04 第四章 本构关系(应力-应变关系)

第四章本构关系ConstitutiveRelations本构关系（应力应变关系）引言单向拉伸应力应变曲线广义胡克定律应变能和应变余能应变能的正定性引言,0jijif应力张量应力平衡方程：位移矢量u应变张量e几何方程：（应变协调方：）,0mjknilijkleee,,()/2ijijijuue体力和面力位移应力应变平衡相容本构关系固体力学问题解法中各量间关系•静力平衡条件和位移条件都与物体的材料特性无关。引言本构关系•材料的变形与所受应力之间的关系；•是材料本身所固有的性质；•本构关系的研究是固体力学最重要的课题之一。(,,,,......)ijijijifxte引言引言单向拉伸应力应变曲线广义胡克定律应变能和应变余能应变能的正定性本构关系（应力应变关系）低碳钢拉伸时的应力-应变曲线0AP00llleoePA0l0PABCDEOB：弹性阶段EeesbBC：屈服阶段CD：强化阶段DE：局部变形阶段塑性阶段C''s''ssss单向拉伸应力应变曲线对大多数材料来讲，当应力加载幅值较小时，可以认为加载与卸载是重合的。因此应力与应变间可看作是单值对应关系。单向拉伸应力应变曲线•弹性本构关系•弹性的定义•应力仅为应变的函数•与应变率无关，也不依赖于变形历史；引言单向拉伸应力应变曲线广义胡克定律应变能和应变余能应变能的正定性本构关系（应力应变关系）广义胡克定律单向应力状态时的胡克定律是式中E称为弹性模量。对于一种材料在一定温度下，E是常数。xxEe杨氏模量在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。在弹性极限内，横向相对缩短和纵向相对伸长成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：yxνeeyexe其中是弹性常数，称为泊松比。泊松比广义胡克定律zxyxxyyzzo先考虑在各正应力作用下沿x轴的相对伸长，它由三部分组成，即xxxxeeee线弹性叠加原理广义胡克定律xxxxeeee其中是由于x的作用所产生的相对伸长xexxEe是由于y的作用所产生的相对缩短xeyxνEe是由于z的作用所产生的相对缩短xezxνEe广义胡克定律将上述三个应变相加，即得在x、y、z同时作用下在x轴方向的应变1yxzxxyzνννEEEEe同理可得到在y轴和z轴方向的应变11yyxzzzxyνEνEee广义胡克定律根据实验可知，xy只引起xy坐标面内的剪应变xy，而不引起xz、yz，于是可得xyxyG同理yzyzzxzxGG广义胡克定律于是，得到各向同性材料的应变-应力关系：111xyxxyzxyyzyyxzyzzxzzxyzxνEGνEGνEGeee广义胡克定律杨氏模量，泊松比和剪切模量之间的关系为EG=+ν2(1)将弹性本构关系写成指标形式为1ijijkkijEEe广义胡克定律?如何给出111xxyzyyxzzzxyνEνEνEeee1212xyzxyzxyzxyzEEeee广义胡克定律如用应变第一不变量代替三个正应变之和，用应力第一不变量表示三个正应力之和，则123EK12xyzxyzEeee其中称为体积模量。3(12)EK广义胡克定律112;ijijkkijEEEe∵112112ijijijijijEEGee∴112E令2ijijkkijGee则广义胡克定律弹性关系的常规形式为2;2;2;xxxyxyyyyzyzxzzxzxGGGGGGeee其中G和称为拉梅常数。广义胡克定律将应力和应变张量分解成球量和偏量，得0223ijijijijGGe23312EKG由于偏量和球量相互独立，所以有0;2ijijKGe广义胡克定律第一式说明弹性体的体积变化是由平均应力0引起的，相应的弹性常数K称为体积模量。(体积变化)0;2ijijKGe第二式说明弹性体的形状畸变是由应力偏量引起的，相应的弹性常数是剪切模量G的二倍。(形状变化)ijeij广义胡克定律常用的三套弹性常数E、ν单拉测定Lamé常数：G、λ纯剪切、单拉K、G静水压、纯剪（扭转）测定广义胡克定律对于给定的工程材料，可以用单向拉伸试验测定E和；用薄壁筒扭转试验来测定G；用静水压试验来测定K。实验表明，在这三种加载情况下物体的变形总是和加载方向一致的(即外力总在物体变形上做正功)，所以0;0;0EGK广义胡克定律故要上式成立必要求：1EG=2(+ν)23312EKG0;0;0EGK∵10;12010.5即广义胡克定律10.5若设＝0.5，则体积模量K＝，称为不可压缩材料，相应的剪切模量为3EG对实际工程材料的测定值，一般都在的范围内。00.5广义胡克定律广义胡克定律常用弹性常数换算关系各向同性本构关系21112ijijkkijijkkijGEEeeee对于各向同性材料，正应力在对应方向上只引起正应变，剪应力在对应方向上只引起剪应变，它们是互不耦合的。