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第页共15页中考数学创新题---折叠剪切问题1中考数学创新题-------折叠剪切问题折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题,学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.一.折叠后求度数【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC、BD为折痕,则∠CBD的度数为()A.600B.750C.900D.950【2】如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于()A.50°B.55°C.60°D.65°答案:【3】用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如图(1)所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示的正五边形ABCDE,其中∠BAC=度.答案:二.折叠后求面积【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠,使AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED以DE为折痕向右折叠,AE与BC交于点F,则△CEF的面积为()A.4B.6C.8D.10图(1)第3题图CDEBA图(2)第页共15页中考数学创新题---折叠剪切问题2【5】如图,正方形硬纸片ABCD的边长是4,点E、F分别是AB、BC的中点,若沿左图中的虚线剪开,拼成如下右图的一座“小别墅”,则图中阴影部分的面积是A.2B.4C.8D.10【6】如图a,ABCD是一矩形纸片,AB=6cm,AD=8cm,E是AD上一点,且AE=6cm。操作:(1)将AB向AE折过去,使AB与AE重合,得折痕AF,如图b;(2)将△AFB以BF为折痕向右折过去,得图c。则△GFC的面积是()EAAABBBCCCGDDDFFF图a图b图c第6题图第页共15页中考数学创新题---折叠剪切问题3A.1cm2B.2cm2C.3cm2D.4cm2三.折叠后求长度【7】如图,已知边长为5的等边三角形ABC纸片,点E在AC边上,点F在AB边上,沿着EF折叠,使点A落在BC边上的点D的位置,且EDBC,则CE的长是()(A)10315(B)1053(C)535(D)20103四.折叠后得图形【8】将一张矩形纸对折再对折(如图),然后沿着图中的虚线剪下,得到①、②两部分,将①展开后得到的平面图形是()A.矩形B.三角形C.梯形D.菱形【9】在下列图形中,沿着虚线将长方形剪成两部分,那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是()A.B.C.D.【10】小强拿了张正方形的纸如图(1),沿虚线对折一次如图(2),再对折一次得图(3),然后用剪刀沿图(3)中的虚线(虚线与底边平行)剪去一个角,再打开后的形状应是()ABCDEF第7题图第8题图第9题图第10题图第页共15页中考数学创新题---折叠剪切问题4【11】如图,把矩形ABCD对折,折痕为MN(图甲),再把B点叠在折痕MN上的B'处。得到RtABE'(图乙),再延长EB'交AD于F,所得到的EAF是()A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形【12】将一圆形纸片对折后再对折,得到图1,然后沿着图中的虚线剪开,得到两部分,其中一部分展开后的平面图形是()【13】如图1所示,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下,则所得的图形是()【14】如图,已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边,AD⊥BC,AD=BC.将此三角形纸片沿AD剪开,得到两个三角形,若把这两个三角形拼成一个平面四边形,则能拼出互不全等的四边形的个数是()A.1B.2C.3D.4第14题图ABCD图3图1第12题图第页共15页中考数学创新题---折叠剪切问题5五.折叠后得结论【15】亲爱的同学们,在我们的生活中处处有数学的身影.请看图,折叠一张三角形纸片,把三角形的三个角拼在一起,就得到一个著名的几何定理,请你写出这一定理的结论:“三角形的三个内角和等于_______°.”【16】如图,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,则A与12之间有一种数量关系始终保持不变,请试着找一找这个规律,你发现的规律是()A.A12B.212AC.3212AD.)21(23A【17】从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1),然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2),上述操作所能验证的等式是(A.a2–b2=(a+b)(a-b)B.(a–b)2=a2–2ab+b2C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.a2+ab=a(a+b)【18】如图,一张矩形报纸ABCD的长AB=acm,宽BC=bcm,E、F分别是AB、CD的中点,将这张报纸沿着直线EF对折后,矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比,则a∶b等于().A.1:2B.2:1C.1:3D.3:1六.折叠和剪切的应用【19】将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G(如图).(1)如果M为CD边的中点,求证:DE∶DM∶EM=3∶4∶5;(2)如果M为CD边上的任意一点,设AB=2a,问△CMG的周长是否与点M的位置有关?若有关,请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示;若无关,请说明理由.第15题图(1)第17题图(2)ABCDEFMG第19题图第页共15页中考数学创新题---折叠剪切问题6【20】同学们肯定天天阅读报纸吧?我国的报纸一般都有一个共同的特征:每次对折后,所得的长方形和原长方形相似,问这些报纸的长和宽的比值是多少?【21】用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形.