扭矩、扭矩图

18.2扭矩、扭矩图8.1扭转的概念与实例8.3圆轴扭转时的应力与变形8.4圆轴扭转的强度条件和刚度条件8.5静不定问题和弹塑性问题第八章圆轴的扭转返回主目录2工程构件分类:板块体杆杆的基本变形:轴向拉压弯曲xyz扭转8.1扭转的概念与实例返回主目录3变形前xyzoMoM变形后fAB汽车转向轴传动轴研究对象：圆截面直杆受力特点：作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶，且满足平衡方程:SMx=0变形特征：相对扭转角fAB圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。8.1扭转的概念与实例返回主目录4扭矩：T是横截面上的内力偶矩。内力—由截面法求得。取左边部分平衡由平衡方程：oTMMoMo假想切面外力偶Mo内力偶T8.2扭矩与扭矩图返回主目录5由平衡方程：oTMT取右边部分T和T是同一截面上的内力，应当有相同的大小和正负。MoMo假想切面取左边部分平衡外力偶Mo扭矩T扭矩外力偶平衡TMo6扭矩的符号规定：按右手螺旋法则确定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向与截面的外法线方向一致者为正，反之为负。负MoTMoT正7以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂直于x轴的坐标表示截面扭矩值，即得到扭矩图。2010画扭矩图：20kNm10kNm10kNmxoCABkNmT/ABC10kNmABT10kNmABTAB段：20kNmBCT20kNmBCMBC段：85kN5kN3kNFN图+-5kN2kN8kN5kN2kN8kN5kN+向简捷画法：2010kNmT/ABC在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。FN图（轴力）按右手法确定+向20kNm10kNm10kNmxoCABT图9解：由功率－转速关系计算外力偶矩例某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功率为PA=400kW，从动轮B、C和D的输出功率分别为PB=PC=120kW，PD=160kW。试作轴的扭矩图。nPMAA55.9mkN46.570040055.9nPMMBCB55.9mkN64.170012055.9nPMDD55.9mkN18.270016055.9BMBMCCMAMDAD10最大扭矩在AB段，且3280NmT546kNm164kNm218kNmABCDM.MM.M.求各截面内力：BC段1164kNmT.-CA段2328kNmT.-AD段3218kNmT.BMBMCCMAMDADT1BMBBMBMCCT2MDDT3ACBDT/kN·m1.643.282.18T图115460Nm1640Nm2180NmABCDMMMM简捷画法：BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT/kN·mT图按右手法确定+向1.6412讨论：试作扭矩图2010T图按右手法确定+向xoCAB40kN·mD20kN·m10kN·m10kN·mkNmT/ABCD20xoCAB40kN·mD10kN·m10kN·mAM求反力偶：20kNmAM2010T图按右手法确定+向kNmT/ABCD20返回主目录13变形体静力学的基本研究思路：静力平衡条件变形几何条件材料物理关系++1.变形几何条件刚性平面假设：变形前后，扭转圆轴各个横截面仍然保持为平面，二平面间距离不变，其半径仍然保持为直线且半径大小不变。变形前变形后8.3.18.3圆轴扭转时的应力与变形返回主目录14取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角df，原来的方形ABCD变成为菱形ABCD。1.变形几何条件g是微元的直角改变量，即半径r各处的剪应变。因为CC=gdx=rdf,故有：ddr/xgdf/dx,称为单位扭转角。对半径为r的其它各处，可作类似的分析。dxOCDABrrCDdfdfgTg151.变形几何条件对半径为r的其它各处，作类似的分析。切应变g的大小与半径r成正比。与单位扭转角d/dx成正比。即得变形几何条件为：dd/xgr--(1)同样有：CC=gdx=rddxOCDABrrCDdfTgrgr162.物理关系—材料的应力-应变关系在线性弹性范围内，剪切胡克定律为：G是t-g曲线的斜率，如图，称为切变模量。Ggt--(2)半径为r处的切应力则为：ddGGxgrrtr圆轴扭转时无正应力1GOtg1Gts材料的切应力与切应变之间有与拉压类似的关系。17讨论：圆轴扭转时横截面上的切应力分布ddGGxgrrtr圆轴几何及T给定，d/dx为常数；G是材料常数。--(3)dxOCDABrrCDdfTgrgrtrTotrrtmax最大切应力在圆轴表面处。截面上任一点的切应力与该点到轴心的距离r成正比；切应变在ABCD面内，故切应力与半径垂直，指向由截面扭矩方向确定。183.力的平衡关系应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。取微面积如图，有：dAATrrtddGGxgrrtr--(3)利用(3)式，得到：2dddAGATxrtrTotrrtmaxdA193.力的平衡关系2dddAGATxr令：2PdAIAr最后得到：PddTGxIrrtr--(4)IP称为截面对圆心的极惯性矩，只与截面几何相关。trTotrrtmaxtmax在圆轴表面处，且maxPTTr/IT/WtW=IP/r，称为抗扭截面模量。T求IP，WT?208.3.2圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量抗扭截面模量W=I/rTPdDo讨论内径d，外径D的空心圆截面，取微面积dA=2prdr,则有：极惯性矩:AdAI2rPrdrdA极惯性矩)1(3232)(244442/2/3apprrpP--DdDdIDd抗扭截面模量：16/)1()2//(43apP-DDIWTa=d/D21圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量dDo空心圆轴实心圆轴Do)1(3244apr-DI极惯性矩P)1(3244ap-DI抗扭截面模量)1(1643ap-DWTa=d/D=0324DIpP163DWTp22研究思路：变形几何条件dx---(1)d/rg+材料物理关系dxdGGrgtrr---(2)静力平衡关系+ATdAdxdG2r---(3)圆轴扭转切应力公式：rrtIpT---(4)且由(2)、(4)可知单位扭转角为：PGITdxd//---(5)23结论：1）圆轴扭转时，横截面上只有切应力，切应力在横截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转向确定。