医药统计学 第二章 随机事件与概率

浙江海洋学院医学院龚戬芳第二章随机事件与概率浙江海洋学院医学院龚戬芳随机事件及其概率概率的性质及运算法则浙江海洋学院医学院龚戬芳学习目的和要求掌握古典概率及计算；概率的加法公式、乘法公式及计算；条件概率与事件独立性的概率并进行计算；理解事件等的基本概念及运算关系、统计概率、主观概率和概率的公理化定义；浙江海洋学院医学院龚戬芳确定性现象（deterministicphenomena）：所有的科学理论均为确定性现象（可事先预知）。eg:数学、物理等学科内容。eg:抛硬币时硬币一定会落地的现象。–必然现象——在一定条件下，必然发生的现象。–不可能现象——在一定条件下，一定不会发生的现象。现象分类不是随机现象，但是随机现象的特例。浙江海洋学院医学院龚戬芳随机现象（randomphenomena）：在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的现象（无法事先预知）。eg:运动员的某一次打靶成绩、患者使用某种新药的预后、抛一枚硬币时硬币落地是正面或反面的现象。─统计规律性（statisticallaw）：在大量的重复观察或实验中随机现象所体现出的规律性。“概率论与数理统计”的研究内容浙江海洋学院医学院龚戬芳第一节随机事件及其概率浙江海洋学院医学院龚戬芳一、随机试验和随机事件（一）随机试验（randomexperiment）：简称试验，为研究随机现象的统计规律性而进行的大量、重复的调查、实验、测试等。特性：相同条件下的可重复性（大量）；实验前所有可能结果的可预知性（多结果）；（因为进行实验的目的就是研究该现象）实验时的结果不确定性（无法预测）。浙江海洋学院医学院龚戬芳注：1、对于同一随机现象，若研究目的不同，则随机试验的制定方法也不相同。eg：研究运动员打靶成绩，目的不同（打中环数、打中/打不中），则制定的随机试验也不同。2、随机试验常用字母E，E1，E2，…，表示。eg：E1：抛一枚硬币两次，观察正面H，反面T出现的情况。E1：从一批灯泡中，任取一只，测试其寿命。浙江海洋学院医学院龚戬芳（二）基本概念事件（event）：在随机试验中所发生的结果。基本事件（elementalevent）：每个不可能再分的试验结果，即无数结果中的一个结果，是E的每个直接结果，又称样本点（samplepoint）。样本空间（samplespace）：所有基本事件的全体，即该试验所有可能结果的集合，记为Ω，即用数学语言描述。浙江海洋学院医学院龚戬芳eg：E1：抛一枚硬币两次，观察正面H，反面T出现的情况。Ω：{（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）}E1：从一批灯泡中，任取一只，测试其寿命。Ω：{t│t≥0}空集——不含任何基本事件，记为Ø。浙江海洋学院医学院龚戬芳（三）事件分类随机事件（randomevent）：在一定条件下，试验结果可能发生，也可能不发生的事件（0P1）。用A、B、C表示。必然事件（certainevent）：在一定条件下，必然发生的事件（P=1），是随机事件的特例。其中，样本空间也是事件，在每次试验中一定发生，故也是必然事件。浙江海洋学院医学院龚戬芳不可能事件（impossibleevent）：在一定条件下，一定不会发生的事件（P=0）。其中，空集不含任何事件，在试验中一定不会发生，故是不可能事件。浙江海洋学院医学院龚戬芳eg：现有一批药品共100件，其中5件是次品。考察随机试验：“从这批药品中任意抽出10件，检查其抽到的次品数”。若记：k=｛抽出的10件药品中恰有k件次品｝请写出该试验的基本事件、样本空间。解：基本事件：｛0｝，｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛4｝，｛5｝样本空间Ω：｛0，1，2，3，4，5｝不可能事件Ø：｛抽到的次品数＞5｝等。浙江海洋学院医学院龚戬芳二、事件之间的关系及运算将随机事件之间的关系用集合的形式来描述。