(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的EBACBAMCDM图3图4图1图2第21题图第页共15页中考数学创新题---折叠剪切问题7边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米,且a、b恰好是关于x的方程01)1(2mxmx的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.【22】电脑CPU蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成,未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片,叫“晶圆片”。现为了生产某种CPU蕊片,需要长、宽都是1cm的正方形小硅片若干。如果晶圆片的直径为10.05cm。问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?请说明你的方法和理由。(不计切割损耗)第页共15页中考数学创新题---折叠剪切问题8【23】在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内,要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH(见方案一),张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC,∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF(见方案二),请你通过计算,比较李颖同学和张丰同学的折法中,哪种菱形面积较大?【24】正方形提供剪切可以拼成三角形。方法如下:ADEHFBCG(方案一)ADEFBC(方案二)第23题图第24题图(1)第页共15页中考数学创新题---折叠剪切问题9仿上面图示的方法,及韦达下列问题:操作设计:(1)如图(2),对直角三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原三角形等面积的矩形。(2)如图(3)对于任意三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个原三角形等面积的矩形。【25】如图,⊙O表示一圆形纸板,根据要求,需通过多次剪裁,把它剪成若干个扇形面,操作过程如下:第1次剪裁,将圆形纸板等分为4个扇形;第2次剪裁,将上次得到的扇形面中的一个再等分成4个扇形;以后按第2次剪裁的作法进行下去.(1)请你在⊙O中,用尺规作出第2次剪裁后得到的7个扇形(保留痕迹,不写作法).(2)请你通过操作和猜想,将第3、第4和第n次裁剪后所得扇形的总个数(S)填入下表.第24题图(2)第24题图(3)第25题图O第页共15页中考数学创新题---折叠剪切问题10等分圆及扇形面的次数(n)1234…n所得扇形的总个数(S)47…(3)请你推断,能不能按上述操作过程,将原来的圆形纸板剪成33个扇形?为什么?【26】如图,若把边长为1的正方形ABCD的四个角(阴影部分)剪掉,得一四边形A1B1C1D1.试问怎样剪,才能使剩下的图形仍为正方形,且剩下图形的面积为原正方形面积的95,请说明理由(写出证明及计算过程).第页共15页中考数学创新题---折叠剪切问题111.答案:C2.答案:A3.答案:36°4.答案:C5.答案:B6.答案:B7.答案:D8.答案:D9.答案:D10.答案:D11.答案:B12.答案:C13.答案:C14.答案:D15.答案:18016.答案:B17.答案:A18.答案:A19.答案:(1)先求出DE=AD83,ADDM21,ADEM85后证之.(2)注意到△DEM∽△CMG,求出△CMG的周长等于4a,从而它与点M在CD边上的位置无关.20.答案:2∶1.21.答案:(1)如图(2)由题可知AB=CD=AE,又BC=BE=AB+AE∴BC=2AB,即ab2由题意知aa2,是方程01)1(2mxmx的两根∴1212maamaa消去a,得071322mm解得7m或21mBACBAMCEM图3图4E第21题答案图第页共15页中考数学创新题---折叠剪切问题12经检验:由于当21m,0232aa,知21m不符合题意,舍去.7m符合题意.∴81mabS矩形答:原矩形纸片的面积为8cm2.22.答案:可以切割出66个小正方形。方法一:(1)我们把10个小正方形排成一排,看成一个长条形的矩形,这个矩形刚好能放入直径为10.05cm的圆内,如图中矩形ABCD。∵AB=1BC=10∴对角线2AC=100+1=101<205.10(2)我们在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小正方形。GFHEDCBA∵新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可看成矩形EFGH,矩形EFGH的长为9,高为3,对角线9098139222EG<205.10。但是新加入的这两排小正方形不能是每排10个,因为:109910031022>205.10(3)同理:8925645822<205.1010625815922>205.10∴可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形,那么现在小正方形已有了5层。(4)再在原来的基础上,上下再加一层,共7层,新矩形的高可以看成是7,那么新加入的这两排,每排都可以是7个但不能是8个。∵9849497722<205.1011349647822>205.10(5)在7层的基础上,上下再加入一层,新矩形的高可以看成是9,这两层,每排可以是4个但不能是5个。∵9781169422<205.1010681259522>205.10第页共15页中考数学创新题---折叠剪切问题13现在总共排了9层,高度达到了9,上下各剩下约0.5cm的空间,因为矩形ABCD的位置不能调整,故再也放不下一个小正方形了。∴10+2×9+2×8+2×7+2×4=66(个)方法二:学生也可能按下面的方法排列,只要说理清楚,评分标准参考方法一。可以按9个正方形排成一排,叠4层,先放入圆内,然后:(1)上下再加一层,每层8个,现在共有6层。(2)在前面的基础上,上下各加6个,现在共有8层。(3)最后上下还可加一层,但每层只能是一个,共10层。这样共有:4×9+2×8+2×6+2×1=66(个)23.答案:(方案一)4151254622AEHSSS矩形菱形230(cm)(方案二)设BE=x,则CE=12-x22225AEBEABx由AECF是菱形,则AE2=CE22225(12)xx11924x2ABESSS矩形菱形=11191252522435.21(m)
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