专题【18】《等差数列和等比数列》ppt课件

专题18等差数列和等比数列等差数列和等比数列主干知识梳理热点分类突破真题与押题1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．考情解读3主干知识梳理1．an与Sn的关系Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.2.等差数列和等比数列等差数列等比数列定义an－an-1＝常数(n≥2)＝常数(n≥2)通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1(q≠0)anan－1判定方法(1)(1)定义法(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n≥1)⇔{an}为等差数列(3)通项公式法：an＝pn＋q(p、q为常数)⇔{an}为等差数列(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：＝an·an＋2(n≥1)(an≠0)⇔{an}为等比数列(3)通项公式法：an＝c·qn(c、q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列a2n＋1判定方法(2)(5){an}为等比数列，an0⇔{logaan}为等差数列(4){an}为等差数列⇔{}为等比数列(a0且a≠1)性质(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(2)an＝am＋(n－m)d(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍成等差数列(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq(2)an＝amqn－m(3)等比数列依次每n项和(Sn≠0)仍成等比数列naa前n项和(2)q＝1，Sn＝na1Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d(1)q≠1，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q热点一等差数列热点二等比数列热点三等差数列、等比数列的综合应用热点•分类突破例1(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＋a6＝12，则S7的值是()A.21B.24C.28D.7热点一等差数列思维启迪利用a1＋a7＝2a4建立S7和已知条件的联系；解析由题意可知，a2＋a6＝2a4，则3a4＝12，a4＝4，所以S7＝7×a1＋a72＝7a4＝28.C(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－1a31,0a63，则S9的取值范围是________．思维启迪将a3，a6的范围整体代入．解析S9＝9a1＋36d＝3(a1＋2d)＋6(a1＋5d)又－1a31,0a63，∴－33(a1＋2d)3,06(a1＋5d)18，故－3S921.(－3,21)(1)等差数列问题的基本思想是求解a1和d，可利用方程思想；(2)等差数列的性质①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；②Sm，S2m－Sm,S3m－S2m，…，仍成等差数列；思维升华③am－an＝(m－n)d⇔d＝(m，n∈N*)；④(A2n－1，B2n－1分别为{an}，{bn}的前2n－1项的和)．(3)等差数列前n项和的问题可以利用函数的性质或者转化为等差数列的项，利用性质解决．思维升华am－anm－nanbn＝A2n－1B2n－1变式训练1(1)已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，S11＝，则a12的值是()A．15B．30C．31D．64992解析因为a8是a7，a9的等差中项，所以2a8＝a7＋a9＝16⇒a8＝8，再由等差数列前n项和的计算公式可得S11＝11a1＋a112＝11·2a62＝11a6，又因为S11＝992，所以a6＝92，则d＝a8－a62＝74，所以a12＝a8＋4d＝15，故选A.答案A(2)在等差数列{an}中，a50，a60且a6|a5|，Sn是数列的前n项的和，则下列说法正确的是()A．S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6…均大于0B．S1，S2，…S5均小于0，S6，S7，…均大于0C．S1，S2，…S9均小于0，S10，S11…均大于0D．S1，S2，…S11均小于0，S12，S13…均大于0解析由题意可知a6＋a50，故S10＝a1＋a10×102＝a5＋a6×1020，而S9＝a1＋a9×92＝2a5×92＝9a50，故选C.答案C例2(1)(2014·安徽)数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝______.热点二等比数列思维启迪列方程求出d，代入q即可；解析设等差数列的公差为d,则a3＝a1＋2d,a5＝a1＋4d,∴q＝a3＋3a1＋1＝a1－2＋3a1＋1＝1.∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5),解得d＝－1，1(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝52，a2＋a4＝54，则Snan等于()A．4n－1B．4n－1C．2n－1D．2n－1思维启迪求出a1，q，代入化简．解析∵a1＋a3＝52，a2＋a4＝54，∴a1＋a1q2＝52，①a1q＋a1q3＝54，②由①②可得1＋q2q＋q3＝2，∴q＝12，代入①得a1＝2，∴an＝2×(12)n－1＝42n，∴Sn＝2×1－12n1－12＝4(1－12n)，∴Snan＝41－12n42n＝2n－1，故选D.答案D(1){an}为等比数列，其性质如下：①若m、n、r、s∈N*，且m＋n＝r＋s，则am·an＝ar·as；②an＝amqn－m；③Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列(q≠－1)．思维升华(2)等比数列前n项和公式Sn＝①能“知三求二”；②注意讨论公比q是否为1；③a1≠0.思维升华na1q＝1，a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1.