家家学网络名师小班辅导教案-初中数学-等腰三角形教师版

2010年·暑假初二数学·第14讲·教师版page1of11板块考试要求A级要求B级要求C级要求等腰三角形了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题等腰三角形1．等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．2．等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形．3．等腰三角形的性质：(1)两腰相等．(2)两底角相等．(3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．(4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．线段的垂直平分线：性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等判定定理：与线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的所有点的集合．4．等腰三角形的判定：(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形．(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形．5．等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60．6．等边三角形的判定：(1)三条边都相等的三角形是等边三角形．(2)三个角都相等的三角形是等边三角形．知识点睛中考要求第十四讲等腰三角形2010年·暑假初二数学·第14讲·教师版page2of11(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．7．等腰直角三角形的性质：顶角等于90，底角等于45，两直角边相等．等腰直角三角形的判定：(1)顶角为90的等腰三角形．(2)底角为45的等腰三角形．板块一、等腰三角形的认识【例1】下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60，那么这个等腰三角形一定是等边三角形．则以下结论正确的是()A．只有命题①正确B．只有命题②正确C．命题①、②都正确D．命题①、②都不正确【解析】C．【例2】如图，在ABC中，ADBC于D．请你再添加一个条件，就可以确定ABC是等腰三角形．你添加的条件是．重点：探索等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质，这两个性质对于平面几何中的计算，以及以后的证明都有很大的帮助难点：等腰三角形关于底和腰，底角和顶角的计算问题，由于等腰三角形底和腰，底角和顶角性质性质特点很容易混淆，而且他们在用法和讨论上很有考究，只能在练习中加以训练重、难点例题精讲2010年·暑假初二数学·第14讲·教师版page3of11DCBA【解析】BDDC或AD平分BAC或BC．【例3】(2006年扬州中考)如图，在ABC△中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①EBODOC；②BEOCDO；③BECD；④OBOC．(1)上述四个条件中，哪两个条件可判定ABC△是等腰三角形(用序号写出所有情况)；(2)选择第⑴小题中的一种情形，证明ABC△是等腰三角形．OEDCBA【解析】(1)①③，①④，②③，②④四种情况可判定ABC△是等腰三角形．(2)下面以①③两个条件证明ABC△是等腰三角形．∵EBODOC，BECD，BEOCDO，∴EOBDOC，∴OBOC，∴OBCOCB．∴EBCDCB，∴ABC△是等腰三角形．【例4】如图，点O是等边ABC内一点，110AOB，BOC．将BOC△绕点C按顺时针方向旋转19060∴°°得ADC△，连接OD，则COD△是等边三角形；当为多少度时，AOD△是等腰三角形？ODCBA【解析】分三种情况讨论：①要使AOAD，需AODADO．∵190AOD°，60ADO°，19060∴°°．125∴°．2010年·暑假初二数学·第14讲·教师版page4of11②要使OAOD，需OADADO．∵180()50OADAODADO°°，6050∴°°．110∴°．③要使ODAD，需OADAOD．19050∴°°．140∴°．综上所述：当的度数为125°或110°或140°时，ABC△是等腰三角形．【例5】(2007福建晋江中考)如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE＝a，则下列说法正确的个数有()①DC平分BDE；②BC长为(22)a；③△BCD是等腰三角形；④△CED的周长等于BC的长．A．1个；B．2个；C．3个；D．4个【解析】由图可知△ABD≌△EBD，∴AD＝DE＝a，DBE＝45．又∵C＝ABC＝45，∴DC＝2a，∴BC＝2AC＝22aa＝(22)a＝△CED的周长．又∵△CDE≌△CDE，∴45DCE，∴22.5DBEBDC．∴BCCD，△BCD是等腰三角形．故②③④正确．【例6】如图⑴，ABAC，BD，CD分别平分ABC，ACB．问：⑴图中有几个等腰三角形？⑵过D点作EF∥BC，如图⑵，交AB于E，交AC于F，图中又增加了几个等腰三角形？⑶如图⑶，若将题中的ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？线段EF与BE、CF有什么关系？⑷如图⑷，BD平分ABC，CD平分外角ACG．DE∥BC交AB于E，交AC于F．线段EF与BE、CF有什么关系？⑸如图⑸，BD、CD为外角CBM、BCN的平分线，DE∥BC交AB延长线于E，交AC延长线于F，线段EF与BE、CF有什么关系？