y216－x220＝1.(2)由x216＋y225＝1知焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则有254a2－1b2＝1，a2＋b2＝9.∴a2＝5，b2＝4.∴所求的双曲线的方程为y25－x24＝1.双曲线的定义在解题中的应用已知双曲线的方程是x216－y28＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点)．[解析]设双曲线的另一个焦点为F2，连接PF2，ON是三角形PF1F2的中位线，所以|ON|＝12|PF2|，因为||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝10，所以|PF2|＝2或18，|ON|＝12|PF2|＝1或9.在双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)中，F1、F2是两焦点，P在双曲线上，若PF1→·PF2→＝0，tan∠PF1F2＝2，则a－ba＋b＝________.[答案]－13[解析]因为P在双曲线上，且PF1→·PF2→＝0，所以△PF1F2是直角三角形．又因为tan∠PF1F2＝2，所以|PF2|＝2|PF1|.根据双曲线的定义有|PF2|－|PF1|＝2a，所以|PF2|＝4a，|PF1|＝2a，于是|F1F2|＝25a，即2c＝25a，所以c＝5a，于是b＝2a，故a－ba＋b＝a－2aa＋2a＝－13.双曲线的焦点三角形设双曲线x24－y29＝1，F1，F2是其两个焦点，点P在双曲线右支上．(1)若∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积；(2)若∠F1PF2＝60°时，△F1PF2的面积是多少？若∠F1PF2＝120°时，△F1PF2的面积又是多少？[分析]由于三角形面积S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sinθ，所以只要求出|PF1||PF2|即可．因此可考虑用双曲线定义及余弦定理求出|PF1|·|PF2|.[解析](1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝13，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1r2)，如图所示．由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4，两边平方得r21＋r22－2r1r2＝16.∵∠F1PF2＝90°，∴r21＋r22＝4c2＝4×(13)2＝52.∴2r1r2＝52－16＝36，∴S△F1PF2＝12r1r2＝9.(2)若∠F1PF2＝60°，在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝r21＋r22－2r1r2cos60°＝(r1－r2)2＋r1r2，而r1－r2＝4，|F1F2|＝213，∴r1r2＝36.于是S△F1PF2＝12r1r2sin60°＝12×36×32＝93.同理可求得若∠F1PF2＝120°时，S△F1PF2＝33.[方法规律总结]在椭圆的研究中我们已经体验了定义在解决有关曲线上的点到焦点距离问题中的作用，同样在双曲线中也应注意定义的应用．已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题，往往利用正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出关系式．若F1、F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点，P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．[解析]由双曲线的对称性，可设点P在第一象限，由双曲线的方程，知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝6.上式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋64＝100，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0.∴∠F1PF2＝90°.[方法规律总结]双曲线的焦点三角形是常见的命题着眼点，在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点．另外，还经常结合|PF1|－|PF2|＝±2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系，