变式训练2(1)已知各项不为0的等差数列{an}满足a4－2a＋3a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b8b11等于()A．1B．2C．4D．827解析∵a4－2a27＋3a8＝0，∴2a27＝a4＋3a8，即2a27＝4a7，∴a7＝2，∴b7＝2，又∵b2b8b11＝b1qb1q7b1q10＝b31q18＝(b7)3＝8，故选D.D(2)在等比数列{an}中，a1＋an＝34，a2·an－1＝64，且前n项和Sn＝62，则项数n等于()A．4B．5C．6D．7解析设等比数列{an}的公比为q，由a2an－1＝a1an＝64，又a1＋an＝34，解得a1＝2，an＝32或a1＝32，an＝2.当a1＝2，an＝32时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q＝2－32q1－q＝62，解得q＝2.又an＝a1qn－1，所以2×2n－1＝2n＝32，解得n＝5.同理，当a1＝32，an＝2时，由Sn＝62，解得q＝12.由an＝a1qn－1＝32×(12)n－1＝2，得(12)n－1＝116＝(12)4，即n－1＝4，n＝5.综上，项数n等于5，故选B.答案B例3已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；热点三等差数列、等比数列的综合应用思维启迪利用方程思想求出a1，代入公式求出an和Sn；解由a2＋a7＋a12＝－6得a7＝－2，∴a1＝4，∴an＝5－n，从而Sn＝n9－n2.(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有SnTm＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．思维启迪将恒成立问题通过分离法转化为最值．解由题意知b1＝4，b2＝2，b3＝1，设等比数列{bn}的公比为q，则q＝b2b1＝12，∴Tm＝4[1－12m]1－12＝8[1－(12)m]，∴{Tm}为递增数列，得4≤Tm8.又Sn＝n9－n2＝－12(n2－9n)＝－12[(n－92)2－814]，故(Sn)max＝S4＝S5＝10，若存在m∈N*，使对任意n∈N*总有SnTm＋λ，则104＋λ，得λ6.即实数λ的取值范围为(6，＋∞)．∵(12)m随m增加而递减，等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．(2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问题，求解时用等差(比)数列的相关知识，将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可．思维升华变式训练3已知数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；12解∵12，an，Sn成等差数列，∴2an＝Sn＋12，当n＝1时，2a1＝S1＋12，∴a1＝12，当n≥2时，Sn＝2an－12，Sn－1＝2an－1－12，两式相减得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴anan－1＝2，∴数列{an}是首项为12，公比为2的等比数列，∴an＝12×2n－1＝2n－2.(2)数列{bn}满足bn＝(log2a2n＋1)×(log2a2n＋3)，求证：1b1＋1b2＋1b3＋…＋1bn12.证明bn＝(log2a2n＋1)×(log2a2n＋3)＝log222n＋1－2×log222n＋3－2＝(2n－1)(2n＋1)，1bn＝12n－1×12n＋1＝12(12n－1－12n＋1)，1b1＋1b2＋1b3＋…＋1bn＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n－1－12n＋1)]＝12(1－12n＋1)12(n∈N*)．即1b1＋1b2＋1b3＋…＋1bn12.1.在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，an，Sn五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算．2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．本讲规律总结3．等差、等比数列的单调性(1)等差数列的单调性d0⇔{an}为递增数列，Sn有最小值．d0⇔{an}为递减数列，Sn有最大值．d＝0⇔{an}为常数列．(2)等比数列的单调性当a10，q1或a10，0q1时，{an}为递增数列，当a10，0q1或a10，q1时，{an}为递减数列．4.常用结论(1)若{an}，{bn}均是等差数列，Sn是{an}的前n项和，则{man＋kbn}，{}仍为等差数列，其中m，k为常数．(2)若{an}，{bn}均是等比数列，则{can}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}，{manbn}(m为常数)，{a}，{}仍为等比数列．Snn2n1an(3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a2－a1，a3－a2，a4－a3，…，成等比数列，且公比为＝q.(4)等比数列(q≠－1)中连续k项的和成等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，成等比数列，其公差为qk.等差数列中连续k项的和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，成等差数列，公差为k2d.a3－a2a2－a1＝a2－a1qa2－a15．易错提醒(1)应用关系式an＝时，一定要注意分n＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．(2)三个数a，b，c成等差数列的充要条件是b＝，但三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2a＋c2真题感悟押题精练真题与押题12真题感悟1.(2014·大纲全国)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于()A.6B.5C.4D.3解析数列{lgan}的前8项和S8＝lga1