高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结(全)

1必修四常考公式及高频考点第一部分三角函数与三角恒等变换考点一角的表示方法1.终边相同角的表示方法：所有与角终边相同的角，连同角在内可以构成一个集合：{β|β=k·360°+α,k∈Z}2.象限角的表示方法：第一象限角的集合为{α|k·360°αk·360°+90°,k∈Z}第二象限角的集合为{α|k·360°+90°αk·360°+180°,k∈Z}第三象限角的集合为{α|k·360°+180°αk·360°+270°,k∈Z}第四象限角的集合为{α|k·360°+270°αk·360°+360°,k∈Z}3.终边在某条射线、某条直线或两条垂直的直线上(如轴线角)的表示方法：（1）若所求角β的终边在某条射线上，其集合表示形式为{β|β=k·360°+α,k∈Z},其中α为射线与x轴非负半轴形成的夹角（2）若所求角β的终边在某条直线上，其集合表示形式为{β|β=k·180°+α,k∈Z},其中α为直线与x轴非负半轴形成的任一夹角（3）若所求角β的终边在两条垂直的直线上，其集合表示形式为{β|β=k·90°+α,k∈Z},其中α为直线与x轴非负半轴形成的任一夹角例：终边在y轴非正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+270°,k∈Z}终边在第二、第四象限角平分线上的集合为{α|α=k·180°+135°,k∈Z}终边在四个象限角平分线上的角的集合为{α|α=k·90°+45°,k∈Z}易错提醒：区别锐角、小于90度的角、第一象限角、0～90、小于180度的角考点二弧度制有关概念与公式1.弧度制与角度制互化180，1801，1弧度3.571802.扇形的弧长和面积公式（分别用角度制、弧度制表示方法）弧长公式：RRnl180,其中为弧所对圆心角的弧度数扇形面积公式：lRRnS213602=12R2||,其中为弧所对圆心角的弧度数易错提醒：利用S=12R2||求解扇形面积公式时，为弧所对圆心角的弧度数，不可用角度数2规律总结：“扇形周长、面积、半径、圆心角”4个量，“知二求二”，注意公式选取技巧考点三任意角的三角函数1.任意角的三角函数定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点yxP,，那么sinyr，cosxr，tanyx（22||rOPxy）；化简为xyxytan,cos,sin.2.三角函数值符号规律总结：利用三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号.3.特殊角三角函数值除此之外，还需记住150、750的正弦、余弦、正切值4.三角函数线yOxyOx终边yOxyOxPMATPMAT正弦线余弦线正切线PPMATPMAT终边终边终边3经典结论：(1)若(0,)2x，则sintanxxx(2)若(0,)2x，则1sincos2xx(3)|sin||cos|1xx例：在单位圆中分别画出满足sinα＝12、cosα＝12、tanα＝－1的角α的终边，并求角α的取值集合考点四三角函数图像与性质sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2xxkk值域1,11,1R最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y．当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y．既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kkk上是增函数；在32,222kkk上是减函数．在2,2kkk上是增函数；在2,2kkk上是减函数．在,22kkk上是增函数．对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴考点五正弦型（y=Asin(ωx＋φ)）、余弦型函数（y=Acos(ωx＋φ)）、正切性函数（y=Atan(ωx＋φ)）图像与性质1.解析式求法（1）y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y=Acos(ωx＋φ)＋B解析式确定方法字母确定途径说明函数性质4A由最值确定A＝最大值－最小值2B由最值确定B＝最大值＋最小值2ω由函数的周期确定相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为0.25个周期φ由图象上的特殊点确定可通过认定特殊点是五点中的第几个关键点，然后列方程确定；也可通过解简单三角方程确定A、B通过图像易求，重点讲解φ、ω求解思路：①φ求解思路：代入图像的确定点的坐标.如带入最高点),(11yx或最低点坐标),(22yx，则)(221Zkkx或)(2232Zkkx，求值．易错提醒：y=Asin(ωx＋φ)，当ω0，且x=0时的相位（ωx+φ=φ）称为初相.如果不满足ω0，先利用诱导公式进行变形，使之满足上述条件，再进行计算.如y=-3sin(-2x+600)的初相是-600②ω求解思路：利用三角函数对称性与周期性的关系，解ω.相邻的对称中心之间的距离是周期的一半；相邻的对称轴之间的距离是周期的一半；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一.2.“一图、两域、四性”“一图”：学好三角函数，图像是关键。易错提醒：“左加右减、上加下减”中“左加右减”仅仅针对自变量x，不可针对-x或2x等.例：“两域”：(1)定义域求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象或数轴法来求解.(2)值域(最值)：a.直接法（有界法）：利用sinx，cosx的值域.b.化一法：化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值).c.