1.2-概率法计算生活给水管道设计流量

1概率法计算生活给水管道设计流量陈和苗（宁波市建筑设计研究院，浙江省宁波市315012）摘要：提出采用概率法计算住宅类建筑生活给水管道设计流量。建立了二项分布模型与正态分布模型。对单一变量的正态模型与多变量的正态模型比较，得出单一变量分布函数简化完全可行的结论。分析了保证率、卫生器具使用频率等因素对设计流量的影响。推导出概率法流量公式的通式。概率法计算生活给水设计流量科学、准确，由概率法计算的流量与实测流量相符。关键词：生活给水管道；设计流量；概率法；二项分布模型；正态分布模型中图分类号：TUJ991.32InvestigationonCalculatingtheDesignFlowinPotableWaterPipelinebyProbabilityMethodCHENHe-miao(NingboArchitecturedesign&ResearchInstitute)Abstract:Proposetouseprobabilitytheorytocalculatethedesignflowinpotablewaterpipelinesinresidentialbuildings.Establishthebinomialrandomdistributionmodelandnormalrandomdistributionmodel.Concludethatthefunctionofmono-variablenormalrandomcouldsimplifythefunctionofpoly-variablenormalrandom.Analysesthereliabilityandthefrequencyoffixtureuseinfluencingdesignflow.Theflowrategotbyprobabilitytheorytallieswithwhichgotbymeasuredreally.Theprobabilitymethodismorescientificandmorereliablethanthenormalformula.Keywords:Portablewaterpipeline；Designflow；Probabilitytheory;binomialrandomdistributionmodel;normalrandomdistributionmodel21引言生活给水管道设计流量是给水系统中最重要的技术参数之一，因此研究合理的设计流量计算方法具有重要的现实意义。《建筑给水排水设计规范》GB50015-2003（以下简称规范）是小区及建筑物内给排水设计的主要依据。规范所列的住宅建筑内的生活给水管道的设计流量计算公式是原平方根法计算公式的改良，通过计算“最大用水时卫生器具给水当量平均出流率”U0，一定程度上可以体现建筑物内卫生器具的完善程度、用水量定额、生活习惯等因素与设计流量的关系，较之前的GBJ15-88·1997版的平方根法，更加丰富、详实、严谨。但是按此计算方法所得的结果与实际情况存在矛盾，主要表现在：在管段当量数较小时，按规范计算所得的流量偏大；当给水当量较大时，计算所得的设计流量可能偏小。亨脱（Hunter）应用概率论来确定室内生活给水管道的设计流量，并在美、英、日诸国得到采用。在国内，已经采用概率法计算管道直饮水系统的设计秒流量。人们何时使用何种卫生器具属随机事件，应服从离散型随机变量的二项分布，因此生活给水系统的设计流量亦可按概率法计算。2、实测数据镇祥华在2002.6-8月期间对某住宅小区作用水量的调查和实测工作。实测结果发现最高日最大时用水量Qh与平均时用水量Qp的的比值Kh（即时变化系数）能较好地符合规范；发现在最大小时用水时间内，其每分钟的流量并不是均匀不变。若以5分钟高峰流量的平均秒流量作为设计流量qg，实测的qg与服务人数的对应关系见表4.2实测的3500人小区最高日用水量曲线见图2.1。实测最大流量发生时（20：00～22：00）的每分钟的流量曲线见图2.2。343数学模型3.1二项分布模型：以镇祥华的样本为例：每户当量Ng=2.5；用水定额150L/(人.d)；户均3.5人；用水时数：24h；时变化系数:Kh=2.5。总户数F。最大时流量的平均秒流量Qs：Qs=F·3.5·150·2.5/(24·3600)=0.0152F（1）最大用水时卫生器具给水当量的平均出流概率U0：U0＝150·3.5·2.5/(0.2·2.5·24·3600)=0.03=3%.（2）Qs与总量N、平均出流概率U0的关系：Qs＝N·U0·0.2（3）实际上，在用水高峰时段，如在20：00～21：00时，洗浴、冲厕、烹饪、洗衣等设施使用频率并不相同。U0反映的是不同卫生设备在高峰时段的加权平均使用频率，N·U0表达全部卫生设备在高峰时段的平均使用数。从严格意义，应实测各不同卫生器具在这高峰时段各自的用水概率，再依据概率原理进行组合计算，确定设计流量。在现阶段，实测各不同卫生器具的各自用水概率不太可能，且从本文的计算结果可知，采用平均出流概率U0代替卫生器具使用概率p在实际工程的设计中能保证足够精度。在以下计算中，以1个当量的卫生器具计为一个龙头，忽略不同卫生器具的种类与动作规律。根据Hunter的定义，在N个水龙头中，若0～m个水龙头使用概率的总和不小于99%，则m为设计流量发生时的同时使用水龙头个数，可得设计秒流量Q：Q=m·q0（4）N个龙头在所观察时刻有m个同时被使用的概率是P：5P｛X=m｝=mNmppmN1（m=0，1，…N）(5)式中P—m个龙头同时用水概率；mN为在N个不同元素中，每次取出m个不同元素，不管其顺序合并成一组的组合种数。mN＝)!(!!mNmNm—N个龙头在所观察时段同时使用的个数；N—管道供水龙头总数。