高中数学必修五2.4等比数列(一)

2．4等比数列（一）主备人：高秀娟副备人：魏本忠课前小练数列等差数列定义同一常数通项公式性质an+1-an=dd叫公差an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)d如果一碗面由256根面条组成,请问需要拉面师傅拉几次才能得到?我国古代学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”即一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完，这样每天剩下的部分都是前一天的一半。如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是,...21,...,161,81,41,211,1n如果每一轮每一台电脑都感染20台电脑，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的电脑数构成的数列是：1，20，202，203，…，20n-1，…拉面时前9次拉伸成的面条根数构成一个数列:这些数列有什么共同特点?从第二项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数。1,2,4,8,16,32,64,128,2561,2,4,8,16,32,64,128,256【学习目标】1、理解等比数列的概念；2、掌握等比数列的通项公式；重点：等比数列的定义和通项公式。难点：从实际问题中抽象出数列模型。名称等差数列等比数列定义如果一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示.如果一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示1.等比数列定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。或*1Nnqaann其数学表达式：*1,2Nnnqaann1、判断下列数列是否为等比数列。若是，则公比是多少，若不是，请说明理由：(1)16，8，4，2，1，…；(2)5，-25，125，-625，…；(4)2，2，2，2，2，…；(3)1，0，1，0，1，…；是，公比是0.5是，公比是-5不是是，公比是1(5),,x,x,x,x4321x=0时，不是；否则，是.公比为x【预习自测】（1）即等比数列的每一项都不为0；0na（2）即等比数列的公比不为0；0q（3）为非零常值数列；1q2、等比数列的通项公式：法一：递推法（不完全归纳法）qaaqaa1212212323qaqaaqaa313434qaqaaqaa……由此归纳等比数列的通项公式可得：11nnqaa等比数列等差数列daa12daa213daa314……由此归纳等差数列的通项公式可得：dnaan)1(1类比累乘法qaa12qaa23qaa34……11nnqaaqaann1共n–1项×）等比数列•法二：迭加法daa12daa23daa34……dnaan)1(1daann1+）等差数列类比2、等比数列的通项公式：3.性质：11mmqaa11nnqaamnmnmnqqaqaaa1111mnmnqaa可得dmaam)1(1dnaan)1(1dmnaamn)(dmnaamn)(可得等差数列等比数列类比4、等比中项•如果在a,b中插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则G叫做a,b的等比中项.如果G是a与b的等比中项,那么,即G2=ab,因此,GbaGabG2、2与4的等比中项是________.3、等比数列｛na｝中，已知12=3aq，，4______________.naa则，【预习自测】2254123n【课内探究】（展示）例1、在等比数列｛na｝中.（1）已知1128,4,2naaq，求n；（2）已知625,4,5nanq，求1a；（3）已知132,8aa，求公比q和通项公式.变式：在等比数列｛na｝中，（1）已知35728aaa，，求；（2）已知31511+515.aaaaaq，，求和公比例1、在等比数列｛na｝中.（1）已知1128,4,2naaq，求n；（2）已知625,4,5nanq，求1a；（3）已知132,8aa，求公比q和通项公式.解：（1）1156128=422=2由已知得，即故nnn例1、在等比数列｛na｝中.（1）已知1128,4,2naaq，求n；（2）4131141625=555=5由已知得，故即aaa（3）228=2=42由已知得，即qqq122=2故nnna12又a112-2=-12或（）（）nnnna变式：在等比数列｛na｝中，（1）已知35728aaa，，求；（2）已知31511+515.aaaaaq，，求和公比225753=法二：利用及求aqaaqa变式：在等比数列｛na｝中，（1）已知35728aaa，，求；（2）已知31511+515.aaaaaq，，求和公比2114211=2=2=814由已知得，（）法一：解得=aqaaqq63711=4=322aaq357，，法三：利成等求数用比列aaa2211144111+=5(+1)=5=15(1=152)由已知得，①（）即，②aqaaqaqaaq213=2②，①由得qq11代入①得a11=2故，aq例2、某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84％.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?（放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期）.经过年，剩留量是nna解：设这种物质质量是1，{}由条件可得，数列是一个等比数列，其中na10.840.84，aq00...55840设，则nna0lgl0g.84.5两边取对数，得n0.84lg4l0g.5所以，n答：这种物质的半衰期约为4年.小结数列等差数列等比数列定义同一常数通项公式性质an+1-an=dd叫公差an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)d你还知道等差数列有什么性质吗?你能类比写出等比数列的性质吗?)0,0(1nnnaqqaaq叫公比an=a1qn-1an=amqn-m1．在等比数列{an}中，如果公比q＜1，那么等比数列{an}是()．A．递增数列B．递减数列C．常数列D．无法确定数列的增减性2．已知{an}是等比数列，（1）若2412_______4aaq，，则公比=；（2）若24510_______aaq，，则公比=.【反馈检测】1．在等比数列{an}中，如果公比q＜1，那么等比数列{an}是()．A．递增数列B．递减数列C．常数列D．无法确定数列的增减性2．已知{an}是等比数列，（1）若2412_______4aaq，，则公比=；（2）若24510_______aaq，，则公比=.3、在等比数列{an}中，471273aqa（），，求；2412188aaaq（），，求和；514233156.aaaaa（），，求D1227474729(1)aaq3、在等比数列{an}中，471273aqa（），，求；2412188aaaq（），，求和；514233156.aaaaa（），，求112727223)3(2aaqq或111611(2)23aaqq或4、某地为了保持水土资源实行退耕还林，如果2013年退耕8万公顷，以后每年比一年增加10%，那么2018年需退耕多少万公顷？（结果保留到个位）.设退耕公经过，顷年万nna解：{}由条件可得，数列是一个等比数列，其中na181.11.1，aq54(81.1)208111.13则年需退耕万公顷a答：2018年需退耕约13万公顷.解：由等比数列的通项公式的特点可得：q=10,a1=-30解：n=1a1=21=2n=2a2=22=4可得：q=2nAn+Ba（等差）nA×Bna（等比）例3：由下列等比数列的通项公式，求首项与公比（1）an=2n(2)an=3×10n思考:你能判断它们的增减性吗?猜一猜给你一张足够大的纸，假设其厚度为0.1毫米，那么当你把这张纸对折了51次的时候，所达到的厚度有多少？猜一猜：把一张纸折叠51次，得到的大约是地球与太阳之间的距离！图（１）是一个边长为１的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（２），如此继续下去，得图（３）……试求第ｎ个图形的边数,边长和周长．应用拓展思考按照本题作法形成的图形也称为雪花曲线．可以发现，当ｎ增大时，这个图形的边长越来越小，但周长却越来越大，你还能发现这个图形其他有趣的性质吗？要计算第ｎ个图形的周长，只需计算第ｎ个图形的边数．第１个图形的边数为３，因为从第２个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的４倍，所以，第ｎ个图形的边数为３×４ｎ－１．因此，解：设第ｎ个图形的边长为ａｎ．由题意知，从第二个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的１/３，所以数列｛ａｎ｝是首项为１，公比为１/３的等比数列．故第ｎ个图形的周长＝．