家家学网络名师小班辅导教案-二次函数解析式

2010年·暑假·短期班二次函数·第2讲·学生版page1of23板块考试要求A级要求B级要求C级要求二次函数能根据实际情境了解二次函数的意义；会利用描点法画出二次函数的图像能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；能从函数图像上认识函数的性质；会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题一、二次函数的图像与系数关系1.a决定抛物线的开口方向：当0a时抛物线开口向上；当0a时抛物线开口向下a决定抛物线的开口大小：a越大，抛物线开口越小；a越小，抛物线开口越大.注：几条抛物线的解析式中，若a相等，则其形状相同，即若a相等，则开口及形状相同，若a互为相反数，则形状相同、开口相反.2.b和a共同决定抛物线对称轴的位置.（对称轴为：2bxa）当0b时，抛物线的对称轴为y轴；当,ab同号时，对称轴在y轴的左侧；当,ab异号时，对称轴在y轴的右侧.3.c的大小决定抛物线与y轴交点的位置.（抛物线与y轴的交点为0c，）当0c时，抛物线与y轴的交点为原点；当0c时，交点在y轴的正半轴；当0c时，交点在y轴的负半轴.知识点睛中考要求第二讲二次函数的解析式2010年·暑假·短期班二次函数·第2讲·学生版page2of23二、二次函数的三种表达方式（1）一般式：20yaxbxca（2）顶点式：2yaxhk0a（3）双根式（交点式）：120yaxxxxa2.如何设点：⑴一次函数yaxb（0a）图像上的任意点可设为11xaxb，.其中10x时，该点为直线与y轴交点.⑵二次函数2yaxbxc（0a）图像上的任意一点可设为2111xaxbxc，.10x时，该点为抛物线与y轴交点，当12bxa时，该点为抛物线顶点．⑶点11xy，关于00xx，的对称点为010122xxyy，．4.如何设解析式：①已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式；②已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式；③已知抛物线与x的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式.④已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）注：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.一、二次函数图象分布与系数的关系重、难点1.灵活应用二次函数的三种表达形式，求二次函数解析式。2.二次函数图象平移、中心对称、轴对称后，系数间的关系。例题精讲2010年·暑假·短期班二次函数·第2讲·学生版page3of23【例1】⑴（07济南）已知2yaxbx的图象如下左图所示，则yaxb的图象一定过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限⑵（07常州）若二次函数222yaxbxa（ab，为常数）的图象如下中图，则a的值为（）A.2B.2C.1D.2⑶（07南宁）已知二次函数2yaxbxc的图象如下右图所示，则点Pabc，在第象限.OyxyxAOyxO【例2】（09湖北黄石）已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，有以下结论：①0abc；②1abc；③0abc；④420abc；⑤1ca其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤Oxy-111【例3】已知函数2yaxbxc（0a）的图象，如图所示．求证：22()acbOyx-11【例4】2yaxbxc的图象如图所示．并设|||||2||2|Mabcabcabab则（）A．0MB．0MC．0MD．不能确定M为正，为负或为0Oyx1-12010年·暑假·短期班二次函数·第2讲·学生版page4of23二、二次函数解析式的确定1.简单的二次函数解析式的确定【例5】已知一个二次函数过(0，0)，(1，11)，(1，9)三点，求二次函数的解析式.【例6】已知二次函数图象经过点(1A，3)，(0B，2)，(5C，3)三点，求此二次函数解析式.【例7】已知二次函数过点(0，1)，且顶点为(1，2).求函数解析式.【例8】求符合下列条件2yax的解析式：⑴通过点32，；⑵与212yx的图象开口大小相同，方向相反；⑶当自变量x的值由1增加到2时，函数值减少4.【例9】已知二次函数49，的图象顶点在y轴上，2cb，且经过点28P，点，求此二次函数的解析式．2010年·暑假·短期班二次函数·第2讲·学生版page5of23【例10】设二次函数2fxaxbxc，当3x时取得最大值为10，并且它的图象在x轴上截得的线段长为4．求fx．【例11】已知函数212yxx的图象与x轴交于相异两点A、B，另一抛物线2yaxbxc过A、B，顶点为P，且APB是等腰直角三角形，求a、b、c．2.在简单综合题中二次函数解析式的确定【例12】已知二次函数图象的对称轴平行于y轴，顶点为12，，且与直线2yxk相交于(21)，，试求：⑴二次函数的解析式；⑵k的值；⑶该二次函数的图象与直线2yxk的另一交点的坐标．【例13】已知二次函数22(2)4ymxmxn的图象的对称轴是直线2x，且它的最高点在直线112yx上．⑴求此二次函数的解析式；⑵若此二次函数的图象开口方向不变，定点在直线112yx上移动到M点时，图象与x轴恰好交于A、B两点，且8ABMS，求这时的二次函数的解析式．lMBAyxO2010年·暑假·短期班二次函数·第2讲·学生版page6of23【例14】已知抛物线2yaxacxc（其中ac）不经过第二象限．