现代设计方法第4章-1简单实例讲解(1)

第四章计算机辅助工程CAE•使用有限元法求解实际问题时，必须对求解的问题进行简化。因为进行了简化，求出的不再是精确解，而是一个近似解。对复杂的实际问题，经典的数学工具常不能求出它们的精确解。在这种情况下，常借助于“数值方法”。运用这种方法，最后求解的不再是解析形式的解，而是数值形式的解。有限元法属于一种数值方法。同其它数值方法一样，有限元法获得广泛的应用的基础是电子计算机的普及。同时，增加计算机的计算量，可以达到提高近似解精度的目的。•化整为零，集零为整，把复杂结构看成由若干通过节点相连的单元组成的整体，这就是有限元法的基本思路。一个简单的应用实例为了更好的了解有限元法的基本概念和求解问题的基本步骤，下面研究一个简单的实例。一根由两段组成的阶梯轴，一端固定，另一端承受一个轴向载荷F3（图3-3所示）。这两段轴的横截面积分别为A（1）和A（2），长度分别为和弹性模量分别为E（1）和E（2），求出这两段轴的应力和应变。已知的数据分别为:A（1）=2cm2，A（2）=1cm2，10cm，E（1）=E（2）=1.96X107N/cm2，F3=10N。)1(l)2(l)2()1(llＡ（１），E（1）A（2），E（2）F312312F1F2F33)1(l)2(l图3-3受轴向载荷的阶梯轴单元①1（1）单元②1（2）2（2）2（1）)1(1)2(2)1(2)2(1求解过程如下所述：1.离散化把这根阶梯轴看成由两个单元组成，截面选在截面积突变处。两个单元的连接处是一个节点，该阶梯轴的两端视为另外两个节点，整个结构共有三个节点。这根轴是一维结构，并只受轴向载荷，因此各单元内只有轴向位移。三个节点的位移量分别记为。在整个结构中，节点载荷F及节点位移都用大写字母标记，其角标为节点在总体结构中的编码，简称为总码。321,和2.单元刚度矩阵下面分析某等截面的单元e，当其两端分别承受两个轴向力f1（e）和f2（e）作用时的位移情况（图3-4）。从材料力学的知识可知：在两端这两个节点1（e），2（e）处的位移量和轴向力f1（e）和f2（e）间的关系式为：)(2e)(1e)()()(2)(1)()()()(2)(2)(1)()()()(1eeeeeeeeeeeelAEflAEf（3-1）注意：在分析单元刚度矩阵时，载荷及位移均用小写字母标记，其上角标为该单元的编码，下脚标是该单元内节点的局部编码。为简化，将式（3-1）的两式合并，同时提出单元e的标记，并写成矩阵的形式：)(21)()()()(211111eeeeelAEff)(elf2（e）f1（e）节点1x节点2A（e）,E（e）)(2e)(1e图3-4单元e的载荷及位移)()()(eeekf)(21)()(21)()()()()(1111eeeeeeeeppflAEk)(22211211)()(eeekkkklEAlEAlEAlEAk式中[k](e)为单元刚度矩阵。由式(3-2)中可看出,单元刚度矩阵是由节点位移矢量求该单元节点力矢量[f](e)时的转移矩阵。将该式中的单元刚度矩阵改写成矩阵的标准形式，则（3-2）)(e或简记为该矩阵中的任意一个元素kij都称为单元刚度系数。它表示该单元内节点j处产生单位位移时，在节点i处所引起的载荷fi。3.总体刚度矩阵的集成和总体平衡方程的写出再回到这根两段的阶梯轴，设该轴上三个节点的位移分别为，作用在该三个节点上的轴向力分别为F1、F2、F3。他们分别组成该整体结构的节点位移矢量{}和节点力矢量{F}{F}={F1,F2,F3}T（3-3）T321,,3,2,1321333231232221131211321KKKKKKKKKFFF（3-4）仿照式（3-2），这两个矢量之间的转换关系可表示为或KF式（3-4）是总体平衡方程。式中，[K]称为总体刚度矩阵，其中的元素Kij称为总体刚度矩阵系数。求出总体刚度矩阵是进行整体分析的主要任务。一旦获得总体刚度矩阵，可以很容易地写出总体平衡方程。求总体刚度矩阵的方法主要有两种：一种是根据总体刚度矩阵的定义分别求出它们，从而写出总体刚度矩阵；另一种是分别先求出各单元的刚度矩阵。然后利用集成的方法求出总体刚度矩阵。首先介绍第一种方法。总体刚度系数Kij表示在整个结构中除节点j产生单位位移外，其余各节点的位移均为零时，在节点i处所引起的载荷Fi。根据这个定义，当本结构中的节点2和3位移量均为零，要使节点1产生单位位移时，在节点1处所需施加的载荷为。他就是总体刚度系数K11。当节点1和3固定，节点2产生单位位移时，在节点1处引起的载荷为。这就是总体刚度系数K12。当节点1和2固定，节点3产生单位位移时，不会在节点1处引起载荷。因此K13=0。当节点1和3固定，节点2产生单位位移时，要在节点2施加的载荷为。它为总体刚度系数K22。)