核 电 子 学 方 法 - 中国科学技术大学

1§2、信号的分析方法•信号的频域和时域分析•坎贝尔定理•信号的复频域分析21、信号的频域和时域分析•电信号和噪声，都是时间t的实函数。可以在时间域里研究它们的时间函数；也可以在频率域内分析它们的频谱，通过富里叶变换，建立信号的时域波形和频谱之间的对应关系。•富里叶变换称为像函数称为原函数，算符表示：)()(),()()]([)()],([)()(21)()()(1-FtfFtfFtftfFdeFtfdtetfFtjtjFF3富里叶变换的基本性质)()()()()()()()()(.4)(1)(.3)()(.2)()()()(.1),()(),()(),()(2121212102211221122110FFtftfdtfftftfnconvolutioaFaatfFettfFaFatfatfaFtfFtfFtftj卷积：定理时间卷积比例性时移定理线性则设tnnnjFFdttfFjdttfdFjdttdfdFFFFFFtftf)()()0()(.7)()()()()(.6)()()()()()()()(.521212121时间积分时间导数其中，频率卷积定理4•核电子学中通常涉及到的是线性时不变系统，以下简称线性系统。•线性系统满足迭加原理设vi1(t)vo1(t),vi2(t)vo2(t)，则有：avi1(t)+bvi2(t)avo1(t)+bvo2(t)线性系统的响应线性系统激励vi(t)响应vo(t)5冲击响应和频率响应•h(t)称为冲击响应•H()称为频率响应h(t)激励(t)响应h(t)H()激励1响应H()•冲击响应和频率响应组成富氏变换对相位频谱两部分分为振幅频谱和)()()()()()()(jjeHHeHthHth6多级系统的响应h1(t)H1()(t)h(t)=h1(t)*h2(t)h2(t)H2()串联系统的冲击响应和频率响应H()=H1()H2()vi(t)Vi()(t)vo(t)=Vi(t)*h(t)h(t)H()一般信号通过线性系统等效为的冲击信号通过串联系统Vo()=Vi()H()vi(t)Vi()由于频率响应可以表示各种频率成分的传输系数，所以总的频率响应为各级频率响应之积7时域波形的直接求解-卷积分•卷积满足交换率h1(t)*h2(t)=h2(t)*h1(t)在一定条件下，串联电路系统的前后互换不改变冲击响应和频率响应dthvthtvtviio)()()(*)()(dtvtvii)()()(dthvtvtio)()()(0对于实际的线性系统8几种常见电路的冲击响应和频率响应•A)RC并联电路输入冲击电流ii(t)=(t))(1)()()()(/tueCtvdttdvCRtvtiRCtoooi得到：可以建立微分方程：)()(1)/(1)/()()()(/)()(HthRCjRCjRCjRZZZZHRCZIVHCRCRio且有并联阻抗即：频率响应（复阻抗法）9•B)CR微分电路输入冲击电压vi(t)=(t))(1)()())()(()()(/tueRCttvdttvtvdCRtvtvRCtoiooi解得：可以建立微分方程：)()(1111)/(1)()(/)()(HthRCjRCjRCjCjRRZZZHRVVHCRRio可以证明上的分压比即阻抗：频率响应（复阻抗法）102、坎贝尔定理•核辐射探测器的输出信号是一个随机冲击序列，计算输出信号时必须考虑各个冲击的迭加。•探测器中产生的电流脉冲，在时间上服从泊松分布，NtnNNNtnNNtntNPNNtneNtntNPNtNtnN))(),(,!)(),(21（的标准偏差为：它的均方偏差为：为：间隔内出现平均脉冲数在为平均计数率。其中个脉冲的概率为：间隔内出现在11dtthQndthQndvdtthQndthQnvtdthQdndvdvnthQdnvddndthQnnn0222220)()()()()()()()(,),(,积分）于各小段的贡献之和（平均值和均方差分别等时刻产生的输出电压的个冲击序列在任意之间是统计独立的，整因为各小段的均方根偏差为：的随机性引起的由于电压的贡献为：此段时间的电流对输出内平均计数为到则在系统的冲击响应为均为，每个电流冲击的强度设平均计数率为等强度分析12定理。