权重信息未知且对方案有偏好的区间直觉模糊多属性决策法

权重信息未知且对方案有偏好的区间直觉模糊多属性决策法卫贵武重庆文理学院经济与管理系，重庆(402160)E-mail：[e-mail]摘要：针对权重信息完全未知且对方案的偏好值和属性值均为区间直觉数多属性决策问题，首先引入了区间直觉模糊数的一些运算法则、区间直觉模糊数的得分函数和精确函数。然后对权重信息完全未知且对方案的偏好值和属性值均为区间直觉模糊数的多属性决策方法进行了研究，给出了一个基于最小偏差的目标规划模型，从而获得相应的属性权重，基于IIWAA算子对区间直觉模糊数信息进行集结，进而根据得分函数和精确函数对方案进行排序。最后，进行了实例分析,说明了该方法的实用性和有效性。关键词：区间直觉模糊数；运算法则；区间直觉模糊数加权算术平均(IIWAA)算子；偏好中图分类号：C934文献标志码：A1引言自从1965年Zadeh教授建立了模糊集理论[1]，数学的理论与应用研究范围便从精确问题拓展到了模糊现象的领域。1986年保加利亚学者Atanassov进一步拓展了模糊集，提出了直觉模糊集(IntuitionisticFuzzySets)的概念，直觉模糊集是模糊集的推广，模糊集是直觉模糊集的特殊情形[2-3]。1993年Gau和Buehrer定义了Vague集[4]，Bustince和Burillo指出Vague集的概念与Atanassov的直觉模糊集是相同的[5]。由于直觉模糊集的特点是同时考虑隶属与非隶属两方面的信息，使得它在对事物属性的描述上提供了更多的选择方式，在处理不确定信息时具有更强的表现能力。因此直觉模糊集在学术界及工程技术界引起了广泛的关注。文献[6]对直觉模糊集环境下的几何集结算子进行了研究，提出了直觉模糊加权几何(IFWGA)算子，直觉模糊有序加权几何(IFOWGA)算子和直觉模糊混合几何(IFHG)算子，并且基于IFHG算子，给出了相应的决策方法。文献[7]对直觉模糊集环境下的算术集结算子进行了研究，提出了直觉模糊算术平均(IFAA)算子和直觉模糊加权算术平均(IFWAA)算子，并且基于IFAA算子和IFWAA算子，给出了相应的群决策方法。Atanassov等[8]对直觉模糊集进一步推广，提出了区间直觉模糊集的概念。Atanassov[9]定义了区间直觉模糊集的一些基本运算法则。Xu[10]对区间直觉模糊信息的集成方法进行了研究，提出了区间直觉模糊数算术平均(IIAA)算子和区间直觉模糊加权算术平均(IIWAA)算子，区间直觉模糊数几何平均(IIGA)算子，区间直觉模糊数加权几何平均(IIWGA)算子，并将其应用于决策中。Xu[11]对区间直觉模糊信息的集成方法做了进一步的研究，提出了区间直觉模糊数有序加权平均(IIOWA)算子和区间直觉模糊混合集结(IIHA)算子。本文对权重信息完全未知且对方案的偏好值和属性值均为区间直觉模糊数的多属性决策问题进行了研究，给出了一个基于最小偏差的目标规划模型，从而获得相应的属性权重，基于IIWAA算子对区间直觉模糊数信息进行集结，进而根据得分函数和精确函数对方案进行排序，最后进行了实例分析。2区间直觉模糊集基本理论直觉模糊集(IntuitionisticFuzzySets)由Atanassov提出[2-3]，是传统模糊集的一种扩充和发展。直觉模糊集增加了一个新的属性参数：非隶属度函数,它能够更加细腻地描述和刻画客观世界的模糊性本质。[2-3]设X是一个非空经典集合，()12,,,nXxxx=L，X上形如()(){},,AAAxxxxXµν=∈的三重组称为X上的一个直觉模糊集。其中[]:0,1AXµ→和[]:0,1AXν→均为X的隶属函数，且()()01AAxxµν≤+≤，这里()(),AAxxµν分别是X上元素x属于A的隶属度和非隶属度，表示为支持元素x属于集合A的证据所导出的肯定隶属度的下界和反对元素x属于集合A的证据所导出的否定隶属度的下界。