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第5讲二次根式及其运算1.二次根式的有关概念考试内容考试要求二次根式一般地,形如a()的式子叫做二次根式.a最简二次根式必须同时满足:(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;(2)被开方数的因数是整数,因式是整式(分母中不应含有根号).2.二次根式的性质考试内容考试要求两个重要的性质(a)2=a(a____________________);a2=|a|=错误!a积的算术平方根ab=a·b(a≥0,b≥0).商的算术平方根ab=ab(a≥0,b0).3.二次根式的运算考试内容考试要求二次根式的加减先将各根式化为,然后合并被开方数的二次根式.b二次根式的乘法a·b=(a≥0,b≥0).二次根式的除法ab=(a≥0,b>0).二次根式的混合运算与实数的运算顺序相同,先算乘方,再算,最后算加减,有括号的先算括号里面的(或先去括号).考试内容考试要求基本方法1.整式运算法则也适用于二次根式的运算.c2.估算一个根号表示的无理数可用“逐步逼近”的方法,即首先找出与该数邻近的两个完全平方数,可估算出该无理数的整数部分,然后再取一位小数进一步估算即可.3.绝对值:|a|;偶次幂:a2n;非负数的算术平方根:a(a≥0)是常见的三种非负数形式.非负数具有以下两条重要性质:①非负数形式有最小值为零;②几个非负数的和等于零,那么每个非负数都等于零.1.(2015·湖州)4的算术平方根是()A.±2B.2C.-2D.22.(2017·宁波)要使二次根式x-3有意义,则x的取值范围是()A.x≠3B.x>3C.x≤3D.x≥33.(2016·杭州)下列各式变形中,正确的是()A.x2·x3=x6B.x2=|x|C.x2-1x÷x=x-1D.x2-x+1=x-122+144.(2017·宁波)实数-8的立方根是____________________.5.(2017·湖州)计算:2×(1-2)+8.【问题】下列各式已给出计算结果:①8-2=6;②(-3)2=-3;③2×3=6;④8÷2=4(1)其中正确的是____________;(2)对于错误的结果,请给出正确答案;(3)通过以上的解答,联想二次根式有哪些性质、运算法则?【归纳】通过开放式问题,归纳、疏理二次根式的性质和运算法则,以及注意的问题.类型一平方根、算术平方根、立方根例1(1)(2015·黄冈)9的平方根是()A.±3B.±13C.3D.-3(2)(2017·黄冈)16的算术平方根是________.(3)(2016·宁波)实数-27的立方根是________.【解后感悟】一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根;注意算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误;开立方和立方互为逆运算是解题的关键.1.(1)(2016·唐山模拟)下列式子中,计算正确的是()A.-3.6=-0.6B.(-13)2=-13C.36=±6D.-9=-3(2)如果一个正数的两个平方根为a+1和2a-7,则这个数为____________________.类型二二次根式的有关概念与性质例2(1)式子2x+1x-1有意义的x的取值范围是________;(2)(2017·邵阳模拟)将45化成最简二次根式是________.(3)计算:(1-2)2=________.【解后感悟】(1)此类有意义的条件问题主要是根据:①二次根式的被开方数大于或等于零;②分式的分母不为零列不等式组,转化为求不等式组的解集.(2)此题根据二次根式的性质化简,是解本题的关键.2.(1)(2017·荆州)下列根式是最简二次根式的是()A.13B.0.3C.3D.20(2)k、m、n为三个整数,若135=k15,450=15m,180=6n,则下列有关于k、m、n的大小关系,何者正确()A.k<m=nB.m=n<kC.m<n<kD.m<k<n(3)(2016·金华)能够说明“x2=x不成立”的x的值是____________________(写出一个即可).(4)若实数a、b满足||a+2+b-4=0,则a2b=____________________.(5)若整数x满足|x|≤3,则使7-x为整数的x的值是____________________(只需填一个).类型三二次根式的运算与求值例3(1)(2017·滨州)下列计算:(1)(2)2=2,(2)(-2)2=2,(3)(-23)2=12,(4)(2+3)(2-3)=-1,其中结果正确的个数为()A.1B.2C.3D.4(2)计算:8-312+2=______;(3)化简:3(2-3)-24-|6-3|=________.【解后感悟】(1)二次根式的加减运算,关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并;(2)二次根式的混合运算,正确化简二次根式是解题关键.3.(1)下列计算正确的是()A.43-33=1B.2+3=5C.212=2D.3+22=52(2)算式(6+10×15)×3之值为()A.242B.125C.1213D.1824.(1)计算(10-3)2018·(10+3)2017=____________________;(2)(2016·聊城)计算:27·83÷12=.类型四二次根式的大小比较例4已知甲、乙、丙三数,甲=5+15,乙=3+17,丙=1+19,则甲、乙、丙的大小关系,下列何者正确()A.