1-2 实数集的完备性和确界存在定理

2011年9月南京航空航天大学理学院数学系1实数集数学分析研究的对象是实数集上的函数。实数分为有理数和无理数。2011年9月南京航空航天大学理学院数学系2实数大小的比较2011年9月南京航空航天大学理学院数学系3实数的一些主要性质1、四则运算封闭性2、有序性3、实数大小传导性4、Archimedes性5、稠密性6、数轴——实数的完备性0,,,,abRbanNnab2011年9月南京航空航天大学理学院数学系4绝对值与不等式绝对值定义：,0,0aaaaa从数轴上看绝对值就是到原点的距离2011年9月南京航空航天大学理学院数学系5绝对值的一些主要性质||||00||0-;||,04.5.||||||||6.,0||aaaaaaaahhahahhahhabababababaabbb1.当且仅当时2.-||||3.||2011年9月南京航空航天大学理学院数学系6几个重要不等式221.2;sin1;sinababxxx122.,,,naaaR平均值不等式12i=1i=111nnnininaaaana调和平均值几何平均值算术平均值2011年9月南京航空航天大学理学院数学系7区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点..,,baRba且}{bxax称为开区间,),(ba记作}{bxax称为闭区间,],[ba记作oxaboxab2011年9月南京航空航天大学理学院数学系8}{bxax}{bxax称为半开区间,称为半开区间,),[ba记作],(ba记作}{),[xaxa}{),(bxxboxaoxb有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.2011年9月南京航空航天大学理学院数学系9邻域:.0,且是两个实数与设a(,).记作Ua,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径(,){}.记作：Uaxaxaxaaa,邻域的去心的点a(,){0}.Uaxxa,}{邻域的称为点数集aaxx2011年9月南京航空航天大学理学院数学系10有界数集2011年9月南京航空航天大学理学院数学系11MM2M1上确界上界m2mm1下确界下界2011年9月南京航空航天大学理学院数学系12定义2（确界的精确定义）设A为实数集R的非空子集，若数s满足以下两条：(1).xAxssA对一切，都有（即为的上界）00(2).0xAxs对任意，都有，使得则称s为实数集A的上确界，记作supA若数t满足以下两条：(1).xAxttA对一切，都有（即为的下界）00(2).0xAxt对任意，都有，使得则称t为实数集A的下确界，记作infA2011年9月南京航空航天大学理学院数学系13若集合A没有上界，则记supA若集合A没有下界，则记infA根据实数集合的连续性，可以得到如下的定理：确界存在定理：任一有上（下）界的非空实数集必有上（下）确界注：非空有界实数集的上（下）确界是唯一的！2011年9月南京航空航天大学理学院数学系14有关确界的一些性质假设A和B为两个非空实数集合1.supsupinfinfABABAB若，则，2.supinfxAyBxyAB若，，都有，则2011年9月南京航空航天大学理学院数学系1512思考题：、任何有限数集是否一定都存在上、下确界？若都存在，它们分别是数集中的什么数？、任何无限数集是否一定存在上、下确界？3、若数集有界，则其上下界分别有多少个？它的上下确界分别有多少个？4、空集有界吗？有确界吗？