1()1()1(lAE)1()1()1(lAE)2()2()2()1()1()1(lAElAE还可依次写出其余各总体刚度系数)1()1()1(21lAEK)2()2()2(3223lAEKK)2()2()2(33lAEKK31=0因此总体刚度矩阵为)2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1(00lAElAElAElAElAElAElAElAEK这种方法具有概念清晰的特点，但是在分析复杂结构时运算极其复杂，因而限制了它的应用。上述方法是从总体刚度矩阵的定义出发，求出整个结构节点与节点之间的刚度联系，得到总体刚度矩阵。)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1(lAElAElAElAEk)2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2(lAElAElAElAEk应当注意：虽然结构的总变形是两个单元变形的叠加，但是总体刚度矩阵[K]并不是两个单元刚度矩阵[k](1)和[k](2)的简单相加。在进行这项工作前，一定要分清两种编码方法。一种是节点的局部码，单元e的两个节点的局部码分别为1（e）和2（e）；另一种是节点总码，即对结构中全部节点进行统一的编码。在本例中，阶梯轴三个节点的总码分别记为1、2、3。第二种方法是从单元刚度矩阵出发，根据叠加的原理，利用刚度系数集成方法获得总体刚度矩阵。这样，首先要写出各单元的刚度矩阵。从式（3-2）可知，当e分别为1和2时，两个单元的刚度矩阵分别为局部码总码1（1）12（1）21（2）22（2）3一定要注意：在单元刚度矩阵[k]（e）中，各元素按局部码排列，而总体刚度矩阵[K]中，各元素按总码排列。由于[k]（e）是2X2阶矩阵，而[K]是3X3阶矩阵，所以首先要将单元刚度矩阵由2X2阶矩阵改写为3X3阶矩阵。改写后的单元刚度矩阵[k]（e）中，各元素不再按节点局部码排列，而是按总码排列。这样，对单元1总码123)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1(2100000321lAElAElAElAEK1（1）2（1）局部码由图3-3可以看出，分析该阶梯轴时两种编码的对应关系为对单元2总码123)2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2(2100000321lAElAElAElAEK1（2）2（2）局部码将各改写的单元矩阵相加，即可获得总体刚度矩阵[K]=[K]（1）+[K]（2）为简化这一过程，可按以下步骤写出总体刚度矩阵（演变成第三种方法，着重要要求掌握的）：将原单元刚度矩阵中的各系数按总码进行标记，例如)1(22211211)1(KKKKK)1()1()1()1(22)1(11lAEKK)1()1()1()1(21)1(12lAEKK)2(33322322)2(KKKKK)2()2()2()2(33)2(22lAEKK)2()2()2()2(32)2(23lAEKK式中式中将角标相同的系数相加，并按总码的顺序排列，则总体刚度矩阵)2(33)2(32)2(23)2(22)1(22)1(21)1(12)1(1100KKKKKKKKK321)2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1(32100lAElAElAElAElAElAElAElAEFFF总体平衡方程为从上式可以看出，用两种方法所获的总体刚度矩阵相同。从已知条件可知：F2=0，F3=10N，且cmNlAEcmNlAE/1096.1,/1092.36)2()2()2(6)1()1()1(将这些数据代入上式，总体平衡方程可写为1001101320221096.113216F式中，F1为节点1处的约束反力。10011131096.1326cm5210255.0cm5310765.0经求解，可得4.节点位移的计算——支承条件的引入现在仍不能求出上式中的未知量因为总体刚度矩阵[K]是一个奇异矩阵，必须引入支承条件。在本例中支承条件是节点1的位移为零，即总体平衡方程简化为321,,,015.各单元内应力和应变的计算在求出各节点位移的基础上，可求出各单元的应变：对单元16)1(12)1(10225.0lx对单元26)2(23)2(1051.0lx各单元内应力为：对单元1对单元22)2()2()2(2)1()1()1(/996.9/998.4cmNEcmNE这个例子虽然简单，但是求解过程却包括了用有限元法求解问题最重要的几个步骤：1）对整个结构进行简化。将其分割成若干单元，单元间彼此通过节点相连。2）求出各单元的刚度矩阵。3）集成总体刚度矩阵并写出总体平衡方程。4）引入支承条件，求出每个节点的位移。5）求出各单元内的应力和应变。