数学思维训练教材六年级上册

第1讲比较大小在平时数学学习，尤其是数学竞赛中，我们经常遇到一些题目：（1）比较这几个分数的大小：52、73、2310、2912、3715（2）试比较77755和7777555，那个分数大？……如果我们不去研究其中的规律，相信大家一定会很难解决这样的题目。本讲，我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法。例1：已知A321=B43=C109=D54=E511(ABCDE都不等于0)，将A、、B、C、D、E按从大倒小的顺序排叠起来。分析与解为了方便比较，我们首先将这五个算式统一写成乘法形式，这样原来的算式就变成A321=B311=C109=D54=E65。下面我们可以运用倒数的知识来解决这一问题。首先我们可以假设所有算式的运算结果等于1。那么，A就是321的倒数，即53；同理，B应是43，C是911，D是411，E是511。这样，我们很容易就能比较出这五个数的大小。因为411＞511＞911＞43＞53,所以D＞E＞C＞B＞A.随堂练习一：如果a=b521=65c=d54(a、b、c、d均不等于0)，a、b、c、d四个数中，谁最大?谁最小？例2：将下列分数从小到大排列起来：52、73、2310、2912、3715。分析与解比较几个分数的大小，课本上介绍的主要方法是先通分，再比较大小。就本题而言，如果用通分再比较，太麻烦，我们可以根据“同分子的分数，分母大的分数反而小”这一性质，把这几个分数先化成同分子的分数，在进行比较就比较容易了。因为2、3、10、12、15、的最小公倍数是60，根据分数的基本性质，可以把它们分别化为：15060、14060、13860、14560、14860。1由150＞148＞145＞140＞138，可以得到：15060﹤14860﹤14560﹤14060﹤13860，即52﹤3715﹤2912﹤73﹤2310。方法点评如果几个分数的公分母比较大时，采用先通分、再比较的方法比较复杂。我们可以考虑将这些分数先化成同分子的分数，再比较大小。随堂练习二：把下列分数按从小到大的顺序排列起来。175、196、4615、3310、3730例3：已知A=55555555555553，B=666663666661。试比较A与B的大小。分析与解这两个分数的分子与分母的值都比较大，无论采用“先同分、再比较”，还是“先化成同分子的分数，再比较”的方法，都不容易。但仔细观察，可以发现：这两个分数的分子都比分母小2。我们可以根据这一特点，先比较这两个分数与1的差，再确定这两个分数的大小，这种比较方法我们把它称为“间接比较法”。因为比A比1少55555552，B比1少6666632，而55555552﹤6666632，所以A﹥B。方法点评如果两分数的分子与分母的差相等时，我们可以用间接比较法，即先比较这两个分数与1的差，再确定这两个数的大小。随堂练习三：试比较下列两个分数的大小。445443和559557例4：比较77755和7777555，那个分数大？分析与解这道题中的两个分数与上面几个题中的分数有所不同，虽然也可以采用通分或化成同分子的分数的方法，但显然不是最佳方法。仔细分析这两个数，可以发现这两个数的分母都比分子的14倍多7，所以我们可以线比较它们的倒数的大小，倒数大的那个分数的值比较小。想一想，这是为什么？77755的倒数是55714，7777555的倒数是555714，因为55714﹥555714，所以77755﹤7777555。方法点评从本题可以看出，如果两个分数的分子与分母具有相同的倍数关系，而且余数相同，采用比较倒数的方法比较简便。随堂练习四：试比较19219和17217的大小。例5：试比较下面两个分数的大小。210061207和20062207分析与解观察这两个分数，你会发现用上面的几种方法无法解答。但分析其中的数据，你会发现，第二个分数的分子2207=1207+1000，分母2006=1006+1000，即第一个分数10061207的分子与分母都加上同一个数：1000，就正好等于第二个分数20062207。方法点评当a﹥b时，ba﹥kbka,即一个分数的分子和分母都加上同一个数，得到的新分数比原分数小，所以10061207﹥20062207。同理，一个真分数的分子和分母都加上同一个数，得到的分数比原分数大。随堂练习五：比较2329与123129的大小拓展训练1、把下面及格分数按照从大到小的顺序起来。1918、3736、3231、4847、16152、比较下面两个分数的大小。999499和10015013、比较332221和665443的大小。4、比较123456789987654321与20091234567892009654321987的大小。5、比较83837171与838383717171的大小。3第2讲速算与巧算专题简析：学习数学离不开数的计算，而学习数学的最终目的在于运用所学的数学知识、技能来解决实际问题。因此，要学好数学，就必须做到计算准确而又迅速。本讲就介绍一些速算与巧算的技巧。例1：计算下面各题。（1）171649（2）2003200420032003分析与解同学们都会计算带分数除法，但相信同学们看了这两道题目后，都会感到计算太麻烦，如果我们开动脑筋想一想，就会发现：可以把（1）17164分成一个9的倍数与另一个较小得数，再利用除法的性质就可以使计算简便；把例（2）中的被除数和除数利用商不变的性质，同时除以2003后，计算就很简便了。