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当前位置:首页 > 高等教育 > 其它文档 > 2013届高考数学(理)一轮复习课件:第21讲 简单的三角恒等变换(人教A版湖南专用)
能运用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的三角公式进行简单的三角恒等变换.12——三角函数式化简的一般要求:三角函数种数尽量少;项数尽量少;次数尽量低;尽量使分母不含三角函数式;尽量使被开方数不含三角函数式;能求出的值应尽量求出值.依据三角函数式的结构特点,常采用的变换方法:异角化同角;异名化同名;异次化同次;高次三角化简.求值.降次.常见的有给变换的基本题型化简、求值和证明角求值,给值求值,给值求角.()3①给角求值的关键是正确地分析角已知角与未知角之间的关系,准确地选用公式,注意转化为特殊值.②给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、名称、结构的差异,有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换,找出它们之间的联系,最后求待求式的值.③给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值,讨论角的范围,求出该角.它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明.常用方法:从左推到右;从右推到左证明.;左右互推.212sin22.51233A.B.1.(2010)C.D.2232 福计算的结果等建于卷2cos45B.2原式,解析:故选sin1.9s10n.iAAA由两角和的正弦公式得由弦函数有界,得性知,解析:sincoscossin1ABCD2.ABCABBABBABC在中,已知,则是.直角三角形.锐角三角形.钝角三角形. 等边三角形(1tan)(1tan)2A.B.443C2443.DkkkkkkZZZ若,则的值是,.,.,(1tan)(1tan)2tantantantan1tan()B.14kkZ因为++=,所以++=,所以+=,所解以+=+,,析:故选要用终边相同的易错点:角表示.23tantan63cos4cos..ABABAB若,,则3tan131tantan221coscoscos23.4tanAtanBABtanAtanBcosAcosBsinAsinBABcosAcosBABAB,所以,即,所以解析:()22122..5sincos已知,,化简 2221222242222|sincos2cos|()2222422(sincos)2co2sin.2s222sincossincoscos解析:因为,且,,所以原式2aa,漏掉易错点:绝对值.1.若sinθ2=45,cosθ2=35,则θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】因为sinθ=2sinθ2cosθ2=24250,cosθ=cos2θ2-sin2θ2=-7250,所以θ在第二象限.2.A,B,C是△ABC的三个内角,且tanA,tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【解析】tanA+tanB=53,①tanAtanB=13,②所以tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=531-13=52,所以tanC=-tan(A+B)=-52,所以C为钝角,所以△ABC为钝角三角形.3.在△ABC中,3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,则∠C的大小为()A.π6B.5π6C.π6或5π6D.π3或2π3【解析】由已知,9sin2A+16cos2B+24sinAcosB=36,①9cos2A+16sin2B+24sinBcosA=1,②①+②,得25+24sin(A+B)=37,所以sin(A+B)=12,所以sinC=12,C=π6或5π6.4.求值:3tan20°tan40°+tan20°+tan40°=.【解析】原式=3tan20°tan40°+tan60°(1-tan20°tan40°)=3.5.若1+tanα1-tanα=2013,则1cos2α+tan2α=.【解析】1cos2α+tan2α=1+sin2αcos2α=sinα+cosα2cosα+sinαcosα-sinα=cosα+sinαcosα-sinα=1+tanα1-tanα=2013.一恒等变换下的化简求值【例1】已知sinx2-2cosx2=0,求cos2x2cosπ4+x·sinx的值.【解析】由sinx2-2cosx2=0,得tanx2=2,所以tanx=2tanx21-tan2x2=-43,所以cos2x2cosπ4+x·sinx=cos2x-sin2xcosx-sinxsinx=cosx+sinxsinx=1+tanxtanx=1-43-43=14.【点评】对于附加条件求值问题,要先看条件可不可以变形或化简,然后看所求式子能否化简,再看它们之间的相互联系,通过分析找到已知与所求的纽带.