山西省太原市2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷

山西省太原市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知（1+i）z=2i，则复数z=()A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i2．已知全集U=R，集合M={x|（x﹣1）（x+3）＜0}，N={x||x|≤1}，则下图阴影部分表示的集合是()A．[﹣1，1）B．（﹣3，1]C．（﹣∞，3）∪[﹣1，+∞）D．（﹣3，﹣1）3．在单调递减等比数列{an}中，若a3=1，a2+a4=，则a1=()A．2B．4C．D．24．已知函数f（x）=log2x，若在[1，8]上任取一个实数x0，则不等式1≤f（x0）≤2成立的概率是()A．B．C．D．5．执行如图所示程序框图，则输出a=()A．20B．14C．10D．76．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象()A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线（，0）7．已知在圆x2+y2﹣4x+2y=0内，过点E（1，0）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．B．6C．D．28．已知某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是()A．16B．32C．32D．489．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=ax+x﹣b的零点所在的区间是()A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）10．已知实数x，y满足条件若目标函数z=3x+y的最小值为5，其最大值为()A．10B．12C．14D．1511．已知点O为双曲线C的对称中心，过点O的两条直线l1与l2的夹角为60°，直线l1与双曲线C相交于点A1，B1，直线l2与双曲线C相交于点A2，B2，若使|A1B1|=|A2B2|成立的直线l1与l2有且只有一对，则双曲线C离心率的取值范围是()A．（，2]B．[，2）C．（，+∞）D．[，+∞）12．已知数列{an}的通项公式为an=（﹣1）n（2n﹣1）cos+1（n∈N*），其前n项和为Sn，则S60=()A．﹣30B．﹣60C．90D．120二、填空题13．已知向量，满足（2﹣）（+）=6，且||=2，||=1，则与的夹角为__________．14．已知（2x﹣）n展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是__________．15．已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D﹣ABC，当三棱锥D﹣ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为__________．16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，数列{an}的前n项和为Sn，且a1=﹣1，Sn=2an+n（m∈N*），则f（a5）+f（a6）=__________．三、解答题17．已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．18．某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量（单位：克），整理后得到如下的频率分布直方图（其中重量的分组区间分别为（490，495]，（495，500]，（500，505]，（505，510]，（510，515]）（I）若从这40件产品中任取两件，设X为重量超过505克的产品数量，求随机变量X的分布列；（Ⅱ）若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有两件产品的重量超过505克的概率．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC的所成角为60°，AA1=2，底面ABC是边长为2的正三角形，点G为△ABC的重心，点E在BC1上，且BE=BC1．（1）求证：GE∥平面AA1B1B；（2）求平面B1GE与底面ABC所成锐角二面角的余弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点F1，F2其离心率为e=，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为．（1）求a，b的值（2）若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，且满足∥，∥，•=0，求||+||的取值范围．21．已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），a∈R．（Ⅰ）若当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）＞（e+1）a，求a的取值范围．四.选修4-1：几何证明选讲22．如图，已知点C是以AB为直径的半圆O上一点，过C的直线交AB的延长线于E，交过点A的圆O的切线于点D，BC∥OD，AD=AB=2．（Ⅰ）求证：直线DC是圆O的切线；（Ⅱ）求线段EB的长．五.选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足=2．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程；（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ=，与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．五.选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若f（x）=|x﹣1+a|，求x的取值范围．山西省太原市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知（1+i）z=2i，则复数z=()A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的除法运算法则化简求解即可．解答：解：（1+i）z=2i，可得z===1+i．故选：A．点评：本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．2．已知全集U=R，集合M={x|（x﹣1）（x+3）＜0}，N={x||x|≤1}，则下图阴影部分表示的集合是()A．[﹣1，1）B．（﹣3，1]C．（﹣∞，3）∪[﹣1，+∞）D．（﹣3，﹣1）考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：集合．分析：先确定阴影部分对应的集合为（∁UN）∩M，然后利用集合关系确定集合元素即可．