高等数学在中学数学中的应用1000例

定理10设函数f(x)在I可导。函数f(x)在区间I是凸函数Ixx21,，且21xx，有))()()(()(22xfxfxfxf。推论若函数f(x)在区间I上存在二阶导数，且（1）Ix，有0)(xf，则函数f(x)在区间I严凸。（2）Ix，有0)(xf，则函数f(x)在区间I严凹。定理11（詹生不等式）若函数f(x)在区间I是凸，则有不等式)()()()(22112211nnnnxfqxfqxfqxqxqxqf其中,,,2,1,0,niqIxii且121nqqq。利用拉格朗日重要不等式证明不等式例33（101页）证明：若函数)(xf在闭区间[a,b]满足拉格朗日定理，且)(xf在[a,b]上单调增加（减少），则10110)()()()(niiniixfhafbfxfh（10110)()()()(niiniixfhafbfxfh）其中a=0x,ihxxi0(i=0,1,2,···，n),nabhbnhxxn,0(此不等式称为拉格朗日重要不等式)证明已知函数)(xf在闭区间[a,b]满足拉格朗日定理，则)(xf在1,iixx（i=0，1，2，···，n-1）上也满足拉格朗日定理，有))(()()(11iiiiixxfxfxf),(1iiixx（i=0，1，2，···，n-1）又已知)(xf在[a,b]上单调增加，则)(xf在1,iixx（i=0，1，2，···，n-1）上也单调增加，从而))((1iiixxxf))(()()(111iiiiixxxfxfxf或)(ixfh)()()(11iiixfhxfxf（i=0，1，2，···，n-1）于是10110101)())()(()(niininiiiixfhxfxfxfh即10110)()()()(niiniixfhafbfxfh类似可证，)(xf为单调减少的情形利用凸凹函数证明不等式例38（105页）证明：当0ia（i=0,1,2,····,n）时，有不等式naaaaaaaaannnnn212121121（调和平均数）（几何平均数）（算术平均数）证明分别证明两个不等式，首先证明右端不等式。设xxfln)(，),0(x，21)(xxf0，根据定理10推论知，f(x)在),0(内为凸函数，由詹生不等式，令,0iiax，有nanananananannlnlnlnln2121或,lnlnlnlnln211121121nnnnnnnaaaaaanaaa即nnaaa21naaan21。其次证明左端不等式，只须令,01iiax，有nanananaaann1ln1ln1ln111ln2121，或nnnnaaaaaanaaan1212121lnlnlnln1111ln，即nnnaaaaaan2121111综上所证有naaaaaaaaannnnn212121121。例42（107页）证明：当,,,2,1,0niai且0,0,1时，有不等式121121naaanaaanbn。证明设xxf)(，),0(x01)(2xxf故f(x)在),0(上是凸函数，由詹生不等式，有)()()(12121nnafafafnnaaaf，即naaanaaann2121。若用ia代替),,2,1(niai，两边开次方，有121121naaanaaanbn若令1,2，有.212222121naaanaaann如果用nnnnQAGH,,,分别代表n个正数naaa,,,21的调和平均值，几何平均值，算术平均值和平方平均值，即nnaaanH11121，nnnaaaG21naaaAnn21，naaaQnn22221。则nnnnQAGH。例43（108页）证明：Rxxxn,,,21，有不等式nxxxnxxxnn22221221证明设,02)(,,)(2xfRxxxf根据定理10推论知，f(x)在R上为凸函数，由詹生不等式，Rxxxn,,,21，有nxxxnxxxnn22221221。当n=2时，有222221221xxxx（高中代数习题）例44（108页）证明：当Raaan,,,21，且121naaa时，有不等式nnaaa3)2()2)(2(21证明设Rxexfx),2ln()(则0)2(2)(2xxeexf根据定理10推论知，f(x)在R上为凸函数，有詹生不等式，有)0(lnlnln)(ln)(ln)(ln12121fnaaafafafafnnn，即3ln)2ln()2ln()2ln()2ln(021nenaaan于是nnaaa3)2()2)(2(21注121naaa0lnlnln21naaa欲证nnaaa3)2()2)(2(213ln)2ln()2ln()2ln(21naaan3ln)2ln()2ln()2ln(lnlnln21neeenaaa故，设函数为xexfx),2ln()(，niaxii.,2,1,ln。例55（赫尔德不等式）（114页）已知,0,0qp且,111qp求证：qniipninipiiiixx11111其中nixii,,2,1,0,0。证明有题设条件1111qp，则1p。设),0(,)(xxxfp则0)1()(1xxppxf，根据定理10推论知，f(x)在),0(内为凸函数，由詹生不等式，有niiniiiniiniiixfxf1111))((即niinipiipniiniiixx1111或pniipnipiiniiniiixx111111pniipnipiiniiixx111111于是，qniipninipiiiixx11111（*）若令qiiipiibxa11,，则iiqiipiiibaxx)()(11且,,iqipiiibxa则（*）式为qniniiqpnipiiibaba11111)()(若令)1(1,1qp，且ia与ib分别用pia1与qib1代替，则（*）式为qniniipniiqipibaba1111111)()(或niniianiiiibaba111)()(这就是常见的赫尔德不等式形式。例69（122页）证明：当0,,cba时，有不等式abccba3333。证明设),0(,3)(333xbcxcbxxfbcxxf33)(2令0)(xf，即0332bcx，解得驻点bcx，且),0(bcx，有),(;0)(bcxxf，有0)(xf，知函数)(xf在点bcx取极小值，其极小值为bcbccbbcbcf3)()(3333332cbcbcbcb0)(233cb由于)(xf在),0(上连续，且只有一个极小点，因此这个极小点就是最小点，则),0(x，有0)(3)(33333cbbcxcbxxf。令ax，于是，03333abccba即abccba3333例73（124页）证明：1x，且,2,,0nNnx有不等式nxxn1)1(证明设),1(,1)1()(xnxxxfn，且0x]1)1[()1()(11nnxnnxnxf，)0,1(x，有0)(xf，故函数)(xf在（-1，0）内严格减少；),0(x，有0)(xf，故函数f（x）在),0(内严格增加，显然f(x)在点x=0连续。0),,1(xx有0)0()(fxf或,01)1(nxxn即nxxn1)1(例75（125页）证明不等式qpbqapab11（杨格不等式，英国数学家）其中111,1,0,0qppba。证明设),0[,)(1xpxxxfp，则)1(1)1(1)(111qpxpxpxf令0)(xf，即0)1(11qxp解得唯一一个驻点1x，且)1,0(x，有),1(;0)(xxf，有0)(xf。知，函数)(xf在点x=1取极大值，其极大值为qpf111)1(由于f(x在)),0[上连续，且只有一个驻点，因此这个极大值点就是最大点，则),0[xx，有qpxxp11。令，有成立时，欲证的不等式显然当0bbaxqpqbapbaqppq11pqqpqpbqbapa11)1(qpq即qpbqapab11例78（127页）证明：则,,,,,,,,2121Rnnnnnnnn121112121（1）证明）式成立，事实上，设时，（用数学归纳法，当12n)()1()(,,,)11()1()(11ttttfRttttf,0)(),,(;0)(),,0(,,0)(tfttftxtf有且解得驻点令于是函数有最小值，则取极小值，此极小值为在点,,)(Ryxxtf212122112121)()()(1)()(,)()()()()()(从而，即，yxyxyxyyxxyyxxyxxyff时，有）式成立，时，（假设11knkn111211211211111112121)(121121121121)()(kkkkkkkk