换元法：把sinx或cosx看作一个整体，化为求一元二次函数在给定区间上的值域(最值)问题.例：1.y=asinx2+bsinx+c52.y=asinx2+bsinxcosx+ccosx23.y=(asinx+c)/(bcosx+d)4.y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c“四性”：(1)单调性①函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)图象的单调递增区间由2kπ-π2ωx+φ2kπ＋π2，k∈Z解得,单调递减区间由2kπ+π2ωx+φ2kπ＋1.5π，k∈Z解得;②函数y=Acos(ωx+φ)(A0,ω0)图象的单调递增区间由2kπ+πωx+φ2kπ＋2π,k∈Z解得,单调递减区间由2kπωx+φ2kπ＋π，k∈Z解得;③函数y=Atan(ωx+φ)(A0,ω0)图象的单调递增区间由kπ-π2ωx+φkπ＋π2，k∈Z解得,.规律总结：注意ω、A为负数时的处理技巧．(2)对称性①函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ=kπ＋π2(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ(k∈Z)解得;②函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ=kπ(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ＋π2(k∈Z)解得;③函数y=Atan(ωx+φ)的图象的对称中心由ωx+φ=kπ(k∈Z)解得.规律总结：φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A符号.(3)奇偶性①函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)，函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是偶函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；②函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；③函数y＝Atan(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ2(k∈Z)．规律总结：φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A符号.(4)周期性函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝2π|ω|，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.考点六常见公式常见公式要做到“三用”：正用、逆用、变形用1.同角三角函数的基本关系622sincos1；tan=cossin2.三角函数化简思路：“去负、脱周、化锐”（1）去负，即负角化正角：sin(-a)=-sina；cos(-a)=cosa；tan(-a)=-tana；（2）脱周，即将不在（0,2π）的角化为（0,2π）的角：sin(2kπ+a)=sina；cos(2kπ+a)=cosa；tan(2kπ+a)=-tana；（3）化锐，即将在（0,2π）的角化为锐角：6组诱导公式1sin2sink，cos2cosk，tan2tankk．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．5sincos2，cossin2．6sincos2，cossin2．口诀：奇变偶不变，符号看象限.均化为“kπ/2±a”,做到“两观察、一变”。一观察：k是奇数还是偶数；二观察：kπ/2±a终边所在象限，再由kπ/2±a终边所在象限，确定原函数对应函数值的正负.一变：正弦变余弦、余弦变正弦、正切利用商的关系变换.其中公式（1）也可理解为终边相同角的三角函数值相同，公式（3）也可按照函数奇偶性理解3.两角和差公式sin()sincoscossin；cos()coscossinsin；tantantan()1tantan,4.二倍角公式sin2sincos；2222cos2cossin2cos112sin；22tantan21tan，二倍角公式是两角和的正弦、余弦、正切公式，当α=β时的特殊情况倍角是相对的，如0.5α是0.25α的倍角，3α是1.5α的倍角5.升降幂公式2222cos2cossin2cos112sin（升幂缩角）.221cos21cos2cos,sin22（降幂扩角），76.辅助角公式sincosab=22sin()ab(辅助角所在象限由点(,)ab的象限决定,tanba，-π2π2).7.半角公式sin2A=±2cos1A；cos2A=±2cos1Atan2A=AAcos1cos1；tan2A=AAsincos1=AAcos1sin8.其它公式1+sina=(sin2a+cos2a)2；1-sina=(sin2a-cos2a)29.万能公式sina=2)2(tan12tan2aa；cosa=22)2(tan1)2(tan1aa；tana=2)2(tan12tan2aa10.和差化积sina+sinb=2sin2bacos2ba；sina-sinb=2cos2basin2bacosa+cosb=2cos2bacos2ba；cosa-cosb=-2sin2basin2batana+tanb=babacoscos)sin(11.积化和差sinAsinB=-21[cos(A+B)-cos(A-B)]；cosAcosB=21[cos(A+B)+cos(A-B)]sinAcosB=21[sin(A+B)+sin(A-B)]；cosAsinB=21[sin(A+B)-sin(A-B)]12.三倍角公式3sin33sin4sin4sinsi