家家学网络名师小班辅导教案-全等三角形与旋转问题

2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第4讲·学生版page1of31板块考试要求A级要求B级要求C级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题基本知识把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个角度，得到图形G，这样的由图形G到G变换叫做旋转变换，点O叫做旋转中心，叫做旋转角，G叫做G的象；G叫做G的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．知识点睛中考要求第四讲全等三角形与旋转问题2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第4讲·学生版page2of31【例1】如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是()．【例2】如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心()．A．顺时针旋转60°得到B．顺时针旋转120°得到C．逆时针旋转60°得到D．逆时针旋转120°得到GFEDCBA重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化重、难点例题精讲2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第4讲·学生版page3of31【例3】如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有()．A．1对B．2对C．3对D．4对KGFEDCBA【例4】已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．求证：ANBM．MDNECBFA【例5】如图，B，C，E三点共线，且ABC与DCE是等边三角形，连结BD，AE分别交AC，DC于M，N点．求证：CMCN．NMEDCBA【补充】已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．求证：CF平分AFB．MDNECBFA2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第4讲·学生版page4of31【补充】如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．请你证明：⑴ANBM；⑵DEAB∥；⑶CF平分AFB．MDNECBFA【例6】(2008年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．求证：AECG．GFEDCBA【例7】如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形，D是AN中点，E是BM中点，求证：CDE是等边三角形．MDNECBA2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第4讲·学生版page5of31【补充】(2008年全国初中数学竞赛海南区初赛)如下图，在线段AE同侧作两个等边三角形ABC和CDE(120ACE°)，点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则CPM是()PMBCDEAA．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．非等腰三角形【例8】如图，等边三角形ABC与等边DEC共顶点于C点．求证：AEBD．DECBA【例9】如图，D是等边ABC内的一点，且BDAD，BPAB，DBPDBC，问BPD的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．PDCBA【例10】(2005年四川省中考题)如图，等腰直角三角形ABC中，90B∠，ABa，O为AC中点，EOOF．求证：BEBF为定值．OBECFA2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第4讲·学生版page6of31【补充】如图，正方形OGHK绕正方形ABCD中点O旋转，其交点为E、F，求证：AECFAB．54321OHBEDKGCFA【例11】(2004河北)如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EAAF．求证：DEBF．FEDCBA【补充】如图所示，在四边形ABCD中，90ADCABC，ADCD，DPAB于P，若四边形ABCD的面积是16，求DP的长．PDCBA【例12】E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且45EAF∠，AHEF，H为垂足，求证：AHAB．CHFEDBA2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第4讲·学生版page7of31【例13】(1997年安徽省初中数学竞赛题)在等腰RtABC的斜边AB上取两点M、N，使45MCN，记AMm，MNx，BNn，则以x、m、n为边长的三角形的形状是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x、m、n的变化而变化MNCBA【巩固】如图，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分BAF交BC边于点E．⑴求证：AFDFBE．⑵设DFx(01x≤≤)，ADF与ABE的面积和S是否存在最大值？若存在，求出此时x的值及S．若不存在，请说明理由．FEDCBA【例14】(通州区2009一模第25题)请阅读下列材料：已知：如图1在RtABC中，90BAC，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若45DAE．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．图1ABCDE图2ABCDE2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第4讲·学生版page8of31【例15】(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．NMDCBA【例16】在等边ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为ABC外一点，且60MDN，120BDC，BDCD，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及AMN的周长与等边ABC的周长L的关系．⑴如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式__________；此时QL=__________⑵如图②，当点M，N在边AB，AC上，且DNDM时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；⑶如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_________(用x，L表示)2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第4讲·学生版page9of31【补充】(1)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．求证：EF＝BEFD;FEDCBA(2)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明．FEDCBA【例17】平面上三个正三角形ACF，ABD，BCE两两共只有一个顶点，求证：EF与CD平分．FEDCBA2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第4讲·学生版page10of31【例18】已知：如图，ABC、CDE、EHK都是等边三角形，且A、D、K共线，ADDK．求证：HBD也是等边三角形．EKHCDBA【例19】(1997年安徽省竞赛题)如图，在△ABC外面作正方形ABEF与ACGH，AD为△ABC的高，其反向延长线交FH于M，求证：(1)CFBH;(2)MHMFGHFMEDCBA【补充】以△ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG，求证：CE=BG，且CE⊥BG．OGFEDCBA2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第4讲·学生版page11of31【例20】(北京市初二数学竞赛试题)如图所示，在五边形ABCDE中，90BE，ABCDAE1BCDE，求此五边形的面积．EDCBA【例21】(希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题)在五边形ABCDE中，已知ABAE，BCDECD，180ABCAED，连接AD．求证：AD平分CDE．EDCBA【习题1】如图，已知ABC和ADE都是等边三角形，B、C、D在一条直线上，试说明CE与ACCD相等的理由．家庭作业2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第4讲·学生版page12of31EDCBA【习题2】(湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DFDE交BC的延长线于点F．求证：DEDF．FEDCBA【习题3】(2008山东)在梯形ABCD中，ABCD∥，90A，2AB，3BC，1CD，E是AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程．ABCDE【习题4】已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．CG、CH分别是ACN、MCB的高．求证：CGCH．2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第4讲·学生版page13of31HGNMCBA【备选1】在等腰直角ABC中，90ACB，ACBC，M是AB的中点，点P从B出发向C运动，MQMP交AC于点Q，试说明MPQ的形状和面积将如何变化．APMCQB【备选2】如图，正方形ABCD中，FADFAE．求证：BEDFAE．FEDCBA【备选3】等边ABD和等边CBD的边长均为1，E是BEAD上异于AD、的任意一点，F是CD上一点，满足1AECF，当EF、移动时，试判断BEF的形状．月测备选2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第4讲·学生版page14of31DFECBA【例22】如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是()．【解析】A【例23】如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心()．A．顺时针旋转60°得到B．顺时针旋转120°得到C．逆时针旋转60°得到D．逆时针旋转120°得到GFEDCBA【解析】D【例24】如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD交CE例题精讲2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第4讲·学生版page15of31于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有()．A．1对B．2对C．3对D．4对KGFEDCBA【解析】C【例25】已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．求证：ANBM．MDNECBFA【解析】∵ACM、CBN是等边三角形，∴MCAC，CNCB，ACNMCB∴ACNMCB≌，∴ANBM【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形．【例26】如图，B，C，E三点共线，且ABC与DCE是等边三角形，连结BD，AE分别交AC，DC于M，N点．求证：CMCN．NMEDCBA