高等数学(第五版)10-5对坐标的曲面积分

第五节一、对坐标的曲面积分的概念与性质二、对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分第十章术语：有向曲面一般考虑的曲面有两侧。曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧n双侧曲面取定曲面的一侧后，相应的规定法向量的指向的曲面称为有向曲面.取上侧一、问题的提出:引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场由kzyxRjzyxQizyxPzyxv),,(),,(),,(),,(给出,Σ是速度场中的一片光滑有向曲面,函数),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP都在Σ上连续,求在单位时间内流体穿过Σ流向某一侧的流量V.xyzo流体流过曲面一侧的流量Snv)(Snv单位时间的流量cosvSV.的单位法向量是其中n.是平面区域为常向量，流速v简单情形：).,,(iiiiiSS取一点上任，在每个小块任意分割成若干将曲面xyzoiSivindSRQP)coscoscos(.是连续的流速是光滑的和曲面vSRQP)coscoscos(VV流量),,(的方向角是单位法向量设ndSnvSRQP)coscoscos(lim0Snv)()(RdxdyQdzdxPdydz记作投影面积再带上正或负号xyzSondcosS又cosSxy)S(记作而定）的夹角是锐角还是钝角与坐标轴正向（符号由法向量n])S()S()S([lim0xyzxyzRQPVxy)(cosS面上的投影在称为xoySyzyz)S()(记作.在三个坐标面上的投影代表、、其中Sdxdydzdxdydzzxzx)S()(记作定义设Σ为光滑的有向曲面,函数),,(zyxR在Σ上有定义,把Σ分成n块小曲面iS(iS同时又表示第i块小曲面的面积),iS在xoy面上的投影为xyiS)(,),,(iii是iS上任意取定的一点,如果当各小块曲面的直径的最大值0时,nixyiiiiSR10))(,,(lim存在,则称此极限为函数),,(zyxR在有向曲面Σ上对坐标yx,的曲面积分，记作dxdyzyxR),,(,即二、多元函数对坐标的曲面积分的概念dxdyzyxR),,(类似可定义niyziiiiSPdydzzyxP10))(,,(lim),,(nizxiiiiSQdzdxzyxQ10))(,,(lim),,(注：当),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP在有向光滑曲面Σ上连续时,对坐标的曲面积分存在.xyzoiSxyiS)(),,(iiiRnixyiiiiSR10))(,,(limdSRQP)coscoscos(两类曲面积分的联系:dxdyRQdzdxPdydz.),,(,,的方向角处的法向量上点是有向曲面其中zyx物理意义:dSnvVcosdSdxdy.dxdyRQdzdxPdydz.在三个坐标面上的投影表示、、dSdxdydzdxdydz流体穿过曲面流向某一侧的流量.xyzSonddScosdSdzdxcosdSdydz性质:2121RdxdyQdzdxPdydzdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),,(),,(),,(),,(),,(),,(设ˉ表示的反向曲面，则曲面积分对积分曲面的可加性两类曲面积分的区别:方向性所以求对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧！iiiniiSf),,(lim10dSzyxf),,(无方向性0三、对坐标的曲面积分的计算法设曲面Σ：),(yxzz，Σ在xoy面上的投影区域为xyD,xyDxyzoxyS)(,)()(xyxyS,取上侧如果xyDdxdyyxzyxR)],(,,[,0cosdxdyzyxR),,(:),,(dxdyzyxR计算意义：平面积分（二重积分）曲面积分投影n,取下侧若dxdyzyxR),,(xyDdxdyyxzyxR)],(,,[则有给出由如果,),(zyxxdydzzyxP),,(则有给出由如果,),(xzyydzdxzyxQ),,(取负号）取左侧取正号；取右侧,,(取负号）取后侧取正号；取前侧,,(,0coszxDdzdxzxzyxQ]),,(,[,)()(xyxySyzDdydzzyzyxP],),,([例1.设解:yxzdd2rrrd)1(d21020yxDyxyxdd)1(22∑取上侧，计算yxz111n例2计算xyzdxdy其中Σ是球面1222zyx外侧在0,0yx的部分.解:两部分和分成把21;1:2211yxz,1:2222yxzxyz1221xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdyxyDdxdyyxxy221xyDdxdyyxxy2212.152xyDrdrdrr221cossin2xyDdxdyyxxy)1(22xyz12.0,0,0:dddddd.3222的整个表面的外侧是长方体其中，计算例czbyaxyxzxzyzyx解:xzycbadydzx2yzDdydza2.2bcadzdxy2zxDdzdxb2.2acbdxdyz2xyDdxdyc2.2abc).(cbaabc原式分别求三个积分，投影到三个坐标面上。前dydzx2前*求对坐标的曲面积分，也可先化为对面积的曲面积分，然后只投影到一个坐标面上。dSRQP)coscoscos(dxdyRQdzdxPdydz,取上侧如果n则法向量}1,,{yxzzcos,122yxxzzz,1cos22yxyzzz,11cos22yxzzdxdyzzzzRzzzQzzzPyxyxDyxyyxxxy222222221)1111(.])()([dxdyRzQzPxyDyx(,)zfxy}1,,{yxzz例4计算zdxdydydzxz)(2,其中Σ是旋转抛物面)(2122yxz介于平面0z及2z之间的部分的下侧.解:dSzxz]coscos)[(2zdxdydydzxz)(2xyDdxdyyxyxzyxxxz22222221]111)[(n法向量}1,,{yx(只投影到一个坐标面上)(先化为对面积的曲面积分)))(21(22yxzxyDdxdyyxxxyx)](21))(41[(22222xyDdxdyyxx)](21[2222022220)21cos(rdrrrd.8)0)(41(222xyDxdxdyyx)4:(22yxDxy例5*.位于原点电量为q的点电荷产生的电场为解:Srkqd2SRkqd2。q求E通过球面:r=R外侧的电通量.SnEd要点:第五节对坐标的曲面积分,在三个坐标面上的投影代表、、其中SdxdydzdxdydzRdxdyQdzdxPdydz对坐标的曲面积分的定义:yxixzizyiniSRSQSPlim10流体穿过曲面流向某一侧的流量.物理意义:dSnvV.dxdyRQdzdxPdydz.锐角还是钝角而定与坐标轴正向的夹角是符号由法向量nxyzSonddS方向性.xyDdxdyyxzyxR)],(,,[dxdyzyxR),,(所以求对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧！取负号）取下侧取正号；取上侧,,(计算:平面积分（二重积分）曲面积分投影两类曲面积分的区别:dSRQP)coscoscos(两类曲面积分的联系:dxdyRQdzdxPdydzcosdSdxdy，则：若曲面),(yxzzxyzSonddScosdSdzdxcosdSdydz莫比乌斯带附：单侧曲面的例子