概率统计与随机过程 12 - 平稳过程

第十二章平稳过程平稳过程是一类特殊的随机过程,它的应用极为广泛.第一节严平稳过程一．定义1随机过程，如果对任意维}),({TttXn分布函数,任意实数,满足:),,,;,,,(2121nntttxxxF),,,;,,,(2121nntttxxxF,2,1n则称为严平稳过程,或称狭义平稳过程.)(tX严平稳过程的含义是:过程的任何有限维概率分布与参数的原点选取无关,二.严平稳过程的一维,二维分布函数的性质特殊地,取121,ttt一维分布函数);();(111111txFtxF)0;(11xF)(11xF二维分布函数),;,(),;,(2121221212ttxxFttxxF);,(),0;,(212212xxFxxF上式表明:严平稳过程的一维分布函数不依赖)(11xF于参数,t二维分布函数仅依赖于参数间距);,(212xxF12tt而与本身无关.21,tt三.(1)离散状态随机过程,严平稳性条件)(tX})(,,)(,)({2211nnxtXxtXxtXP})(,,)(,)({2211nnxtXxtXxtXP(2)连续状态随机过程,严平稳性条件)(tX),,,;,,,(2121nntttxxxf),,,;,,,(2121nntttxxxf一维概率密度函数);();(111111txftxf)0;(11xf)(11xf二维概率密度函数),;,(),;,(2121221212ttxxfttxxf);,(),0;,(212212xxfxxf四.严平稳过程的数字特征的性质以为连续状态严平稳过程为例}),({TttXdxxxfdxtxxftXE)(),()]([11X(常数);dxxfxdxtxfxtXE)(),()]([121222X(常数);2222)])([()]([)]([XXtXEtXEtXD2X(常数);2121221),;,()]()([dxdxttxxfxxtXtXE)();,(2121221XRdxdxxxfxx(仅依赖于,而不依赖于);t)]}()()][()({[tEXtXtEXtXE)]()([tXtXE)]([)]([tXEtXE)()(2XXXCR于是得到定理一设是严平稳过程,如果过程的二}),({TttX阶矩存在,那么(1)XtXE)]([22)]([XtXE2)]([XtXD均为常数,与参数无关;tt(2))()]()([XRtXtXE)]}()()][()({[tEXtXtEXtXE)(XC仅依赖于参数间距,而不依赖于.t数字特征的这一性质也称为平稳性.定理一的逆定理是不成立的.例1(Bernoulli序列)独立重复地进行某项试验,每次试验成功的概率为,失败的概率为.)10(ppp1以表示第次试验成功的次数,nXn},3,2,1,{nXn是严平稳过程.试验证例2设是相互独立的标准正态随机变量,YX,0,)()(22ttYXtZ试验证随机过程不是严平稳过程,)(tZ)(tZ的数字特征也不具有平稳性.第二节广义平稳过程(一)广义平稳过程的定义定义2设随机过程,对于任意,满足:)(tXTt(1)存在且有限;)]([2tXE(2)是常数;XtXE)]([(3)仅依赖于,而与无关,)()]()([XRtXtXEt则称为广义平稳过程,或称宽平稳过程,简称)(tX平稳过程.参数集为整数集或可列集的平稳过程又称为平稳T序列,或称平稳时间序列.(二)广义平稳过程的数字特征的性质设是平稳过程,则}),({TttX(1)仅依赖于,而与无关;)()]()([XRtXtXEt(2)是常数;XtXE)]([(3)是常数;2X)]([2tXE)0()]0()([XRtXtXE(4)是常数;22)]([)()]([tEXtEXtXD222XXX(5)))(),(cov(),(tXtXttCX)]()([tXtXE)]([)]([tXEtXE)()(2XXXCR(仅依赖于,而与无关)。t三.平稳过程的例子例1随机相位正弦波)cos()(tatX,式中和a是常数,是上服从均匀分布的随机变量.)2,0(验证是平稳过程.)(tX例2随机振幅正弦波tYtXtZ2sin2cos)(,其中和都是随机变量,且XY,0EYEX1DYDX.0)(XYE验证是平稳过程.)(tZ例3(白噪声序列)互不相关的随机变量序列},,2,1,0,{nXn,0nEX02nDX是一个平稳序列.例4通讯系统中的加密序列设},,,,,,,{1100nn是相互独立的随机变量序列.),2,1,0(nn同分布,),2,1,0(nn同分布,,0nnEE.02nnDD设)()1(nnnnnnX则加密序列是平稳序列.},2,1,0,{nXn例5随机电报信号t电报信号用电流或给出,任意时刻的电报IIt信号为或的概率各为.又以表示)(tXII21)(tN),0[t内信号变化的次数,已知是一泊松}0),({ttN过程,则是一个平稳过程.}0),({ttX泊松过程的定义||!|)|(})()({ekktNtNPk,2,1,0,0k四.严平稳过程与广义平稳过程的关系推论存在二阶矩的严平稳过程必定是广义平稳过程.1.广义平稳过程,不一定是严平稳过程.2.