丙<乙<甲B.乙<甲<丙C.甲<乙<丙D.甲=乙=丙【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意:(1)负号不能移到根号内;(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内.5.(1)(2015·河北)在数轴上标注了四段范围,如图,则表示8的点落在()A.段①B.段②C.段③D.段④(2)(2015·杭州)若k<90<k+1(k是整数),则k=()A.6B.7C.8D.9(3)(2017·白银)估计5-12与0.5的大小关系是:5-12____________________0.5.(填“>”、“=”、“<”)类型五二次根式的综合型问题例5(1)已知实数x,y满足||x-4+y-8=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是________.(2)在日常生活中,取款、上网都需要密码,有的人把自己的出生年月作为密码,有的人把生活中的重要数字或自己认为吉利的数字作为密码,这样很容易被知情人窃用.有一种用二次根式法产生的密码,如:对于二次根式121,计算的结果是11,取被开方数和计算结果,再在中间加一个数字0,于是就得到一个六个数字的密码“121011”.对于二次根式0.81,用上述方法产生的密码是________.【解后感悟】常见的非负数有三种形式:|a|,a,a2;若几个非负数的和等于零,则这几个数都为零.6.(1)矩形相邻两边长分别为2,8,则它的周长是____________________,面积是____________________.(2)观察分析下列数据,寻找规律:0,3,6,3,23,…,那么第10个数据应是____________________.(3)若y=3x-6+6-3x+x3,则10x+2y的平方根为____________________.7.已知x=3+1,y=3-1,求下列各式的值:(1)x2+2xy+y2;(2)x2-y2.【探索规律题】如图,以O(0,0)、A(2,0)为顶点作正△OAP1,以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2,再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3,…,如此继续下去,则第六个正三角形中,不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是________.【方法与对策】根据O(0,0),A(2,0)为顶点作△OAP1,再以P1和P1A的中点B为顶点作△P1BP2,再以P2和P2B的中点C为顶点作△P2CP3,…,如此继续下去,结合图形求出点P6的坐标.本题由特殊到一般的规律解题是关键,这类题型是中考的热点.【二次根式的化简符号不明确】下列各式中,正确的是()A.(-3)2=-3B.-32=-3C.(±3)2=±3D.32=±3参考答案第5讲二次根式及其运算【考点概要】1.a≥02.≥0a-a3.最简二次根式相同abab乘除【考题体验】1.B2.D3.B4.-25.原式=2-22+22=2.【知识引擎】【解析】(1)③;(2)①8-2=2,②(-3)2=3,④8÷2=2;(3)主要从二次根式性质、运算法则方面去思考.【例题精析】例1(1)A;(2)4;(3)-3例2(1)根据题意得,2x+1≥0且x-1≠0,解得x≥-12且x≠1.(2)35;(3)2-1.例3(1)D;(2)原式=22-322+2=322,故答案为:322;(3)3(2-3)-24-|6-3|=6-3-26-(3-6)=-6.故答案为:-6.例4∵3=91516=4,∴8<5+15<9,∴8<甲<9.∵4=16<17<25=5,∴7<3+17<8,∴7<乙<8.∵4=16<19<25=5,∴5<1+19<6,∴5<丙<6.∴丙<乙<甲.故选A.例5(1)由||x-4+y-8=0得,x-4=0,y-8=0,即x=4,y=8.若4是腰长,则三角形的三边长为:4、4、8,不能组成三角形.若4是底边长,则三角形的三边长为:4、8、8,能组成三角形,周长为4+8+8=20;即等腰三角形的周长是20.(2)0.81=0.9,所以得到一个六个数字的密码081009.【变式拓展】1.(1)D(2)92.(1)C(2)D(3)-1(4)1(5)-23.(1)C(2)D4.(1)10-3(2)125.(1)C(2)D(3)>6.(1)624(2)33(3)±67.(1)因为x=3+1,y=3-1,所以x+y=23,x-y=2.则(1)x2+2xy+y2=(x+y)2=(23)2=12.(2)x2-y2=(x+y)(x-y)=43.【热点题型】【分析与解】每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的12,第六个正三角形的边长是116,故顶点P6的横坐标是6332,P5纵坐标是3-34-38=538,P6的纵坐标为538+332=21332,故答案为:(6332,21332).【错误警示】(-3)2=9=32=3,选项A错误;(±3)2=9=32=3,选项C错误;32=3,选项D错误.故选B.
本文标题:2018年浙江省中考数学《第5讲:二次根式及其运算》总复习讲解
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