网络名师小班辅导教案-初中数学一次函数与反比例函数第4讲反比例函数与面积问题学生版

2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第4讲·学生版page1of13板块考试要求A级要求B级要求C级要求反比例函数能结合具体问题了解反比例函数的意义；能画出反比例函数的图象；理解反比例函数的性质会根据已知条件确定反比例函数的解析式；能用反比例函数的知识解决有关问题能用反比例函数解决某些实际问题反比例函数的定义：函数kyx(k为常数，0k)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.反比例函数的图像：反比例函数kyx(k为常数，0k)的图像由两条曲线组成，每条曲线随着x的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图像属于双曲线.反比例函数kyx与kyx(0k)的图像关于x轴对称，也关于y轴对称.反比例函数图像的性质1：反比例函数kyx(k为常数，0k)的图像是双曲线；知识点睛中考要求第四讲反比例函数与面积问题2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第4讲·学生版page2of13当0k时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当0k时，函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而增大.注意：⑴反比例函数kyx(0k)的取值范围是0x．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当0k时，双曲线kyx的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．这是由于0x，即0x或0x的缘故．如果笼统地叙述为0k时，y随x的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图象和x轴、y轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．反比例函数图像的性质2：过反比例函数0kykx，图象上一点Pxy，，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积Sxyxyk.还有做三角形、梯形等等图形的时候，面积是什么？重点：本节的重点是反比例函数的概念和性质，特别是反比例函数的性质的描述，注意在描述时候不能直接表示成y随x的增大或减小而增大或减小，一定要强调象限！难点：掌握反比例函数的实际运用，以及反比例函数与一次函数的综合，与几何和代数的综合重、难点2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第4讲·学生版page3of13板块一反比例函数与三角形面积问题【例1】如图，正比例函数ykx和yax(0a)的图像与反比例函数kyx(0k)的图像分别相交于A点和C点.若RtAOB和RtCOD的面积分别为1S和2S，则1S与2S的关系是()A.12SSB.1S=2SC.1S2SD.不能确定ODCBAxy【例2】（2009湖北四市）如图，已知双曲线0kykx经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若OBC的面积为3，则k__________．xyOEDCBA【例3】如图，在RtAOB中，点A是直线yxm与双曲线myx在第一象限的交点，且2AOBS，则m的值是_____.例题精讲2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第4讲·学生版page4of13y=mxy=x+mOCBAxy【例4】如图，已知1122AxyBxy，，，是双曲线kyx在第一象限内的分支上的两点，连结OAOB，．（1）试说明111kyOAyy；（2）过B作BCx轴于C，当4m时，求BOC的面积．DCBAOyx【补充】如图，已知反比例函数8yx与一次函数ykxb的图象交于AB，两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是2．求：（1）一次函数的解析式；（2）AOB的面积．MBAOyx2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第4讲·学生版page5of13【例5】（2009年兰州中考）如图，已知A（4，n），B（2，4）是一次函数ykxb的图象和反比例函数myx的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及AOB△的面积；（3）求方程0mkxbx的解（请直接写出答案）；（4）求不等式0mkxbx的解集（请直接写出答案）.图14OCBAyx【例6】如图，已知反比例函数kyx的图象与一次函数yaxb的图象交于2Mm，和14N，两点．（1）求这两个函数的解析式；（2）求MON的面积；（3）请判断点41P，是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．DNMCBAOyx【例7】如图，点A、B在反比例函数kyx(0k)的图象上，且点A、B的横坐标分别为a和2a(0a)ACx轴，垂足为C，AOC的面积为2．⑴求反比例函数的解析式；2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第4讲·学生版page6of13⑵若点(a，1y)，(2a，2y)也在反比例函数的图象上，试比较1y与2y的大小；⑶求AOB的面积．xyOCBA【例8】(2008年义乌市)已知：等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置如图，点A的坐标为(33，3)，点B的坐标为(6，0)．⑴若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形OAB，请直接写出A、B的对称点A、B的坐标；⑵若将三角形OAB沿x轴向右平移a个单位，此时点A恰好落在反比例函数63yx的图像上，求a的值；⑶若三角形OAB绕点O按逆时针方向旋转度(090)．当=30时点B恰好落在反比例函数kyx的图像上，求k的值．