CBAEDCBAEC'DCBA2010年·暑假初二数学·第14讲·教师版page5of11(1)CDBA(5)(4)(3)(2)(1)MDDDDCCCCBBBBAAA123AABCDEEEEFFFFGMNN【解析】⑴图⑴中有两个等腰三角形：ABC、BCD⑵图⑵中又增加了三个等腰三角形：AEF、BED、CFD⑶图⑶中有两个等腰三角形：BED、CFD，由于EDBE，DFCF，EFEDFDBECF，故EFBECF⑷图⑷所示中仍有两个等腰三角形BED、CDF从而DEBE，CFDF，又EFEDDFBECF，故EFBECF⑸如图⑸所示与⑶类似，EFBECF板块二、等腰三角形的性质【例7】(2008乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为()A．9cmＢ．12cmＣ．15cmＤ．12cm或15cm【解析】Ｃ【例8】已知等腰三角形的周长为24cm，一腰长是底边长的2倍，则腰长是()A．4.8cmB．9.6cmC．2.4cmD．1.2cm【解析】B【例9】(2008沈阳)若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等腰三角形的顶角的度数为()A．50Ｂ．80Ｃ．65或50Ｄ．50或80【解析】Ｄ【巩固】(2007重庆中考)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为()A．20B．120C．20或120D．36【解析】当等腰三角形的顶角为钝角时，内角的度数之比为1:4:4，此时顶角为20；2010年·暑假初二数学·第14讲·教师版page6of11当顶角为钝角时，内角的度数之比为1:1:4，此时顶角为120．故选C．【例10】(2007四川自贡中考)若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25，则该三角形的一个底角为()A．32.5B．57.5C．65或57.5D．32.5或57.5【解析】C【例11】(2006自贡)从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线，与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角形的()A．两腰长的和Ｂ．周长一半Ｃ．周长Ｄ．一腰长与底边长的和【解析】A【例12】(2000年常州市中考题)已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为9和12两部分，求腰长和底长．【解析】设这个三角形的腰长为x，底长为y，则12292xxxy，解得85xy，或92122xxxy，解得69xy，而8，8，5和6，6，9均能组成等腰三角形．注意等腰三角形中的分类讨论．【巩固】等腰三角形的周长是50，一腰上的中线分得两个三角形的周长是32和22，求腰长．【解析】设这个三角形的腰长为x，底长为y，一腰上的中线为(3222)5022-，根据题意可得：2502222xyxy或2503222xyxy，解得20x或1133【例13】(05年青岛中考题)已知等腰三角形的周长为12，腰长为x，求x的取值范围．【解析】122xxx，且1220x，解得36x【例14】已知等腰三角形的周长为16，三边长为整数，求底边长．【解析】设腰长为x，则48x，则5x，6，7，底边分别为6，4，2【巩固】已知等腰三角形的周长为20，三边长为整数，求底边长．【解析】设腰长为x，202xxx，且2020x，解得510x，则腰长为6、7、8、9，对应的底边长为8、6、4、22010年·暑假初二数学·第14讲·教师版page7of11【例15】等腰三角形中一角是另一角的2倍，求各内角的度数．【解析】(1)若底角是顶角的2倍，设顶角为，则22180，36，272三角形三内角依次是72，72，36．(2)若顶角是一底角的2倍，设底角为，则2180，45，290，三角形三内角依次是45，45，90．【例16】已知BD是等腰ABC一腰上的高，且50ABD，求ABC三个内角的度数．【解析】若ABC为钝角三角形时，A为顶角时，三内角大小为140，20，20；若ABC为钝角三角形时，A为底角时，三内角大小为100，40，40；若ABC为锐角三角形时，A为顶角，三内角大小为40，70，70．【例17】在ABC中，ABAC，BCBDEDEA．求A．EDCBA【解析】设Ax，则2BEDx，3BDCx，32DBCxxx，在BDC中，可得33180xxx，∴180()7x【巩固】在ABC中，ABAC，BCBD，ADEDEB．求A．EDCBA【解析】设Ax，则1802ADEx，12EDBx，13180(1802)22BDCxxx，18019022xACBx，在DBC中，319022xx，解得45x2010年·暑假初二数学·第14讲·教师版page8of11【例18】(2000年威海市中考试题)等腰三角形的顶角90，如果过它的顶角顶点作一直线能够将它分成两个等腰三角形，求．ABCD【解析】由题意，画出图形如图所示，这里90BAC，ABD和ADC都是等腰三角形ABAC，ADCD，ABBD，∴BCDAC，2BDABADC设Cx，则DACBx，2BADxABC中，180BACBC∴3180xxx，36x，∴3108x【例19】ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若150BACDAE，求BAC．EDCBA【解析】根据题意可得：BBAD，CCAE则BACBADCAEDAEBCDAE即180150BACBACBAC，解得110BAC【例20】(河南省数学竞赛)如图，在ABC中，BC，D在BC上，50BAD，在AC上取一点E，使得ADEAED，求EDC的度数．ABCDE【解析】由题设BC，ADEAED，及三角形外角定理，即EDCCAED，有1802DAEAED18022EDCC而180250CDAE250(18022)CEDCC