杆件的强度、刚度和稳定性介绍

第3章杆件的强度、刚度和稳定性3.1应力与强度3.2杆件的变形与刚度3.3压杆的稳定性分析第3章杆件的强度、刚度和稳定性3.1应力与强度问题引入细杆粗杆（有关）杆之截面形状大小（轴力N相同）（轴力N相同）木杆钢杆（材料相同）（粗细一致）细杆易断粗杆难断钢杆难断木杆易断杆之材料（有关）杆之截面形状大小杆之材料截面应力材料强度3.1.1应力的概念NNVmax截面分成同样大小（共25个）的单位正方形内力在各正方形的分布应力（如、…、（2）若内力N垂直于截面但偏于一边，则靠近N的（如、…、）为大，远离N的（如、…、）为小，且呈三角形变化。212515（1）若内力N垂直于截面且过形心，则从到皆相等，即25个单位面积力是均匀分布的。125（3）若内力V平行于截面，则便“帖”在截面上，的大小还可能出现呈抛物线形变化，即在截面中间的5个方格内的（如、…、）为最大值，而在截面的两对边的方格内的（如、…、或、…、）为小，在边缘上。3231215250讨论：NNVmax（如①应力是单位面积上的力，单位面积力的数值之和＝截面上的合力。如均匀分布的应力（＝＝＝…＝），截面面积为A，轴向内力为N，则，或。2512ANAN②当A越小，在N不变之下，分布的密集程度就越高，即数值越大，反之亦然。故应力为内力在一点处的集度。③应力垂直于截面的应力平行于截面的应力正应力，与N相同正负号。剪应力，与V相同正负号。④应力单位：牛顿/米2（N/m2），用“帕（Pa）”示之，即1Pa＝1N/m2。1KPa＝103Pa＝10－3N/mm2；1MPa＝106Pa＝1N/mm2；1GPa＝109Pa＝103N/mm2。如何通过改变几何形状或尺寸，来改变应力的大小？体重W不变，脚下的应力可随鞋与地面的接触面积不同而改变。雪橇鞋高背软椅的低应力使人感到舒适，而硬板凳的高应力却使人不爽。大头盖使拇指产生舒适应力，针尖产生非常高的应力图钉一按即硬板凳abcd3.1.2轴向拉（压）杆的应力及强度计算1)轴向拉（压）杆的应力N拉伸前画两线段、abcd①和仍然保持直线②纵向伸长量都相同badcl平面假设：变形前横截面为平面，变形后仍保持为平面，且垂直于杆轴线平面假设纵向伸长△l相同abcd拉伸后，baabdccd··lN——轴力；A——横截面积；——正应力(拉为正，压为负)各点内力相等应力均匀分布AN讨论：②对于变截面杆（A非常量），所在截面的应力不一定为最大，因还需考虑A是否为最小。maxN①对于等直杆，当N不变时，若杆截面（A）细小，则就大，细杆易断；当轴向外力较多时，应求得最大轴力，此时。maxNANmaxmax3m4m【例3.1】在例2.2中，砖柱上段截面尺寸为240mm240mm，承受荷P1=50kN；下段370mm370mm，承受荷载P2＝100kN，现试求各段之应力。【解】（1）作轴力图AB段：A1＝240240mm＝57600mm2（2）求应力MPa87.0N/mm87.057600105023111ANMPa1.1N/mm1.11369001015023222AN注意：计算时，将轴力N的正负号代入，结果为正则为拉应力，负即为压应力。AB段：kN501NBC段：kN1502NBC段：A2＝370370mm＝136900mm2N图【例3.2】图(a)为一斗式提升机。斗与斗之间用链条连接，链条的计算简图如图(b)所示，每个料斗连同物料的总重量P=2000N。钢链由两层钢板构成，如图(c)所示。每个链板厚t=4.5mm，宽h=40mm，高H=65mm，钉孔直径d=30mm。试求链板的最大应力。