根轨迹绘制的基本法则

例4-2-2)2)(1()5()()(ssssKsHsGr要求画出根轨迹。某单位反馈系统分析：1个开环零点，3个开环极点，,51z,01p,12p23p0j●-5××-2-10ק3绘制根轨迹图的基本规则规则一、根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点数n。根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在s平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。)()(1sHsG闭环特征方程0)2)(1()5(1ssssKr0)5()2)(1(sKsssr闭环系统的阶次为3，有3条根轨迹。闭环极点数=闭环特征方程的阶次=开环传递函数的阶次=开环极点数例阶3)2)(1()5()()(ssssKsHsGr规则二、根轨迹的起点和终点：每条根轨迹都起始于开环极点，终止于开环零点或无穷远点。根轨迹是Kr从0→∞时的根变化轨迹，因此必须起始于Kr=0处，终止于Kr=∞处。观察幅值条件：mnrzszszspspspsK2121njpsKjr...,2,1,0必有mizsKir,...,2,1,必有)2)(1()5()()(ssssKsHsGr分三种情况讨论：如果n=m，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。如果nm,m条根轨迹趋向开环的m个零点（称为有限零点）,而另n-m条根轨迹趋向无穷远处（称为有限零点）。对于例题，3条根轨迹始于3个开环极点，一条止于开环零点，另两条（n-m=2）趋于无穷远处。如果nm,即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。这种情况在实际的物理系统中虽不会出现，但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。*规则三、根轨迹的对称性：根轨迹各分支是连续的，且对称于实轴。证明：（1）连续性系统开环根轨迹增益Kr(实变量）与复变量s有一一对应的关系，当Kr由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是n条连续的曲线。证明：（2）对称性由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此,根轨迹总是对称于实轴的。规则四、实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根轨迹的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数。例如系统的开环零、极点分布如图。j0×××●××﹣1﹣2﹣5124p5p0s●要判断和之间的线段是否存在根轨迹，取实验点3p1z0s开环共轭极点和零点提供的相角相互抵消，G(s0)的相角由实轴上的开环零极点决定。处在G(s0)左边的开环零极点提供的角度均为零，相角条件由其右边的零极点决定。奇数个π，无论如何加减组合，总能使±lπ(l=1,3,…)成立。对于例题，在实轴上的根轨迹：一条始于开环极点，止于开环零点，另两条始于开环极点，止于无穷远处。)2)(1()5()()(ssssKsHsGr规则四、实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根轨迹的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数0j×××●﹣1﹣2﹣5渐近线：根轨迹有n-m条渐进线。渐近线与实轴的夹角为：..5,3,11800lmnl渐近线与实轴的交点为：mnzpnjmiij11l它们是针对n-m条趋向无穷远点的根轨迹而设立的l如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状规则五、证明：见图4-5。●对于位于根轨迹上某一动点s0，●从各开环零极点到这一点的向量的相角随s0轨迹的变化而变化，●当s0到达无穷远处，各相角相等，令其为ψ，可写成：180lnm●进而求出渐近线夹角：,...3,1,180lmnlj图4－5×××●●××●0﹣1﹣2﹣5124P5P0S由对称性知，渐近线一定交于实轴上，其交点实际上相当于零极点的质量重心。按照重心的求法，可求知交点的坐标mnzpnjmiij11对例4-2-2，mnl180),3,1(2180ll,900)270(9000交点坐标为：,12)5(21即（1，j0）。渐近线与实轴夹角为：)2)(1()5()()(ssssKsHsGr1×0××●﹣1﹣2﹣5j规则六、当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离点或会合点，大多发生在实轴上（仅讨论实根）。性质：在此点上必出现重根。利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴上两相邻极点间时，必有一分离点。若当根轨迹出现在两相邻零点间（包括无穷远零点）时，必有一会合点。根轨迹的分离点与会合点：分离点与会合点是方程式的根。0dsdKr根轨迹在该点上对应的Kr取这段实轴区域的极值。分离点－最大值，会合点－最小值。××Kr=0Kr=0Kr=∞Kr=∞分离点会合点由求极值的公式求出：它们可以利用代数重根法或极值法求出。(介绍后者)0)()(1)()(1sasbKsGsHr在实轴根轨迹上，求使Kr达到最大（最小）值的s值:0)()(')()()('2sbsbsasbsadsdKr0)(')()()('sbsasbsa注意：求出结果，需经判断，保留合理解。