区间估计与正态总体

1区间估计引例已知X~N(,1),不同样本算得的的估计值不同，因此除了给出的点估计外,还希望根据所给的样本确定一个随机区间,使其包含参数真值的概率达到指定的要求.的无偏、有效点估计为随机变量常数§7.32如引例中，要找一个区间,使其包含的真值的概率为0.95.(设n=5)取查表得3这说明即称随机区间为未知参数的置信度为0.95的置信区间.4反复抽取容量为5的样本,都可得到一个区间,此区间可能包含也可能不包含未知参数的真值,而包含真值的区间占95%.置信区间的意义的置信区间的置信上限置信水平的置信下限5若测得一组样本值,它可能包含也可能不包含的真值,反复当置信区间为时则得一区间(1.86–0.877,1.86+0.877)抽样得到的区间中有95%包含的真值.算得区间的长度为——达到最短6取=0.057置信区间的定义121112221212(;),(01),,,,ˆˆˆˆ(,,,)(,,,)ˆˆ{}1nnnXFxXXXXXXXXXP设总体的分布函数含有一个未知参数对于给定值若由样本确定的两个统计量和满足1212ˆˆ[,]1-ˆˆ,1-,1-.则称随机区间是的置信度为的置信区间和分别称为置信度为的双侧置信区间的置信下限和置信上限为置信度8反映了估计的可靠度,越小,越可靠.置信区间的长度反映了估计精度越小,1-越大,估计的可靠度越高,但这时,往往增大,因而估计精度降低.越小,估计精度越高.确定后,置信区间的选取方法不唯一,常选最小的那一个.几点说明9寻找一个样本的函数它含有待估参数,不含其它未知参数,它的分布已知,且分布不依赖于待估参数(常由的点估计出发考虑).例如求置信区间的步骤—称为枢轴量10给定置信度1,定出常数a,b,使得(引例中由解出得置信区间引例中11(一)单个正态总体X~N(2)的情形正态总体均值与方差的区间估计(1)方差2已知,的置信区间推导由选取枢轴量12由确定解得的置信度为的置信区间为13(2)方差2未知,的置信区间由确定故的置信区间为推导选取枢轴量公式(2)14(3)当已知时,方差2的置信区间取枢轴量得2的置信度为置信区间为由概率公式(3)15(4)当未知时,方差2的置信区间-22468100.0250.050.0750.10.1250.15选取得2的置信区间为••则由公式(4)16例1某工厂生产一批滚珠,其直径X服从解(1)即正态分布N(2),现从某天的产品中随机(1)若2=0.06,求的置信区间(2)若2未知,求的置信区间(3)求方差2的置信区间.抽取6件,测得直径为15.1,14.8,15.2,14.9,14.6,15.1置信度均为0.95例117由给定数据算得由公式(1)得的置信区间为(2)取查表由给定数据算得18由公式(4)得的置信区间为(3)选取枢轴量查表得由公式(2)得的置信区间为19为取自总体N(112)的样本,为取自总体N(222)的样本,置信度为1分别表示两样本的均值与方差(二)两个正态总体的情形(二)20相互独立,的置信区间为(1)已知,的置信区间21(2)未知(但)的置信区间22的置信区间为公式(6)25取枢轴量(5)方差比的置信区间(1,2未知)因此,方差比的置信区间为28例2某厂利用两条自动化流水线罐装黄豆酱.现分别从两条流水线上抽取了容量分别为13与17的两个相互独立的样本与已知假设两条流水线上罐装的黄豆酱的重量都服从正态分布,其均值分别为1与2例229(1)若它们的方差相同,求均值(2)若不知它们的方差是否相同,求它们的方差比的置信度为0.95的置信区间的置信度为0.95的置信区间;差30解查表得由公式(6)的置信区间为(1)取枢轴量31(2)枢轴量为查表得由公式(9)得方差比的置信区间为