04预备知识：高斯随机过程

预备知识（三）高斯随机过程通信原理第四讲随机过程（噪声信号）示例相关函数R（t，t+）利用随机过程基础解决通信中问题随机过程ξ(t)（噪声、信号）数学期望E[ξ(t)]方差D[ξ(t)]统计、观测、计算如果平稳与时间起点无关E[ξ(t)]=mD[ξ(t)]=σ2R（）如果各态历经用时间平均代替集平均aa22)()(RR通信系统中所遇到的信号与噪声一般都能满足各态历经条件最终求出功率谱，从而获得了频率域上的功率分布，获得其带宽、功率性能，达到了研究通信系统的目的数字特征的计算•数学期望•方差•相关函数dxtxxftmtE),()()]([121222)]([),(][][tmdxtxfxtEtEttD）（）（）（）（2121112212121),(][xddxttxxfxxttEttR，，），（2.3随机信号分析•2.3随机信号分析–随机过程基础–高斯随机过程–随机过程通过线性系统–窄带随机过程–正弦波加窄带高斯噪声随机过程（噪声信号）示例为什么研究高斯过程•中心极限定理表明：–一个随机变量，如果它是很多个相互独立的随机变量之和，而其中每一个对总和只发生不大的影响，那么，这一总和的分布就近似于正态分布。•高斯过程又称正态随机过程。如通信中的噪声，分子热运动产生的热噪声等都具有高斯过程的特性。•高斯过程，是研究通信信号、特别是通信噪声的重要数学模型。高斯随机过程：定义若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1,2,…）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。其n维正态概率密度函数表示如下：为归一化协方差矩阵）（；）（式中：BatEtEaaxaxBBBtttxxxfkkkkknjkkkjkjnkjknnnn22112/1212/2121)])((21exp[21),,,(高斯随机过程：重要性质•高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。–只需要其数字特征，就可以确定高斯过程•对高斯过程：广义平稳与狭义平稳等价•如果高斯过程中的随机变量之间互不相关，则他们是统计独立的。•高斯过程通过线性系统、其输出也是高斯过程），（），（），（nnnntxftxftxftttxxxf22112121),,,(a=0，=1一维高斯分布*)2)(exp(21)(22axxfa=+/-2，=0.8/1.2一维高斯分布*)2)(exp(21)(22axxfaadxxfdxxfdxxf21)()(1)(一维高斯分布的数值计算•在通信系统中，通常需要计算随机变量X大于某常数的概率：aCQCXPdzzQdzzCXPaxzdxaxdxxfCXPaCCC)2exp21)(2exp21)2)(exp21)()2222（（（无法直接计算出查Q数值计算表一维高斯分布的数值计算•Q函数的意义面积=Q（）0),(1)(0)(21)0(1)(QQQQQ查Q函数表可以求出概率一维高斯分布的数值计算•误差函数•互补误差函数•X2时互补误差函数近似表示•Q函数与误差函数关系022)(dteerft）（）（erfdteerfct12221)(eerfc)2(21)(erfcQ一维高斯分布的数值计算•例011-00-1误码率1错成0的概率加0错成1的概率，已知均值、方差，查Q表即可求出白噪声信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。式中n0为一常数，单位是瓦/赫。白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即20nP）（)(20nR高斯白噪声如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯白噪声。由可以看出，高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，是统计独立的。应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。)(20nR2.3随机信号分析•2.3随机信号分析–随机过程基础–高斯随机过程–随机过程通过线性系统–窄带随机过程–正弦波加窄带高斯噪声随机过程通过线性系统•确知信号通过线性时不变系统时线性时不变系统）（）（Xtx）（）（Hth）（）（Yty）（）（）（）（）（）（HXYthtxty随机过程通过线性系统•平稳随机过程通过线性时不变系统时，关系仍然成立线性时不变系统）（）（）（）（PRtEt）（）（Hthdththtt）（）（）（）（）（）（）（）（）（PRtEt？随机过程通过线性系统•输出过程的数学期望）（）（0)()()()()()(][0HadehadhadtEhdthEtEj输入直流分量与直流增益的积随机过程通过线性系统•输出过程的自相关函数)()()()()()()()()()()()()()(][21212121RhhdudvvuRuhvhdvduvtutEvhuhdvvtvhduutuhEttEttR）（）（），（输出也是平稳过程随机过程通过线性系统•输出过程的功率谱密度）（）（）（）（）（）（）（PHPHHPRhhR2)()()(“功率”谱增益随机过程通过线性系统•随机过程通过线性系统线性时不变系统）（）（）（）（PRtEt）（）（Hth）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（PHPRhhRHatEttht20随机过程通过线性系统•例:输出过程的概率分布从原理上看，在已知输入过程分布的情况下，通过下式：总可以确定输出过程的概率分布，其中一个十分有用的情形是：如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。