（1）171649（2）2003200420032003=（63+1711）9=（20032003）（2004200320032003）=639+17119=1（20032003+200420032003）=7+911718=1200411=1727=20052004方法点评：有些分数四则运算用一般的方法既麻烦又费时，而且有容易出错，这时可以通过款差题目中的数据特点，把一个数拆成几个数，在计算，往往可以达到事半功倍的效果。随堂练习一：计算：（1）555655（2）167168167167例2：计算：（1+61514131）（1+5141）—（1+5141）（61514131）分析与解这道题虽然算式很长，但仔细分析其中的数据，可以发现组成这个算式的数并不多，我们可以把重复出现的数用字母表示，这样可以简化题意，方便简算。设61514131=A1+5141=B，原来的算式可以转化成：（1+A）B-BA4=B+AB-AB=B所以本题的结果为：1+5141=2091方法点评：用字母是可以使复杂的算式变得简洁，有助于我们发现规律。随堂练习二：计算：（1+978573）×（52+978573）-（1+52+978573）×（978573）例3：计算...313233323121222111501502...50485049505050495048...503502501分析与解这组分数的特点是：分母为1的分数有1个，分母为2的分数有3个，分母为3的分数有5个……且同分母的分数的和依次为1，2，3，4，5…这是一个扥差数列，可以直接利用等差数列求和公式来计算，即（首项+末项）×项数÷2=数列的和。原式=1+2+3+4+…+49+50=（1+50）×50÷2=1275方法点评：在数列求和中，发现与研究数列规律是解决有关问题的前提，灵活选用合适的方法是基本策略，转化与分组是主要方法和技巧。随堂练习三：计算：...313233323121222111+201..202.201920202019...203202201例4：计算：（1）（1321111213）÷（135115）（2）032003200320200320032003022002200220200220022002分析与解（1）被除数与除数中两个分数的分母分别相同，经试验发现：1321111213=1314511145=145×(131111),135115=5×(131111).所以，原式=（1314511145）÷（135115）=145×(131111)÷5×(131111)=145÷5=29（2）我们注意到，这个分数的分子与分母尽管数据很长，但每个数据分别是由2002和2003组成。因而我们可以先采用分解质因数，找出其中的规律，再进行简便计算。因为2002=2002×120022002=2002×10001200220022002=2002×10001100015所以2002+20022002+200220022002=2002×（1+10001+100010001）同理2003+20032003+200320032003=2003×（1+10001+100010001）原式=)100010001100011(2003)100010001100011(2002=20032002随堂练习四：计算：（1）（91111119）÷（94114）（2）2323232323232323232317171717171717171717例5：计算20191...431321211分析与解这道题的加数很多，如果采用同分后计算公分母一定很大，这显然不切合实际。下面我们来分析一下：211=1-21，321=3121，….20191=20119120191...431321211=1-21+3121+…+201191=1-201=2019方法点评：这种把一个分数拆成两个分数的差或和的方法，叫做裂项法。但是需要指出的是，题中每个分数的分母是两个连续自然数的乘积，如果不是，方法就不同了，裂项法的主要计算方法可以用下面公式来概括。当a﹤b时,ba1=(ba11)×ab1随堂练习五：计算100991...321211拓展训练1.、计算（1+5141）×（5141+61）-（1+5141+61）×（5141）2、计算（34398...343634343432）-（68699...68656863）3、计算2323232323232323232323232323231919191919191919191919191919194、计算1613113101107174141165、计算（1+21）×（1-21）×（1+31）×（1-31）×…×（1+501）×（1501-）7第3讲比的意义和应用比有奇妙的作用，在许多分数、百分数应用题中，如果恰当运用比的知识，你会真正理解什么是“事半功倍”。在这一讲，我们一起研究这方面的知识。例1：两只相同的杯子中装满盐水，一只杯子中盐与水的比是1︰2,另一只杯子中盐与比是1︰5。若把两杯盐水混合在一起，这时盐与水的比是多少？分析与解要求混合液中的盐与水的比是多少，只要求出混合液中盐与水分别是多少就行了，因为两只杯子相同，所以设每只杯子中的盐水为1，则第一支杯子中的盐占211，水占212；第二只杯子中的盐占511，水占515。两只杯子中的盐水混合后，盐为211+511=21，水为212+515=23。所以，混合液中的盐与水的比为：（211+511）︰（212+515）=21︰23=1︰3。答：混合后，盐与水的比为1︰3。方法点评：求两个量的比时，首先要能正确分析与计算每个量所占的份数或分率，然后再进行解答。随堂练习一：六年（1）班男、女人数的比是5︰4，六年（2）班男、女人数的比是2︰1，两班人数相等。求六年（1）班男男生与六年（2）班男生的人数比。例2：如右图，原形中的阴影部分面积占圆面积的41，占正方形面积的31，三角形中阴影部分的面积占三角形面积的51，占正方形面积的41。圆，正方形、三角形面积的最简整数比是多少?分