广义胡克定律各向异性本构关系对于各向异性材料的一般情况，任何一个应力分量都可能引起任何一个应变分量的变化。广义胡克定律的一般形式是：ijijklklCeC是四阶刚度（弹性）张量（可由Taylor级数展开得到）ijijklklDeD是四阶柔度张量。广义胡克定律Navier(1785-1836)Poisson(1781-1840)Saint-Venant(1797-1886)Cauchy(1789-1857)Neumann(1798-1895)Voigt(1850-1919)确定线弹性材料常数的历史过程广义胡克定律由于应力应变都是二阶张量，且上式对任意的ekl均成立，所以根据商判则Cijkl是一个四阶张量，称弹性张量，共有81个分量。•弹性张量的Voigt对称性ijkljiklijlkklijCCCC广义胡克定律jiijijklkljiklklklCCeeejiklijklCClkkleeijklklijlklkijlkklklCCCeeeejiklijklCCijklklijCC下节中将证明广义胡克定律ijkljiklijlkCCC独立的弹性常数由81个降为36个1112131415162122232425263132333435364142434445465152535455xxyzxyyzzxyxyzxyyzzxzxyzxyyzzxxyxyzxyyzzxyzxyzxyyzccccccccccccccccccccccccccccceeeeeeeeeeeeeee56616263646566zxzxxyzxyyzzxccccccceee广义胡克定律其中即c的下角标1、2、3、4、5、6分别对应于C的双指标11、22、33、12、23、31。应该指出，改写后的cmn(m,n＝1~6)并不是张量。由于存在Voigt对称性，所以对于最一般的各向异性材料，独立的弹性常数共有21个。111111121122141112562331,,,cCcCcCcC…广义胡克定律(1)一般各向异性线弹性：无弹性对称面21312312332211665655464544363534332625242322161514131211312312332211eeeccccccccccccccccccccc称对例：三斜晶体abc广义胡克定律111112131415161122222324252622333334353633124445461223555623316631ccccccccccccccccccccceee对称(2)具有一个弹性对称面的各向异性线弹性体：13bae2ce1e3e‘3例：单斜晶体(正长石和云母等)e1,e2平面为弹性对称面1111121314112222232422333334331244122355562331663100000000ccccccccccccceee对称广义胡克定律1111121314112222232422333334331244122355562331663100000000ccccccccccccceee对称(3)正交各向异性线弹性体：9111112131122222322333333124412235523316631000000000000ccccccccceee对称例：正交晶体(各种增强纤维复合材料、木材等)互相正交的e1-e2，e2-e3,e1-e3平面为弹性对称面ce1e3e2e’1ab广义胡克定律(4)横观各向同性线弹性体：531231233221155551211443313111312113123123322110002)(000000000eeeccccccccccc称对例：六方晶体aaac广义胡克定律3123123322111211121112111112111212113123123322112)(02)(002)(000000000eeecccccccccccc称对(5)各向同性线弹性体：2金属（随机排列晶体）、短纤维增强复合材料颗粒增强复合材料广义胡克定律晶体,Chapter2.2三斜（21）单斜（13）正交（9）三角（9）四方（7）六方（5）立方（3）广义胡克定律2个金属拉压：2个剪切：1个各向同性地壳、六方晶体拉压：4个剪切：2个5个横观各向同性正交晶体拉压与剪切不耦合剪切为对角阵9个正交各向异性单斜晶体13个有一个弹性对称面三斜晶体6×6对称21个一般情况例独立的弹性常数ijc2/221144ccc2/221144ccc小结广义胡克定律各向同性情况下，与常用弹性常数思考：广义胡克定律ijc等关系如何？,,,EG引言单向拉伸应力应变曲线广义胡克定律应变能和应变余能应变能的正定性