2）截面任一处截面外圆周处（表面）tr=Tr/IPtmax=T/WTdDo空心圆轴实心圆轴DoTtrtmaxTtrtmax24讨论：2）下列圆轴扭转的切应力分布图是否正确?1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截面尺寸不同，其扭矩图相同否?若二轴材料不同、截面尺寸相同，各段应力是否相同？变形是否相同？相同相同不同oToToToT258.3.3扭转圆轴任一点的应力状态TdxTttdxCAdyttt′t′研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左右两边为横截面，上下两边为过轴线的径向面。AA的平衡？SMC(F)=tdxdy-tdydx=0t=t切应力互等定理：物体内任一点处两相互垂直的截面上，切应力总是同时存在的，它们大小相等，方向是共同指向或背离两截面的交线。26tdx+(t45dx/cos45)cos45+(s45dx/cos45)sin45=08.3.3扭转圆轴任一点的应力状态dxCAdyttt′t′纯切应力状态等价于转过45后微元的二向等值拉压应力状态。纯切应力状态:微元各面只有切应力作用。45斜截面上的应力：还有：s-45=t；t-45=0t45dxCt45s45ttdx-(t45dx/cos45)sin45+(s45dx/cos45)cos45=0解得：s45=-t；t45=0。Ass一些脆性材料(例如粉笔、铸铁等)承受扭转作用时发生沿轴线45方向的破坏，就是由此拉应力控制的。278.3.4圆轴的扭转变形单位扭转角为：Pdd/xT/GI相对扭转角：B截面相对于A截面的扭转角。若AB=L，则ABGI称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。P若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。dxOCDABrCDddgTgTABLBAgdxGITdLAB0P若AB间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则T/GIp=const.,故有：PGILTAB/28例2.空心圆轴如图，已知MA=150N·m，MB=50N·mMC=100N·m，材料G=80GPa，试求（1）轴内的最大切应力；（2）C截面相对A截面的扭转角。解:1)画扭矩图。2)计算各段应力:11max131T11[1]16TTDdWDp-tAB段：334150101624[1(1824)]/p-808MPa.N-mm-MPa单位制f22f18f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N·m292)计算各段应力:22max232T22[1]16TTDdWDp-tBC段：334100101622[1(1822)]/p-867MPa.故tmax=86.7MPaf22f18f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N·m3)计算扭转角ACradGIlTGIlTBCBCBCABABABAC183.0+PPN-mm-MPa单位制30思考题:8-2，8-3习题：8-1(b)(c)，8-2返回主目录31拉压ss/n(延)s=[s]=sb/n(脆)maxts/n(延)t=[t]=tb/n(脆)扭转强度条件max[t]=0.5~0.6[s](钢材，延性)[t]与[s]之关系：[t]=0.8~1.0[s](铸铁，脆性)1.强度条件][/maxssAFN][/maxttTWT8.4圆轴扭转的强度条件和刚度条件返回主目录32轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GIP扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏；另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，即还须满足刚度条件。单位长度的扭转角为：q=AB/L=T/GIP扭转刚度条件则为：qmax[q]---许用扭转角机械设计手册建议：[q]=0.25~0.5/m;精度高的轴；[q]=0.5~1.0/m;一般传动轴。2.刚度条件单位统一为/m，则有：（弧度转换为角度）][180maxqpqPoGIT333.扭转圆轴的设计二者均须满足扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核；确定许用载荷（扭矩）；设计轴的几何尺寸。强度条件：][/maxttTWT刚度条件：][180maxqpqPoGIT极惯性矩324DIpP抗扭截面模量163DWTp34解:1)画扭矩图。例4.实心圆轴如图，已知MB=MC=1.64kN·m，MD=2.18kN·m材料G=80GPa，[t]=40MPa，[q]=1/m，试设计轴的直径。最大扭矩在AB段，且3280NmTBMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT/kN·m1.642)按强度设计，有：][16/3maxtptDTWTTmax316TD[]pt75mm361632804010p37510-(m)N-m-Pa单位制352)按刚度设计，有：同时满足强度与刚度要求，则应取取大者75mmD][18032/1804maxqpppqpooDGTGIT则有：42max][18032qpGMD°42911080180328032pN-m-Pa单位制)(109.693m-mm7036讨论：若取a=0.5，试设计空心圆轴尺寸。=76.4mm34max])[1(16tap-TD3641040)5.01(328016-p按刚度设计，有：][18032/)1(44maxqpapq