以上两式就是坎贝尔代入以上两式，有电压输出如果用单个脉冲引起的)()()()()()(220CambelldttvndvdttvnvtQhtvonoo信号幅度随机时)()(,,)()()()(222thQdnvdtdNdndNdndNdQQQQQtQtikkki贡献为时刻输出电压平均值的个脉冲对此有平均冲击数为内的冲击个数为的均方差为，则为设冲击序列的平均强度成：随机冲击序列可以描述13理不为常数时的坎贝尔定这就是上式可以写成，时，利用机分布时，因此，强度和时间均随的相对均方差为而二级串级型随机变数QdthQnvdtthQnvthtdthQnvdthQnvdnthQdvQQdnQQdndndNvddvdv0222022222222222222)()()(,0)(0)()()()()(1)(1)()()()(143、信号的复频域分析•拉普拉斯变换不含t0部分，而且含有衰因子，变换容易收敛，比富里叶变换更适合分析系统的时域响应，而富里叶变换通常用于分析信号和噪声的频率特性。•拉普拉斯变换称为像函数称为原函数，算符表示：拉氏反变换：，其中)()(),()()]([)()],([)()0()(21)()(21)()()(21)()(,)(])()([)(1-0sFtfsFtfsFtftfsFtdsesFjtfdsesFjtutfdesFetutfjsdtetfdteetutfsFjjstjjsttjtsttjtLL15拉普拉斯变换的基本性质)()()()(.4)(1)(.3)()()(.2)()()()(.1),()(),()(),()(2121002211221122110sFsFtftfasFaatfsFettuttfsFasFatfatfasFtfsFtfsFtfst时间卷积定理比例性时移定理线性则设)(lim)(lim.8)(lim)(lim.7)()(.6)0()()(1)0()()()(.5000)1(10ssFtfssFtfsFdttffssFdttdfnfSsFsdttfdststtkknnknnn终值定理初始值定理时间积分时，时间导数16复频域分析的一般方法•对输入信号作拉氏变换，得到像函数•计算系统的传递函数–复阻抗法，ZR=R,ZC=1/(sC),ZL=sL–求h(t)，作拉氏变换•以上两项相乘得到输出信号的像函数•拉氏反变换求输出信号的时域波形vo(t)=Vi(t)*h(t)h(t)H(s)Vo()=Vi(s)H(s)vi(t)Vi(s)17常用的一些变换f(t)F()F(s)tetututa)(:)(:)(:指数衰减阶越函数冲击函数ajj111ass111•结合延迟定理和导数定理，就可以很方便地解出本书中所涉及到的大部分时域波形。18极点、零点和时域波形•在复频域分析中，还能很方便的了解时域波形的变化规律，如波形是否会产生过冲或震荡，是单极性的还是双极性的等等。•系统的传递函数总可以写成两个有理多项式之比的虚数或复数。可以是实数，共轭成对，称为传递函数的极点，称为传递函数的零点，的根，和求ikiknnmmnnnnmmmmPZPZPsPsPsaZsZsZsbsHsDsNasasabsbsbsDsNsH)())(()())(()()()()()()(2121011011•极、零点在复平面s上的分布，可分六种情况：零、正实数、负实数、共轭虚数、实部为正的共轭复数和实部为负的共轭复数。19•传递函数中，通常nm,•如果D(s)没有重根，即没有重复的极点，H(s)可以分解为极点与时域波形的关系。（增长）正弦波的混合种指数衰减复指数函数之和，即各是如干个与极点有关的冲击响应利用拉氏反变换，得到nitPiniiinniekthPskPskPskPsksH112211)()()()()()(•如果有高阶（l阶）的极点P1，它的贡献为lqtPqlqllqqlqletkthPskqsH11111)()()!1()(20极点、零点和时域波形•从以上分析，只有当所有极点位于左半平面时，冲击响应是逐渐衰减的，系统是稳定的。•增加实数极点，输出波形峰位后移，波形更平滑，单极性输入，输出仍是单极性波形。•增加实数零点，相当于对原波形求导数，单极性双极性，峰位过零点')'(11*)()()/1(1)(11)()(/)'(0/dtetvetvtvssVssVtvtttitioiio0)0(),()()]()[(1ftvdttdvsVsLiii初始条件aa