但要注意，由于线性系统的介入，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。dththtt）（）（）（）（）（随机过程通过线性系统•例题：带限白噪声试求功率谱密度为n0/2的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为：0eHt-j0KH）（随机过程通过线性系统HOnKP2020）（HHHrjoonKdePRsin2)(21)(020fOPo()ORo()fH－fHn02K0212fH－12fHK0n0fH22.3随机信号分析•2.3随机信号分析–随机过程基础–高斯随机过程–随机过程通过线性系统–窄带随机过程–正弦波加窄带高斯噪声窄带随机过程•窄带(带通)信号(过程)示意通信中信号与噪声都满足“窄带”假设，即△ffc。△f为信号带宽，fc为载频。其包络和相位相对于fc是缓慢变化的，波形和频谱示意如下:fc-fc)ω(s0fffts(t)缓慢变化的包络a(t)频率近似fc窄带随机过程•窄带信号的两种描述方法–包络与相位参数的描述方法–同相分量和正交分量的描述方法–两种描述方法对随机过程仍然适用）（）（）（tttAtXXcXcos）（）（）（）（）（）（）（）（）（ttAtXttAtXttXttXtXXXQXXIcQcIsincossincos窄带随机过程）（tXI）（tX）（tAX）（tXQ窄带随机过程的性质•数学期望00sincossincossincos）（）（必然）（如）（）（）（）（）（）（）（）（tXEtXEtXEttXEttXEttXttXEtXEttXttXtXQIcQcIcQcIcQcI窄带随机过程的性质•相关函数•Rx是平稳过程，与t无关）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），（tttXtXEtttXtXEtttXtXEtttXtXEtXtXEttRccQQccIQccQIccIIXsinsincossinsincoscoscos0tct2窄带随机过程的性质cQIcQXcIQcIXRRRRRRsincossincos）（）（）（）（）（）（广义平稳）（）（tXtXQI）（）（）（）（QIIQQIRRRR）（）（互相关函数的性质：IQQIRR000000222）（）（）（）（）（IQQIQIXQIXRRRRR方差相等相互独立）（）（tXtXQI窄带随机过程的性质•输入为高斯过程时•根据平稳性，因此：I、Q分量也是高斯过程一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分量I和正交分量Q也是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差相同，在同一时刻同相分量和正交分量互不相关。)()(2)()(0sin)(cos)()(222111tXtXttXtXtttXttXtXQcIcIcI高斯变量包络和相位的统计特性•将同相与正交的联合分布函数进行二维转换，变成包络与相位的联合PDFQxIxXAXXXQXXIAxAxsincosXXQXXIAxAxQIQIXXxxJxxfAfsincos），（），（），（包络和相位的统计特性QxIxXAXXXQXXIAxAxsincos22222222exp212exp21XXXXQIXQIQIAxxxfxfxxf）（）（），（相互独立包络和相位的统计特性2002exp2222sincosXXXXXXXXXQXQXIXIQIAxAxQIQIXXAAAAfxAxxAxxxJxxJxxfAfXXQXXI，），（），（），（），（），（利用雅各比行列式包络和相位的统计特性20212exp202exp2exp2022222220222XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXdAAAdAAffAAAdAAdAfAf），（）（），（）（包络符合瑞利分布相位符合均匀分布求条件边际分布窄带高斯噪声高斯噪声时域波形近似高斯白噪声频谱示意图窄带滤波窄带高斯噪声示意图包络符合瑞利分布平稳高斯过程通过窄带系统输出结论一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分量I和正交分量Q也是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差相同，在同一时刻同相分量和正交分量互不相关。均值为零的窄带平稳高斯过程，其包络符合瑞利分布、相位符合均匀分布。2.3随机信号分析•2.3随机信号分析–随机过程基础–高斯随机过程–随机过程通过线性系统–窄带随机过程–正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声发送端信道接收端噪声源窄带调制后，近似为高频正弦波fc-fc)ω(s0fffts(t)缓慢变化的包络a(t)频率近似fc正弦波加窄带高斯噪声fc-fc)ω(s0fffts(t)缓慢变化的包络a(t)频率近似fc)](cos[)(sincossinsincoscoscostttzttztt