⑴判断这条抛物线的顶点00Axy，所在的象限，并说明理由；⑵若经过这条抛物线的点00Axy，的直线yxk与抛物线的另一个交点为acBca，，求抛物线的解析式．【例15】已知一次函数2yx的图象与反比例函数kyx的图象交于M、N两点，且MN=25．⑴求反比例函数的解析式；⑵若抛物线2yaxbxc经过M、N两点，证明此抛物线与x轴必有两个交点；⑶设⑵中的抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，若tantan3CABCBA，求此抛物线的解析式．（定义：在直角三角形中，的对边为a，邻边为b，则tanab）【例16】设直线ykxb与抛物线2yax的两个交点的横坐标分别是12,xx，且直线与x轴的交点的横坐标为3x，求证：123111xxx．2010年·暑假·短期班二次函数·第2讲·学生版page7of23【习题1】⑴下左图所示为二次函数2yaxbxc的图象，则一次函数byaxc的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限⑵二次函数2yaxbxc的图象的一部分如下右图所示，试求abc的取值范围.⑶（2008天津）已知，如图所示为二次函数2yaxbxc的图象，则一次函数yaxbc的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限Oyx-1-1OyxOyx【习题2】已知二次函数2223ymxmxm的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y轴的负半轴，则m的取值范围是_________________.【习题3】（09嘉兴）已知0a，在同一直角坐标系中，函数axy与2axy的图象有可能是（）【习题4】在同一坐标系中一次函数yaxb和二次函数2yaxbx的图象可能为（）家庭作业2010年·暑假·短期班二次函数·第2讲·学生版page8of23【习题5】已知一抛物线的形状与21722yx的形状相同.它的对称轴为2x，它与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式为_________.【习题6】已知：一条抛物线的形状和2yx相同且对称轴为12x，抛物线与y轴交于一点01，，求函数解析式.【习题7】已知二次函数2yaxbxc的对称轴为：2x，且经过点(1，4)、(5，0)，求二次函数的解析式.一、二次函数图象分布与系数的关系【例17】⑴（07济南）已知2yaxbx的图象如下左图所示，则yaxb的图象一定过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限⑵（07常州）若二次函数222yaxbxa（ab，为常数）的图象如下中图，则a的值为（）A.2B.2C.1D.2⑶（07南宁）已知二次函数2yaxbxc的图象如下右图所示，则点Pabc，在第象限.例题精讲2010年·暑假·短期班二次函数·第2讲·学生版page9of23OyxyxAOyxO【解析】⑴通过图象可以看出：0a，02ba，∴0b，∴一次函数yaxb的图象不经过第一象限.选C．⑵由图象可知220a且0a，∴2a，故选D．⑶由图象可知，0a，0b，0c∴0bc∴Pabc，在第三象限．【巩固】（09浙江台州）已知二次函数2yaxbxc的y与x的部分对应值如下表：x…1013…y…3131…则下列判断中正确的是（）A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴C.当4x时，0yD.方程20axbxc的正根在3与4之间【解析】D．【例18】（09湖北黄石）已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，有以下结论：①0abc；②1abc；③0abc；④420abc；⑤1ca其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤Oxy-111【解析】C【巩固】（08天门）已知二次函数20yaxbxca的图象如图所示，下列结论：①0abc；②20ab；③0abc；④0ac，其中正确结论的个数为（）2010年·暑假·短期班二次函数·第2讲·学生版page10of23A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】选C．【例19】已知函数2yaxbxc（0a）的图象，如图所示．求证：22()acbOyx-11【解析】方法一：根据图象得：0,0ac122bbaa224ba①又∵240bac，∴2440aac即：4()0aac∴220204()acacaaaacaac②由①②式得：22()acb方法二：根据图象得，当1x时0y，即0abc，∴()bac由0a，12ba得：0b当0x时0y得0c∴22()0()bacbac即：22()acb．【例20】2yaxbxc的图象如图所示．并设|||||2||2|Mabcabcabab则（）A．0MB．0MC．0MD．不能确定M为正，为负或为0Oyx1-1【解析】依题意得0a，012ba，∴0b，20ab，20ab，又当1x时，0yabc，当1x时，0yabc，故()()(2)(2)2()0Mabcabcabababc2010年·暑假·短期班二次函数·第2讲·学生版page11of23于是选C．【附加题】二次函数2yaxbxc的图象的一部分如图所示，求a的取值范围Oyx11【解析】根据二次函数图象可知0a，又此二次函数图象经过(10)，，(01)，则有0abc，1c，得(1)ba，于是22214(1)(1)1()24aaayaxaxaxaa根