如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去。)()(sbsaKrmn0180求出重根角为:在例题4-2-2中，)2)(1()5()()(ssssKsHsGr)5()2)(1(ssssKr52323ssssdsdKr0103018223sss02232)5()23()5)(263(sssssss223)5(1030182ssss解出：94.6,61.1,447.0321sss对上图的观察，后两个根不在根轨迹上，因此交点坐标为（-0.447,j0）处。-0.4470090180mn求出重根角为:j×××●0﹣1﹣2﹣51规则七、根轨迹与虚轴的交点：交点和相应的Kr值利用劳斯判据求出。根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统出现虚根。在例4-2-2中，系统闭环特征方程式为：,0)2)(1()5(1ssssKr0)5()2)(1(sKsssr即：0)5(2323sKsssrrrrrKsKsKsKs5032653210123劳斯行列式当6-2Kr=0时，特征方程出现共轭虚根，求出Kr=3。虚根可利用s2行的辅助方程求出：01535322sKsr5js－与虚轴的交点j×××●0﹣1﹣2﹣51与虚轴的交点为。5j例4-2-2的根轨迹如图。Kr=.084﹣.447)2)(1()5()()(ssssKsHsGr1、画出开环零极点2、确定根轨迹根数3、画出实轴上的根轨迹4、求渐进线（n≠m）5、求分离点6、求与虚轴交点3,5rKj3,5rKj7、画出根轨迹8、求出特殊点对应的Kr值miinjjrzspsK11规则九：Kr值由根轨迹幅值条件求出：如分离点（-0.447，j0）处的Kr值：5447.02447.01447.00447.0rK084.0规则八、根轨迹的出射角：在开环复数极点px处，根轨迹的出射角为：nxjjjxmiixxppzp11)()(180出在开环复数零点zy处，根轨迹的入射角为：myiiiynjjyyzzpz11)()(180入若系统存在复数开环零极点，需要知道根轨迹从此点出发（进入）的方向角度。可根据相角条件求出。证明：设一系统的开环零、极点分布如图所示，j0●××××1P2P3P4P1Z1P3P2P4Pzlppppz04321180)(0s3p点为从出发的根轨迹上一点。该点到所有零极点的应符合相角条件：)(18042103pppzpl●当s0一点点趋近p3时，可认为3p3p。出为处的出射角l而ψp1、ψp2、ψp4、ψz都分别趋近于各开环零极点相对于P3点的向量的相角。●出此时，出射角可以计算：)]()()([)(18043231313ppppppzpl出)]()()([)(18043231313ppppppzp同理可证明入射角。)(18042103pppzpl●××××1p2p3p4p1z1P3P2P4Pz●j例4-2-3设系统开环零极点图如图4-7。其中,85)(013zp013135)(pp,45)(023pp04390)(pp确定根轨迹离开共轭复数根的出射角。根据公式：590451358518000000出考虑到根轨迹的对称性出射角ψp3=-5°，ψp4=5°nxjjjxmiixxppzp11)()(180出●××××1p2p3p4p1z1P3P2P4Pz●j图4-7[例])5.15.0)(5.15.0)(5.2()2)(2)(5.1()(jsjsssjsjssKsG根轨迹起始角3142122)()()12(2ijjjipppzph(21)56.51959108.59037(21)10179(0)hhh取-1-2θ1=108.5°90°59°37°19°56.5°P2P3P4P1Z3Z2Z101p5.11zjz23,25.15.03,2jp5.24p4132122)()()12(2jiiijzzzpzh(21)15319912163.511790(21)329.5hh5.14990°121°153°199°63.5°117°P2P3P4P1Z3Z2Z1根轨迹终止角（k=-1）01p5.11zjz23,25.15.03,2jp5.24p根轨迹示例1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j根轨迹示例2j0j0j00jj0j0j0j00jj00jj0n=1;d=conv([120],[122]);rlocus(n,d)n=[12];d=conv([125],[[1610]);rlocus(n,d)j0例4-2-4作的根轨迹。]16)4[()(20ssKsGr开环极点3个：44,03,21jpp分析：n=3，m=0,没有开环零点。(在s平面上的极点处标以“×”)根据规则一、二、三：根据规则四，实轴上0→-∞为根轨迹。分别起始于3个开环极点，均终止于无穷远处。根轨迹有三个分支：×××图4-8根据规则五，求渐近线:n-m=3条例4-2-4mnl180渐近线与实轴夹角：601渐近线与实轴的交点：mnzpnjmiij111802)300(6035,3,1,03180ll03080767.2-2.76744,03,21jpp﹣60°没有分离点。×××j0×××j0例4-2-4根据规则七：求出根轨迹与虚轴的交点。闭环特征方程：032823rKsss0323256810123rrrKKKssssKr=256，必对应于一对纯虚根2s以的系数构成辅助方程:02568822sKsr322s66.532jjs]16)4[()(20ssKsGr-j5.66j5.66例4-2-4根据规则八求出射角：对P2，根轨迹的出射角为：1359001802