例如()()[],0.5,0.2AAxxµν=⎡⎤⎣⎦，在投票模型中这可解释为在10人中，有5人赞成，2人反对，3人弃权。对于X上的每一个直觉模糊集，称()()()1AAAxxxπµν=−−为直觉模糊集A中元素x的直觉指数，表示元素x属于A的犹豫度。显然，()01Axπ≤≤，xX∈。由于客观事物的复杂性和不确定性，()Axµ和()Axν的值往往难以用精确的实数值来表达，而用区间数比较合适，因此Atanassov[8-9]等对直觉模糊集进行了拓展，提出了区间直觉模糊集。定义2[8-9]设X是一个给定的论域，则X上的一个区间直觉模糊集A定义为()(){},,AAAxxxxXµν=∈%%其中：[]:0,1AXµ→%和[]:0,1AXν→%，且对于A上所有xX∈，满足()()()()0supsup1AAxxµν≤+≤%%。为方便，将区间直觉模糊集A记为()()()(){},,,,LULUAAAAAxxxxxxXµµνν⎡⎤⎡⎤=∈⎣⎦⎣⎦在实际计算中，可将区间直觉模糊数简记为：[][](),,,abcd其中：[][][][],0,1,,0,1,1abcdbd⊂⊂+≤。定义3[10]设[][]()11111,,,aabcd=%和[][]()22222,,,aabcd=%为任意两个区间直觉模糊数，则：(1)[][]()12121212121212,,,aaaaaabbbbccdd+=+−+−%%;(2)[][]()12121212121212,,,aaaabbccccdddd⋅=+−+−%%;(3)()()()1111111,11,,,0aabcdλλλλλλ⎡⎤⎡⎤=−−−−⎣⎦⎣⎦%;(4)()()()()11111,,11,11,0aabcdλλλλλλ⎡⎤⎡⎤=−−−−⎣⎦⎣⎦%.根据定义3，可得如下运算法则[10]：(1)1221aaaa+=+%%%%;(2)1221aaaa⋅=⋅%%%%(3)()1212,0;aaaaλλλλ+=+≥%%%%(4)()1212,0aaaaλλλλ⋅=⋅≥%%%%;(5)()1212,0;aaaaλλλλ+=+≥%%%%(6)()1212,0aaaaλλλλ⋅=⋅≥%%%%定义4[10]设[][](),,,aabcd=%为一个区间直觉模糊数，则该区间直觉模糊数的得分函数为()2acbdSa−+−=%，()[]1,1Sa∈−%(1)如果()Sa%的值越大，则相应的区间直觉模糊数[][](),,,aabcd=%也越大。定义5[10]设[][](),,,aabcd=%为一个区间直觉模糊数，则该区间直觉模糊数的精确函数为()2abcdHa+++=%，()[]0,1Ha∈%(2)如果()Ha%的值越大，则相应的区间直觉模糊数[][](),,,aabcd=%的精确度也越高。定义6[10]设[][]()11111,,,aabcd=%和[][]()22222,,,aabcd=%为两个区间直觉模糊数，那么(1)如果()()12SaSa%%，那么有12aa%%；(2)当()()12SaSa=%%时，如果()()12HaHa=%%，则12aa=%%；如果()()12HaHa%%，则12aa%%。为方便记Q为区间直觉模糊数集合。定义7[10]设()(),,,1,2,,jjjjjaabcdjn⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦%L为一组区间直觉模糊数，令:nIFWAAQQ→，若()121,,,nnjjjIIWAAaaaaωω==∑%%%%L()()111111,11,,jjjjnnnnjjjjjjjjabcdωωωω====⎛⎞⎡⎤⎡⎤=−−−−⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎜⎟⎣⎦⎣⎦⎝⎠∏∏∏∏(3)其中：()12,,,Tnωωωω=L为()1,2,,jajn=%L的属性权重，满足[]0,1jω∈和11njjω==∑。