【解】（1）求轴力并画轴力图（2）求应力:腰部：A1＝2ht=240mm4.5mm＝360mm2孔处：A2＝2(H-d)t=2（65-30）mm4.5mm=315mm2MPa1.38N/mm1.383152000622maxmaxANN图(a)(b)(c)最大轴力Nmax=6P最大应力在链条的钉孔之处材料名称牌号容许应力低碳钢Q235170170100低合金钢Q345230230140灰口铸铁34～54160～200混凝土C200.447混凝土C300.610.3松、杉（顺纹）5～78～121栎木、桦木等（顺纹）8～1012～1622)强度条件最大应力与材料强度比较杆是否会因强度不足而破坏判断等截面轴向拉（压）杆的强度条件：注：][maxmaxAN][——材料在拉伸（压缩）时的容许应力。][][][为容许压应力；][表3.1常用材料的容许应力值（MPa）（适用于常温、静荷载和一般工作条件下的杆）轴向拉伸][为容许拉应力；][为容许剪应力。轴向压缩受剪已知内力、材料（、），根据强度条件选。maxNAANmaxmax（1）强度校核：已知材料、尺寸（、）和所受之荷载（），校核杆之强度是否满足要求。AmaxN√√√ANmaxmax若，则杆满足强度要求max若，则杆之强度就不够max问题：欲使，可，但不经济；有时可稍大于，但不能超过5%。maxAmaxmaxNA（2）截面选择：（3）容许荷载：已知材料、尺寸（、），根据强度条件确定。AmaxN√√√√ANmax3)强度计算之截面为危险截面maxN为材料的容许应力强度计算三种类型强度条件安全不安全由可选型钢（工字钢、槽钢、角钢）之型号A（内力与荷载关系）结构的最大容许荷载?？【例3.3】现有一高度为24m的正方形截面花岗岩石柱，在其顶部作用一轴向荷载P＝1000kN。已知石材容重，容许压应力＝1MPa，现要设计石柱所需的截面尺寸，分两种情况：（1）柱为等值杆；（2）柱分为三段的阶梯形杆。3kN/m28][l=24m自重【解】1.计算轴力用横截面n—n，在距顶端为x处截杆，并取上部分为对象。nnx由平衡方程：由（A）式可得轴力图。)()]([)(xAPxWPxN（A）2.设计横截面（1）等直杆的柱)(maxlAPN由（A）式知，当x＝l时，。根据强度条件有][maxmaxlAPANlPA][（B）2363m324102810101000][lPA取a=1.8m，则。2m24.3A正方形截面的边长，m73.13Aa（2）阶梯形的柱比较：与，对于受拉（压）的等直杆，当考虑自重作用时，相当于从材料的容许应力里减去。若为变截面杆（如阶梯形），则柱顶的力应分段计算。][maxNA][llPA][第1柱段：236311m29.18102810101000][lPA取，则。m2.11a21m44.1A正方形截面边长：m14.129.111Aa第2段柱：作用在第2段柱面上的力为，则11lAP236332112m7.18102810844.11028101000][llAPA取，则。m4.12a22m96.1A正方形截面边长：m3.17.122Aa第3段柱：23633322113m27.281028108)96.144.1(1028101000][llAlAPA正方形截面边长：，取，则。m51.127.233Aam6.13a23m56.2A3.等直柱与阶梯柱用材比较设等直柱和梯形柱体积为、1V2V31m76.772424.3lAV33212m68.478)56.296.144.1(3)(lAAAV阶梯柱省材3.1.3梁的正应力及强度计算1)分析梁的变形mmnnaabbmmnnaabbO1O2中性层中性轴zy（1）在加M前，画两横向线和，代表两横截面；在两横向线间，又画两条纵向线和。