严平稳过程,(如果二阶矩不存在),不一定是广义平稳过程.五.两个平稳过程的关系下文中广义平稳过程简称平稳过程.定义3设和是两个平稳过程,如果互相关)(tX)(tY函数)()]()([XYRtYtXE仅是参数间距的函数,则称与平稳相关,或称其为)(tX)(tY联合平稳的.此时))(),(cov()(tYtXCXY)]()([tYtXE)]([)]([tYEtXEYXXYR)(定义4)0()0()()(YXXYXYCCC称为标准互协方差函数.特别当时,称两个平稳过程与不相关.0)(XY22)()]()([))(),(cov()0(XXtDXtEXtXEtXtXC22)()]()([))(),(cov()0(YYtDYtEYtYEtYtYC(均为常数).第三节正态平稳过程一.正态过程正态随机变量复习：一维正态随机变量,概率密度),(~2NX,21)(222)(xexfx二维正态随机变量);,;,(~),(222211NYX]})())((2)([)1(21exp{121),(2222212121212221yyxxyxf维正态分布n),,,,(21nXXX概率密度)}()(21exp{)(det)2(1),,,(1'21221xCxCxxxfnn其中nxxxx21n21协方差矩阵,)(nnijCC),(jiijXXCovC定义5如果随机过程,对任意正整数,)(tXn,,,,21Ttttn))(,),(),((21ntXtXtX服从正态分布则称为正态过程,又称高斯(Gauss)过程.)(tX独立正态过程:如果是正态过程,同时又}),({TttX是独立过程,则称为独立正态过程.}),({TttX正态序列：正态过程,如果是可列集,}),({TttXT},,,,,{21ntttT记;)(tXtX那么,},,,,,{21ntttttX是正态序列.二.正态平稳过程设是正态过程,服从正态分布,则}),({TttX)(tX)]([)(22tXEtX必存在,即二阶矩存在.定义如果正态过程又是(广义)平稳过程,则)(tX称为正态平稳过程.)(tX定理二：设是正态过程.)(tX则为严平稳过程为广义平稳过程.)(tX)(tX例1设正态过程的均值函数}),({ttX,0)(tX自相关函数),(),(1221ttRttRXX试写出过程的一维、二维概率密度函数.例2设是正态平稳过程,且)(tX,0)()]([ttXEX令0)(,00)(,1)(tXtXtY当当证明是平稳过程.)(tY第四节遍历过程(历经过程)一.时间均值和时间相关函数函数),(),(txteX样本函数在区间)(tx)0](,[lll设随机过程)},,(),({TttX任固定,Se样本上的函数平均值定义为.)(21)(lldttxltx)(tx在上的函数平均值定义为),(llldttxltx)(21)(lim当变化时,ellldtteXlteXtX),(21),()(lim定义6llldtteXlteXtX),(21),()(lim称为随机过程)(tX对于参数的平均值,通常称为随机过程t)(tX的时间均值.显然是一个随机变量.llldtteXlteXtX),(21),()(lim在任意处,给任意实数过程在,和的两个ttt状态的乘积),,(),(teXteX在上的平均值,),(记为llldtteXteXlteXteXtXtX),(),(21),(),()()(lim定义7llldtteXteXlteXteXtXtX),(),(21),(),()()(lim称为随机过程的时间相关函数.)(tX(显然它是一个随机过程.)对随机过程此时,)},0[),({TttX时间均值lldtteXltX0),(1lim)(时间相关函数lldtteXteXlteXteXtXtX0),(),(1),(),()()(lim例1求随机相位正弦波)cos()(tatX的时间均值和时间相关函数.(记住这个例题的结论,以后要用)二.各态遍历性定义8设是一个平稳过程或)(tX),((T)),0[T(即,)]([XtXE22)]([XtXE为常数,))()]()([XRtXtXE(1)如果则称过程,1})]([)({XtXEtXP)(tX的均值具有各态遍历性;(2)如果1)}()]()([)()({XRtXtXEtXtXP则称过程的自相关函数具有各态遍历性.)(tX(3)均值和自相关函数都具有各态遍历性的平稳过程称为遍历过程,或说,该平稳过程具有遍历性.(三)遍历过程的例子例设,,其中是)cos()(tatX),(t)0(,a实常数,服从区间上的均匀分布,讨论)2,0()(tX的各态遍历性.不具各态遍历性的例子：设是一个随机变量,且YYtX,)(0DY则(1)是平稳过程;)(tX(2)的均值不具有各态遍历性.)(tX四.平稳过程具有各态遍历性的判别定理引理设是一个平稳过程,则它的}),({ttX时间均值的数学期望和方差分别为)]([])([tXEtXEXdRlltXDXXll])()[21(1])([220lim定理三(均值各态遍历定理)平稳过程}),({ttX的均值具有各态遍历性的充要条件是0])()[21(1