前提：在同一个随机试验中，事件之间存在：（一）包含关系：事件A的发生必然导致事件B的发生，则称B包含A，或A包含于B中（图1）。eg1:掷骰子试验，A=出现2点，B=出现偶数。eg2:对白血病患者进行骨髓移植术，A=术后存活10年，B=术后存活时间至少10年，则B包含A，或A包含于B中。浙江海洋学院医学院龚戬芳图1AB（Venngraph）AΩB浙江海洋学院医学院龚戬芳（二）相等关系：若B包含A，且A包含B，则A=B。eg：掷骰子试验，A=出现3点，B=出现小于4大于2的点数。浙江海洋学院医学院龚戬芳（三）加法关系：又称“或”的关系、和（并）的关系，即“事件A与事件B中至少有一个事件发生”的事件称为A与B的和（或并），记作A+B或A∪B（图2）。eg:对2例白血病患者进行骨髓移植术，A=术后仅有一例存活10年，B=术后有2例存活10年，C=术后至少有一例存活10年，则C=A+B。浙江海洋学院医学院龚戬芳图2A+B或A∪B（Venngraph）AΩB浙江海洋学院医学院龚戬芳（四）乘法关系：又称“和”的关系、积（交）的关系，即“事件A与事件B同时发生”的事件称为A与B的积（或交）。说明事件A与事件B是相容事件（具有公共部分）。记作AB或A∩B，产生了一个新的事件（图3）。eg:某医生在某年对甲乙2例白血病患者进行骨髓移植术，A=甲患者术后未发生排异反应，B=乙患者术后未发生排异反应，C=该医生在该年进行的骨髓移植术未发生排异反应，则C=AB。浙江海洋学院医学院龚戬芳图3AB或A∩B（Venngraph）AΩB浙江海洋学院医学院龚戬芳（五）减法关系：又称“差”的关系，“事件A发生的同时事件B不发生”的事件称为事件A与B的差，记作A–B，即由属于事件A但不属于事件B的所有事件所构成的集合，产生了一个新的事件（图4）。eg:掷一枚骰子，若A=出现点数大于4，B=出现偶数点，则A–B=出现的点数为5，B–A=出现的点数为2、4。浙江海洋学院医学院龚戬芳图4A-B（Venngraph）AΩB浙江海洋学院医学院龚戬芳（六）互不相容事件（mutuallyexclusiveevent，互斥）：事件A与B不可能同时发生，即A与B为互不相容事件（没有公共部分），记作AB=Ф（图5）。eg:掷一枚骰子，若A=出现点数大于4，B=出现点数小于3，则AB=Ф浙江海洋学院医学院龚戬芳图5A、B互不相容（Venngraph）AΩB浙江海洋学院医学院龚戬芳（七）对立事件(complementaryevent，互逆事件)：“事件A不发生”的事件为A的对立事件，由不属于A的基本事件构成（图6）。eg:抛一枚硬币两次，A=正面，B=反面。注：1、A的发生，意味着B不发生；A不发生，意味着B一定发生；2、相互对立的事件一定是互不相容的事件，互不相容事件不一定是相互对立事件。浙江海洋学院医学院龚戬芳图6A的对立事件（Venngraph）AΩBA浙江海洋学院医学院龚戬芳三、事件的概率概率（probability）：一定条件下，事件A在试验中发生的可能性大小的数值量度。用P（A）表示。eg：硬币正反面重量不同，落下时呈正反面概率不同。注：应用不同，对概率的解释不同。浙江海洋学院医学院龚戬芳（一）频率与统计概率：1、频率（frequency、relativefrequency）：在相同条件下独立重复进行n次试验（E），若事件A在n次试验中发生m次，则称m为事件A出现的频数（frequence），称比值m/n为事件A的频率。记作：fn(A)=m/neg：若投掷一枚均匀的硬币，随机事件A表示“正面向上”，用n表示投掷次数；m表示随机事件A发生的次数；则f表示随机事件A发生的频率（f=m/n）。浙江海洋学院医学院龚戬芳2、频率的稳定性（stabilityofrelativefrequency）：是随机现象的客观规律，当试验（E）次数n逐渐增大时，随机事件A发生的频率逐渐趋向于某一常数。