解答：解：阴影部分对应的集合为（∁UN）∩M，∵M={x|﹣3＜x＜1}，N={x|﹣1≤x≤1}，∴∁UN={x|x＞1或x＜﹣1}，∴（∁UN）∩M={x|﹣3＜x＜﹣1}，故选：D点评：本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图，确定阴影部分的集合关系是解决本题的关键．3．在单调递减等比数列{an}中，若a3=1，a2+a4=，则a1=()A．2B．4C．D．2考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的通项，得到+q=，进利用数列{an}为递减数列，求出公比q的值，即可求出a1的值．解答：解：∵a3=1，a2+a4=，∴+q=，∵数列{an}为递减数列，∴q=∴a1=4，故选：B．点评：此题考查了等比数列的性质，通项公式，考查学生的计算能力，比较基础．．4．已知函数f（x）=log2x，若在[1，8]上任取一个实数x0，则不等式1≤f（x0）≤2成立的概率是()A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意，本题是几何概型的考查，只要求出区间的长度，利用公式解答即可．解答：解：区间[1，8]的长度为7，满足不等式1≤f（x0）≤2即不等式1≤log2x0≤2，解答2≤x0≤4，对应区间[2，4]长度为2，由几何概型公式可得使不等式1≤f（x0）≤2成立的概率是；故选C．点评：本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确结合测度，；本题利用区间长度的比求几何概型的概率．5．执行如图所示程序框图，则输出a=()A．20B．14C．10D．7考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，i的值，当i=2016时，不满足条件i≤2015，退出循环，输出a的值为10．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=10，i=1满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=5，i=2满足条件i≤2015，满足条件a是奇数，a=14，i=3满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=7，i=4满足条件i≤2015，满足条件a是奇数，a=20，i=5满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=10，i=6满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=5，i=7满足条件i≤2015，满足条件a是奇数，a=14，i=8…观察规律可知，a的取值以5为周期，由2015=403×5可得满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=10，i=2016不满足条件i≤2015，退出循环，输出a的值为10．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，观察规律可知a的取值以5为周期从而解得退出循环时a的值是解题的关键，属于基本知识的考查．6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象()A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线（，0）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可．解答：解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴T==π，解得ω=2，即f（x）=sin（2x+φ），将其图象向右平移个单位后得到y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x+φ﹣），若此时函数关于原点对称，则φ﹣=kπ，即φ=+kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=﹣1时，φ=．即f（x）=sin（2x）．由2x=，解得x=+，k∈Z，故当k=0时，函数的对称轴为x=，故选：B点评：本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的性质的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．7．已知在圆x2+y2﹣4x+2y=0内，过点E（1，0）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．B．6C．D．2考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：圆x2+y2﹣4x+2y=0即（x﹣2）2+（y+1）2=5，圆心M（2，﹣1），半径r=，最长弦AC为圆的直径．BD为最短弦，AC与BD相垂直，求出BD，由此能求出四边形ABCD的面积．解答：解：圆x2+y2﹣4x+2y=0即（x﹣2）2+（y+1）2=5，圆心M（2，﹣1），半径r=，最长弦AC为圆的直径为2，∵BD为最短弦∴AC与BD相垂直，ME=d=，∴BD=2BE=2=2，∵S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=BD×EA+×BD×EC=×BD×（EA+EC）=×BD×AC==2．故选：D点评：本题考查四边形的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．8．已知某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是()A．16B．32C．32D．48考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是四棱锥，结合题目中的数据，求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，如图所示；∴该几何体的体积是V四棱锥=××（2+6）×6×6=48．故选：D．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．9．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=ax+x﹣b的零点所在的区间是()A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）考点：函数的零点；指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数，指数的转化得出f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f（0）=1﹣log32＞0，f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，判定即可．解答：解：∵实数a，b满足2a=3，3b=2，∴a=log23＞1，0＜b=log32＜1，∵函数f（