版块二反比例函数与四边形面积问题【例9】（2006泉州市中考）如图，点P在反比例函数的图像上，过P点作PAx轴于A点，作PBy轴于B点，矩形OAPB的面积为9，则该反比例函数的解析式为.POAByx－6OBxyA2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第4讲·学生版page7of13【例10】在函数kyx(0x)的图像上取三点A、B、C，由这三点分别向x轴、y轴作垂线，设矩形12AAOA、12BBOB、12CCOC的面积分别为AS、BS、CS，试比较三者大小.C2B2C1B1A2A1CBAOyx【例11】(06泉州市中考)如图，点P在反比例函数的图像上，过P点作PAx轴于A点，作PBy轴于B点，矩形OAPB的面积为9，则该反比例函数的解析式为.POAByx【例12】（2009甘肃兰州）如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数1yx（0x）的图象上，则点E的坐标是（，）.图11OFEDCBAyx【例13】(2008福建福州)如图，在反比例函数2yx(0x)的图象上，有点1P，2P，3P，4P它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S，2S，3S，求123SSS．2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第4讲·学生版page8of13S3S2S11234y=2xP4P3P2xyOP1【例14】过原点作直线交双曲线kyx(0k)于点A、C过A、C分别作两坐标轴的平行线，围成矩形ABCD，如图所示．⑴知矩形ABCD的面积等于8，求双曲线的解析式；⑵若已知矩形ABCD的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能够确定，请予求出；如果不能确定，试说明原因．CBADxyO【例15】如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数kyx(0k，0x)的图像上，点P(m，n)为其双曲线上的任一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S．⑴求B点的坐标和k的值；⑵当92S时，求P点坐标；⑶写出S关于m的函数关系式．2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第4讲·学生版page9of13PSFEOCBAyx【例16】（2008年湖北省咸宁市）两个反比例函数kyx和1yx在第一象限内的图象如图所示，点P在kyx的图象上，PCx轴于点C，交1yx的图象于点A，PDy轴于点D，交1yx的图象于点B，当点P在kyx的图象上运动时，以下结论：①ODB与OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．y=kxPBy=1xxyOCDA【例17】（09一模石景山）两个反比例函数1kyx和2120kykkx在第一象限内的图象如图所示，动点P在1kyx的图象上，PCx轴于点C，交2kyx的图象于点A，PDy轴于点D，交2kyx的图象于点B．2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第4讲·学生版page10of13（1）求证：四边形PAOB的面积是定值；（2）当23PAPC时，求DBBP的值；（3）若点P的坐标为52，，OABABP，的面积分别记为OABS、ABPS，设ABPOABSSS．①求1k的值；②当2k为何值时，S有最大值，最大值为多少？y=k2xy=k1xPDyxOCBA【例18】（2009山东济南）已知：如图，正比例函数yax的图象与反比例函数kyx的图象交于点32A，．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）Mmn，是反比例函数图象上的一动点，其中03m，过点M作直线MNx∥轴，交y于点B；过点A作直线ACy∥轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．yxOoADMCB2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第4讲·学生版page11of13【习题1】⑴如图，如果xx，且0kp，那么，在自变量x的取值范围内，正比例函数ykx和反比例函数pyx在同一直角坐标系中的图像示意图正确的是()xyOxyOxyOxyOA.B.C.D.⑵在同一坐标系内,表示函数ykxb与kbyx(0k，0b)的图像只可能是下图中的()A.B.C.D.【习题2】(06潍坊市中考)已知0a，0b，0ab则函数yaxb与abyx在同一坐标系中的图像不可能是()家庭作业OxyOxyOyxOyx2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第4讲·学生版page12of13OyxxyOxyOxyOA.B.C.D.【习题3】（2007山东枣庄中考）反比例函数xky的图像如图所示，点M是该函数图像上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果2MONS，则k的值为（）A.2B.2C.4D.4NMOyx【习题4】(2008年遵义市)在平面直角坐标系中，函数kyx(0x，常数0k)的图象经过点A(1，2)，B(m，n)，(1m)，过点B作y轴的垂线，垂足为C．若ABC的面积为2，求点B的坐标．CB(m,n)A(1,2)Oyx2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第4讲·学生版page13of13【备选1】（2009年天津市）已知图中的曲线是反比例函数5myx（m为常数）图象的一支．（Ⅰ）这反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？（Ⅱ）若该函数的图象与正比例函数2yx的图象在第一象内限的交点为A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当OAB的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的解析式．【备选2】(2008常州市)过反比例函数0kykx的图象上的一点分别作xy，轴的垂线段，如果垂线段与xy，轴所围成的矩形面积是6，那么该函数的表达式是______;若点3Am，在这个反比例函数的图象上，则m