p—所观察时刻，一个龙头使用的概率。在N个水龙头中，若0～m个水龙头使用概率的总和不小于99%，表达式为：mKP0｛X=k｝≥0.99(6)或kNkmKppkN10≥0.99（7）若通过计算求得符合上式的m值，则依据（4）式可求得管道流量。在同样的保证率0.99时，此计算结果与规范附录E饮用净水的计算相一致。同样，对于0.917的保证率也可得到相应数据，计算结果见于表4.1。3.2单一变量的正态分布模型根据棣莫弗－拉普拉斯极限定理，当N很大，且N•p5，N•p(1-p)5时，服从二项分布B（N，p）的随机变量X可用正态分布N(μ,σ2)作近似计算。N个龙头在所观察时刻有m个同时被使用的概率是P：P｛X=m｝=N(μ,σ2)=N｛N•p,N•p(1-p)｝（8）6对于1000户的小区，N＝2500，p＝0.03时，μ＝N•p＝75，（9）σ2＝N•p(1-p)＝72.75。（10）在N个水龙头中，若0～m个水龙头使用概率的总和P：P｛X≤m｝=mKP0=))1((pNpNpm-｛1-))1((pNpNp｝（11）式中N、m、p同式（5）。（x）是标准正态分布N（0，1）的分布函数值（概率积分值）。当N500时，))1((pNpNp＝)3.4(=1P｛X≤m｝＝mKP0≈))1((pNpNpm（12）为了使管道在高峰时以0.99概率保证供水即：（)1(pNpNpm）=0.99（13）查正态分布表有x＝)1(pNpNpm=2.33，（14）即NppNpm)1(33.2（15）则设计流量(L/S)qg=0.2·m=0.2·)1(33.2pNp＋0.2N•p（16）或qg=1.026Np0.2＋0.2N•p(17)或设计流量(L/S)qg=1.026Qs＋Qs(18)或设计流量(L/S)qg=0.0795N＋0.006N(19)同样，对于0.917的保证率，相当于在最大用水1小时中，有＜5分钟不能保证，x＝1.38，可以求得m：7NppNpm)1(38.1(20)或设计流量(L/S)qg=0.608Qs＋Qs(21)或设计流量(L/S)qg=0.047N＋0.006N(22)（11）～（22）式尽管为在N500时，根据正态分布函数得出的结果，但经过验算，在N＞75时，按此式得到的使用龙头数与用二项分布模型求得的使用龙头数吻合得很好。可见用正态分布函数可以简化计算二项分布概率问题。（19）、(22)式由第一项N与第二项N组成，N前的系数相当于单个龙头使用概率。（19）、(22)式的形式与原平方根法公式完全一致，但含义完全不同。在（19）、(22)式中，当N较大时，第二项为流量的主要贡献者；在平方根法中，则为修正项。3.3多个独立变量的正态分布模型3.3.1数学模型事实上，建筑物内存在多种卫生器具，洗浴、冲厕、烹饪、洗衣等设施使用频率并不相同，其单个设备的额定流量也不同，按3.2节采用单一卫生器具简化计算存在误差。某实测的卫生器具使用频率见表3.1。8某实测的卫生器具使用频率表3.11洗脸盆2洗涤盆3淋浴器4座便器给水当量d额定流量e（L/s）使用频率p0.80.160.0130.70.140.0320.50.10.0210.50.10.063卫生器具给水当量平均出流率U0U0＝(0.8·0.013+0.7·0.032+0.5·0.021+0.5·0.063)/(0.8+0.7+0.5+0.5)=0.03若上述四类卫生器具的动作个数分别为m1、m2、m3、m4，则设计流量q：q＝41Kei·mi=0.16m1+0.14m2+0.10m3+0.1m4=0.2(0.8m1+0.7m2+0.5m3+0.5m4)=0.241Kdi·mi(23)若把上述混合器具（存在四类卫生器具）管道中的设计流量q折算为当量为1、额定流量为0.2L/s的龙头数量为m：m＝41Kei·mi=0.8m1+0.7m2+0.5m3+0.5m4=41Kdi·mi(24)因上述四类卫生器具Xi（i=1，2，3，4）是服从正态分布的独立随机变量，为其参数分别为μi,σ2i（i=1，2，3，4），则混合器具中作用龙头数量总和m也服从正态分布，其参数分别为μ＝41Kdi·μi,σ2＝41Kdi2·σi2。对于1000户的小区，9μ＝41Kdi·μi＝41Kdi·Ni·pi＝0.8·1000·0.013+0.7·1000·0.032+0.5·1000·0.021+0.5·1000·0.063=1000·0.075＝75（25）σ2＝41Kdi2·σi2＝41Kdi2·Ni·pi(1-pi)＝0.82·1000·0.013(1-0.013)+0.72·1000·0.032(1-0.032)+0.52·1000·0.021(1-0.021)+0.52·1000·0.063(1-0.063)=1000·0.0433=43.3（26）根据（15），在P＝0.99时，则作用龙头数m：m=2.33σ+μ=2.333.43+75=90.3（27）3.3.2误差分析在镇详华所测的小区，可能产生最大流量的前提是，最大当量的卫生器具动作，其余均不动作，若表3.1中洗脸盆动作，p1=0.09375，则对于1000户的小区:μ＝41Kdi·μi＝41Kdi·Ni·pi＝0.8·1000·0.09375=1000·0.075＝75（28）σ2＝41Kdi2·σi2＝41Kdi2·Ni·pi(1-pi)＝0.82·1000·0.09375(1-0.09375)=1000·0.0544=54.4（29）根据（15）式，在0.99的保证率下，上述μ、σ2时的作用龙头数：m=0544.0100033.2+75=92.2（30）10若假定住宅内卫生器具的最大当量为1，没有当量数＜1的卫生器具，则此类住宅小区理论上产生最大的μ、σ2，理论上将发生最大设计流量。对于1000户的小区，用水设备为2500个当量数均为1卫生器具，pi=0.03