eg：投掷一枚均匀的硬币，用不同的投掷次数n作随机试验，结果如下：m/n=8/10=0.8000、7/20=0.3500、……、249/500=0.4980、501/1000=0.5010、10001/2000=0.5000，由此看出当投掷次数n足够大时，f=m/n→0.5，称P(A)=0.5，或简写为：P=0.5。浙江海洋学院医学院龚戬芳3、统计概率（statisticalprobability）：在相同条件下进行大量重复试验（E），若事件A的频率逐渐稳定地趋于某个确定的常数p，则称p为事件A的统计概率，记作：P（A）=p。因此，当n足够大时，可以用f估计P。浙江海洋学院医学院龚戬芳统计概率——常数（只要条件不变，统计概率不会改变）；就总体而言。频率——变量[因试验（E）次数不同，事件A发生的可能性不同]；就样本而言。当样本含量逐渐增加时，频率接近统计概率P。浙江海洋学院医学院龚戬芳古典概率：是概率的一种基本类型，是在概率论发展初期形成的一种模型，是当时概率论的主要研究对象。1、古典概型（classicalprobabilitymodel，有限等可能概型）：随机试验（E）具有有限总体（试验的结果即基本事件的总数是有限的）等可能性（每个基本事件发生的可能性是相同的）两特点的数学模型。浙江海洋学院医学院龚戬芳eg：从一批药品中任意抽检一件药品的可能性。注：实际上很多随机试验是不可能满足该模型的。如观察某运动员员打靶成绩，打中5环与打中10环的可能性一定是不一样的。浙江海洋学院医学院龚戬芳2、古典概率（classicalprobability）：随机试验是古典概型时，即其样本空间的基本事件总数为n，每个基本事件的出现是等可能的，若A随机事件由其中m个基本事件所组成，则事件A的古典概率是：P(A)=m/n=事件A所含的基本事件数/基本事件总数由此定义可知，P的取值范围：0≤P(A)≤1。浙江海洋学院医学院龚戬芳eg1:掷一枚骰子，观察出现的点数。若A表示出现偶数点。求P(A)。eg2:有总数为1000张的奖券，其中，一等奖2张，二等奖50张，三等奖98张。求：（1）任抽一张，中奖的概率；（2）任抽两张，中奖的概率和没中奖的概率。浙江海洋学院医学院龚戬芳解题思路：–先明确随机试验（E），再确定随机事件A–若题目中有明确的随机事件，则直接计算P(A)–若题目中无明确的随机事件，则先假设确定随机事件，再计算P(A)浙江海洋学院医学院龚戬芳（三）主观概率（subjectiveprobability）：根据个人的经验和所掌握的信息，对事件发生的可能性大小进行主观估计，由此确定的概率称为主观概率。优点：灵活。浙江海洋学院医学院龚戬芳第二节概率的性质及运算法则浙江海洋学院医学院龚戬芳一、概率公理化定义1、概率的基本性质（各种定义的共性）：公理1（非负性）：0≤P（A）≤1公理2（规范性）：必然事件Ω——在一定条件下，必然发生的事件。P（Ω）＝1不可能事件Ø——在一定条件下，一定不会发生的事件。P（Ø）＝0浙江海洋学院医学院龚戬芳随机事件P（A）——在一定条件下，事件可能发生，也可能不会发生。0P（A）1，常用小数或百分数表示。P越接近1，表示某事件发生的可能性越大；P越接近0，表示某事件发生的可能性越小。浙江海洋学院医学院龚戬芳小概率事件——P≤0.05或P≤0.01的事件。小概率事件实际不发生原理：在一次实验（观察）中，该事件几乎不可能发生。“小概率”的标准是人为规定的，对于可能引起严重后果的事件，如术中大出血等，药物严重的副作用等研究，可规定=0.01，甚至更小（若发生，则为百分之百，就要追究其原因）。浙江海洋学院医学院龚戬芳eg：某都市大街上疾驶的汽车撞伤行人的事件的发生概率为1/万，但大街上仍有行人，这是因为“被撞”事件是小概率事件，所以行人认为自己上街这“一次试验”中不会发生“被撞”事件。公理3（可列可加性）：可列即可数无穷，即对于两两互不相容事件，有P（A1+A2+…+An+…）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）+…浙江海洋学院医学院龚戬芳2、概率的公理化定义（一般定义）：设Ω是随机试验（E）的样本空间，如果对Ω中任意事件A，都对应一个