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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 质量控制/管理 > 第七章第四节局地均匀各向同性湍流
复习1、什么是均匀各向同性湍流?2、均匀各向同性湍流速度的二阶相关矩具有什么特点?3、不可压缩均匀各向同性湍流的速度二阶相关矩具有什么特点?4、对于速度三阶相关矩呢?5、均匀各向同性湍流的压力-速度相关矩的特点是什么?6、不可压缩均匀各向同性湍流的压力-速度相关矩等于多少?复习7、Karman-Howarth方程是关于什么量的方程?Karman-Howarth方程两点相关矩这个方程不闭合湍能衰变的某些近似的规律湍流问题均匀各向同性湍流局地均匀各向同性湍流Kolmogorov,Obukhov,Monin,Yaglom,Novikov和Tatarskii等§7.4局地均匀各向同性湍流一、概述二、Kolmogorov的重要贡献三、Kolmogorov的相似假设四、速度结构函数五、压力结构函数六、Ko1mogorov的修正部分七、实验个例八、总结和作业一、概述KolmogorovObukhovTatarskii结构函数的“2/3定律”湍流谱的“-5/3定律”二、Kolmogorov的重要贡献1、Kolmogorov的局地均匀各向同性湍流的概念。当Re数充分大时,(例如大气湍流),湍流变成为一种充分发展了的湍流。从最大的可与平均场不均匀尺度相比拟的湍涡到最小的分子粘性可起重要作用的湍涡,全被激发起来。最大的湍涡当然是各向异性的,但最小的分子热运动可起重要作用的湍涡却应是各向同性的。此外,对于那些尺度虽比分子粘性耗散尺变l0为大,但比到边界的距离亦即比最大湍涡尺度小很多的湍涡,它们的统计特性应该是各向同性的。这就形成了Kolmogorov的局地均匀各向同性湍流的概念。湍流的内尺度l0和外尺度L0我们将把l0称之为湍流的内尺度.我们把流场中最大湍涡的大小,或平均流的特征尺度叫湍流的外尺度L0。既然湍流场整体具有均匀各向同性性质的假设十分不现实。Kolmogorov建议人们缩小目标—只研究小尺度湍流的局地性质而放弃研究湍流的整体性质。局地均匀各向同性概念与整体均匀各向同性概念不同,前者有可能是普遍存在的,因而具有相当普遍的现实意义。Kolmogorov的重要贡献2、结构函数Dij)()()(rxuxurBjiijvvv+′=))((),(jjiiijuuuurxD−′−′=vvMM’Kolmogorov的重要贡献3、量纲分析方法,Kolmogorov的相似假设。当Re数足够大时,湍涡从外尺度L直到最小的内尺度l0全被激发出来。这时,湍流能量通过非线性惯性力的作用,连续地、损耗十分小地从外尺度含能湍涡逐级向更小的湍涡输送,直到内尺度l0为分子粘性所耗散掉。在平衡时,单位质量流体的湍能耗散率ε与从外尺度含能湍涡单位时间内输送的湍能输送率相等,且为常数。因此,对于这个“平衡区间”,Kolmogorov做出了他的相似假设。能量级串原理示意图E(k)为能量密度局地均匀各向同性湍流能谱模式三、Kolmogorov的相似假设1、对于这个“准平衡区”:“小尺度湍涡的统计性质,唯一地由湍能耗散率ε与分子粘性υ所决定”。外尺度为L0和内尺度为l0,032/~/00lvvllτ202/~0lvlυε湍流能量生成湍流能量耗散430/ευ=l40υε=v特征尺度Kolmogorov的相似假设2、当Re数足够高以至l0十分小时,在上述平衡区间中波数较小的一端,必然会存在一个“惯性子区间”,在这个子区间中分子粘性的影响已经可以忽略,。当Re数充分大时,平衡区间的波数较小的一端存在着一个惯性子区间,该区间的统计性质唯一地由量ε决定”四、速度结构函数张量Dij(r)的九个分量当然也不是独立的。