化简:sin2αsin2β+cos2αcos2β-12cos2αcos2β的值为12.素材1【解析】原式=1-cos2α2·1-cos2β2+1+cos2α2·1+cos2β2-12cos2α·cos2β=14(1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β)+14(1+cos2α·cos2β+cos2α+cos2β)-12cos2αcos2β=12.【点评】本题从“幂”入手,借助倍角公式的变形公式,即降幂公式先降幂再进行其他化简,这种化高次为低次是三角变换的常用方法.二恒等变换下的拆角求值【例2】(1)已知tan(α+β)=25,tan(β-π4)=14,求tan(π4+α)的值;(2)sin7°+cos15°·sin8°cos7°-sin15°sin8°=__________.【解析】(1)因为π4+α=(α+β)-(β-π4),所以tan(π4+α)=tan[(α+β)-(β-π4)]=tanα+β-tanβ-π41+tanα+β·tanβ-π4=25-141+25×14=322.(2)原式=sin15°-8°+cos15°sin8°cos15°-8°-sin15°sin8°=sin15°·cos8°cos8°cos15°=tan15°=1-cos30°sin30°=2-3.【点评】进行三角变换的技巧是变角,即注意角的和、差、倍、半、互余、互补关系根据实际情况对角进行“拆”或“添”变形,这样可大大减少运算量.基本的解题规律为:观察差异(或角、或函数、或运算),寻找联系(借助熟知的公式、方法或技巧),综合分析,实现转化.素材2若cos(π4+x)=35,17π12x7π4,求sin2x+2sin2x1-tanx的值.【解析】原式=2sinxcosx1+tanx1-tanx=sin2x·tan(π4+x).而sin2x=sin[2(π4+x)-π2]=-cos2(π4+x)=-[2cos2(π4+x)-1]=725.因为17π12x7π4,则5π3x+π42π,故sin(π4+x)=-45,tan(π4+x)=sinπ4+xcosπ4+x=-43,故原式=725×(-43)=-2875.三恒等变换下的三角证明【例3】证明:2-2sinα+3π4cosα+π4cos4α-sin4α=1+tanα1-tanα.【解析】左边=2-2cos2α+π4cos2α-sin2α=2sin2α+π4cos2α-sin2α=1-cos2α+π2cos2α-sin2α=1+sin2αcos2α-sin2α=sin2α+cos2α+2sinαcosαcos2α-sin2α=cosα+sinα2cosα-sinαcosα+sinα=cosα+sinαcosα-sinα=1+tanα1-tanα=右边.故等式成立.【点评】观察左右两边式子间的差异,选择“从左证到右”,利用凑角、降幂“1”的巧妙代换,将异角化为同角,高次化为低次,最后弦化切,统一三角名称.求证:sin2α+βsinα-2cos(α+β)=sinβsinα.素材3【证明】左边=sin[α+β+α]sinα-2cosα+βsinαsinα=sinα+βcosα+cosα+βsinα-2cosα+βsinαsinα=sinα+βcosα-cosα+βsinαsinα=sinα+β-αsinα=sinβsinα=右边.故等式成立.备选例题等比数列{an}中,a2=sinα+cosα,a3=1+sin2α,其中π2<α<π.求:(1)2sin2α-12cos4α+32是数列{an}的第几项?(2)若tan(π-α)=43,求数列{an}的前n项和Sn.【解析】设数列{an}的公比为q,则q=a3a2=1+sin2αsinα+cosα=sinα+cosα2sinα+cosα=sinα+cosα,所以a1=a2q=1.所以an=(sinα+cosα)n-1(n∈N*).(1)2sin2α-12cos4α+32=12×(4sin2α-cos4α+3)=12[4sin2α-(1-2sin22α)+3]=12(2sin22α+4sin2α+2)=(1+sin2α)2=(sinα+cosα)4=a5,所以2sin2α-12cos4α+32是数列{an}中的第5项.(2)由tan(π-α)=43,得tanα=-43,又π2<α<π,所以sinα=45,cosα=-35,所以q=sinα+cosα=15,所以an=(15)n-1,故Sn=1-15n1-15=54-14×(15)n-1.123三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结构的转化,而转化的依据就是一系列的三角公式,因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足够的了解:同角三角函数关系——可实现函数名称的转化.诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可以实现角的形式的转化.倍角公式及其变形公式——可实现三角函数的升幂或降幂的转化,同时也可完成角的转化.
本文标题:2013届高考数学(理)一轮复习课件:第21讲 简单的三角恒等变换(人教A版湖南专用)
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