mmnnaabb（2）在加M后，梁发生弯曲变形。①两横向线、，仍保持直线，只是倾斜了微小角度，即横截面仍然保持平面。mmnn②两纵向线和都变成了弧线，缩短伸长。aabbaabb③在与之间，有一弧线，它既没缩短也不伸长。aabb21oo（3）与为同一纵向纤维层，即为中性层，其横截面上的轴为中性轴。此处的中性层之上为受压区，之下为受拉区。21oo受压区受拉区2)纯弯曲的正应力公式(-)(+)●y中性层中性层中性层之上（下）的各纤维层缩短（伸长），离越远，其缩短（伸长）量就越大。21oo应力和变形成正比，在梁的上（下）边缘，其压（拉）应力为最大；在中性层处，应力为零。设横截面上的中性轴为z，在与z的距离为y处的任一点的应力为。zIyMzI——截面的惯性矩。②梁在纯弯曲段内，梁的横截面上的弯矩M为一常数。b●●③沿梁宽b的各点正应力，其y值若相同，则值就不变。①当y＝0时，即在中性轴上，；当时，即在梁的上下边缘，压（拉）应力的绝对值皆为最大。0maxyy讨论3)惯性矩Iz截面几何性质惯性矩Iz截面的形状和尺寸取决于梁的承载能力将不同不同Izbhzz立放平放矩形截面对z轴惯性矩Iz=bh3/12矩形截面对z轴惯性矩Iz=hb3/12结论：同样一根梁，在同样的荷载作用下，立放时其承载能力比平放时要强。h＞b大小123zbhI123yhbI644yzdII等截面梁（Iz不变）梁又是纯弯曲（M不变）ymax和Iz同属于截面几何性质，把两者归类，即令，则maxzzyIW最大正应力发生在离中性轴最远（y＝ymax）的边缘处maxzmaxmaxIyMzmaxWMWz为抗弯截面模量。若Wz愈大，则就愈小，梁的抗弯性能就愈好，反之亦然，故Wz又称为截面抵抗矩，单位为m3。max对于矩形截面，若，且，则123zbhI2maxhy621223maxzzbhhbhyIW对于圆形截面，若，且，则644zdI2maxdy3226434maxzzdddyIW4)横力弯曲的正应力公式弯矩M沿梁的轴线x是变化的Mmax最大弯矩Mmax所在的横截面，其应力比其它截面的应力都要大，属于危险截面。Mmax=M=0M=0σ＝0σ＝0σ＝σmaxzmaxmaxWM横力弯曲的正应力公式：且离中性轴最远（y＝ymax）的边缘处。结论：中性轴)(max在危险截面（即Mmax所在横截面）上，梁的max)(maxymax（1）强度条件ZWMmaxmax——材料抗弯容许应力强度条件变成：脆性材料：，为达到材尽其用，常用上下不对称之截面。][][)()()(1max1max)max(ZZWMIyM)(2max2max)max(ZZWMIyM此时，同一截面则有两个抗弯截面模量，且较小者，其应力较大。（2）强度计算①强度校核②截面选择③许可荷载5)强度条件及计算zyCy1)(max)(maxMmaxy2三类问题ZWMmaxmaxmaxMWZZWMmax满足者，则安全，否则不安全。截面形状及尺寸。荷载最大值。][【例3.4】如图所示楼板主梁为工字型钢。已知集中荷载P＝75kN，跨度l＝10m，钢的材料抗弯容许应力＝152MPa，试选择工字钢截面的型号。l【解】梁的两端具有稍为转动及伸缩的可能，故梁计算简图可视为简支梁，mkN375maxMmaxM1.求先求出A、B两处的支座反力：YA＝YB＝（3×75）/2＝112.5kN再画出梁的弯矩图，最大弯矩在为33663maxZcm2467m1024671015210375][MWZW2.求3.选型号查附录3型钢表，选56b号工字钢，得Wx＝2447cm3＜Wz=2467cm3但相差不到1%，故可用。【例3.5】矩形截面的简支木梁，已知l=4m