则称函数IIWAA为n维区间直觉模糊数加权算术平均(IIWAA)算子。特别地，当属性权重取值为()1,1,,1Tnnnω=L，则IIWAA算子就退化为IIAA算子，记为()1211,,,nnjjIIAAaaaan==∑%%%%L.定义8[12]设[][]()11111,,,aabcd=%和[][]()22222,,,aabcd=%为两个区间直觉模糊数，则该两个区间直觉模糊数间的规范化海明距离为()()12121212121,4daaaabbccdd=−+−+−+−%%(4)算子，提出了一种权重信息完全未知且对方案的偏好值和属性值均为区间直觉模糊数的多属性决策方法。对于区间直觉模糊数的多属性群决策问题，设{}12,,,mAAAA=L为方案集，{}12,,,nGGGG=L为属性集，()12,,,Tn=∈L表示评价属性的权重向量，其中jw表示属性jG的权重，满足211njjw==∑和0jw≥，1,2,,nL。则决策者对于方案()12,,,imAAAAA∈L关于属性()12,,,jnGGGGG∈L进行测度，属性值为区间直觉模糊数()(){},,iijAjAjjAGGGGGµν=∈%%，1,2,,,1,2,,imjn==LL，其中()iAjGµ%表示决策者对于方案iA关于属性jG的满足程度，()iAjGν%表示决策者对于方案iA不满足属性jG的程度，这里()iAjGµ%和()iAjGν%的取值应满足条件()[]()[]0,1,0,1iiAjAjGGµν⊂⊂%%，()()()()0supsup1iiAjAjGGµν≤+≤%%，为方便起见,记(),iAjijijGabµ⎡⎤=⎣⎦%,(),iAjijijGcdν⎡⎤=⎣⎦%，从而构成区间直觉模糊数决策矩阵()(),,,ijijijijijmnmnRrabcd××⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦%%。假设决策者对方案iA有一定的主观偏好，主观偏好值是以区间直觉模糊数形式给出,即[][](),,,,1,2,,iiiiiimθαβγη==%L。利用IIWAA算子对决策者的区间直觉模糊数决策矩阵()ijmnRr×=%%的属性值进行集结，得到决策方案iA关于属性jG的综合属性值[][]()()12,,,,,,iiiiiwiiinrabcdIIWAArrr==%%%%L()()111111,11,,,1,2,,jjjjnnnn====⎛⎞⎡⎤⎡⎤=−−−−=⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎜⎟⎣⎦⎣⎦⎝⎠∏∏∏∏L.(5)显然，综合属性值ir%越大，则其所对应的方案iA越优，在权重向量已经确知的情况下，很容易对方案进行排序。由于客观事物的复杂性及人类思维的模糊性，人们往往难以给出明确的属性权重。有时会出现属性权重信息完全未知道的情形。在这种情况下，需要事先确定属性的权重。由于种种条件的制约，决策者的主观偏好与客观偏好之间往往存在着一定的差距，为了使决策具有合理性，属性权重的选择的选择应使决策者的主观偏好值与客观偏好值的总偏差最小化。为此可以建立如下的单目标最优化问题。()()111211min,4..1,0,1,2,,mmnijijijiijiijiijiiijnjjjDwdrwabcdstwwjnθαβγη====⎧⎡⎤==−+−+−+−⎪⎣⎦⎨⎪=≥=⎩∑∑∑∑%%L(6)其中，(),ijidrθ%%表示在属性jG下决策者对方案iA的客观偏好值ijr%与主观偏好值iθ%之间的偏差。单目标函数()Dw表示所有属性下决策者的主观偏好值与客观偏好值之间的总偏差。解此模型，可以构造如下的拉格朗日函数：()21111,148mnnjijiijiijiijijijjLwwabcdwλλαβγη===⎛⎞⎡⎤=−+−+−+−+−⎜⎟⎣⎦⎝⎠∑∑∑(7)关于jw和λ求偏导数，并令其等于零，得到()121,0,(,)10mijiijiijiij