不难证明,它也可用类似的纵向结构函数Dll(r)与横向结构函数Dnn(r)来表示,即)()(22rrrDrrrDrDjiijnnjillij−+=δv2)()(lllluurD−′=v2)()(nnnnuurD−′=v不可压缩局地均匀各向同性湍流的结构函数根据不可压缩和各向同性的特点,可以得到rDrDDllllnn∂∂+=2准平衡区湍流速度结构函数利用前面假设以及量纲理论,处于准平衡区湍流,其速度结构函数为)/(~)(0lrrDllβυε)/(~)(0lrrDnnβυε这里β(r/l0)是普适函数,为特征速度的平方。υε惯性子区湍流速度结构函数对于惯性子区,Dll(r)和Dnn(r)应与υ无关,4/300)(r)()(αααευβ−==lrlrαααααευευευrDll42143214/3)(r~+−−=3/23/2)(rCrDllε=3/23/2)(rCrDnnε′=α=2/3粘性子区湍流速度结构函数对于粘性子区,rl0,将β(r/l0)展开得L+∂∂+∂∂+∂∂+====3003320022000)()()()0()(lrrlrrlrrlrrrrβββββ考虑到β(0)=0,β应是r的偶函数,则有下列近似200)(~)(lrlrβ2)(rarDllυε=2)(rarDnnυε′=从Karman-Howarth方程得到2/3定律Karman-Howarth方程结构函数和相关矩之间的关系关于结构函数的动力学方程Kolmogorov的结构函数方程结构函数表达式-2/3定律结构函数和相关矩之间的关系当流场是整体均匀各向同性时,二阶结构函数与二阶相关矩应有以下关系)]()0([2)()(2rBBuurDllllllll−=−′=)]()0([2)()(2rBBuurDnnnnnnnn−=−′=∞→r)(3232)()(2322212uuuurDrDnnll++===结构函数和相关矩之间的关系如果流场也具有整体均匀各向同性性质,则它们与三阶纵向相关矩应有以下关系))()(()(kkjjiiijkuuuuuurD−′−′−′=3)()(llllluurD−′=kjillllllkijjkiijkllllllijkrrrrDrDrrrrrDrDrrD)(21))((61)(3∂∂−+++∂∂+=δδδv)()1(61)(rDrrrDllllnn+∂∂=)(rDlnn)(6)(rBrDllllll=)()1()(lnrBrrrDllln+∂∂=结构函数的微分方程从Karman-Howarth方程出发可以得到相应的支配结构函数的微分方程ευ4])(6)()[4(−=∂∂−+rrDrDrdrdlllll),0(23)(23)](21[)21(212322212tBdtdudtduuudtdudtdll−=−=++−=−=εKolmogorov的结构函数方程结构函数的动力学方程是在平衡条件下不随时间改变,ε=常数时得到的。积分该方程,由于在r=0时方括号内的表达式应不存在奇点,它的齐次解应为零。由该方程还知该表达式之一个特解为-4εr/5,立刻可以得到Kolmogorov的结构函数方程为rrrDrDlllllευ54)(6)(−=∂∂−从Kolmogorov的结构函数方程得到2/3定律该式仅对整体也呈均匀各向同性性质的湍流才能成立。但实验表明,对于仅满足局地均匀各向同性性质的湍流,该式也近似成立。于是,当rl0时,由于此时湍流起伏很小,Dlll可以忽略,由此立刻可以得到2151)(rrDllυε=从Kolmogorov的结构函数方程得到2/3定律而在惯性子区间中,按照Ko1mogorov第二相似假设υ=0,Ko1mogorov方程立刻给出)(54)(0LrlrrDlll−=ε2/3lllllDDS=)()()54()(03/23/2LrlrSrDll−=ε)()2()(03/2LrlrrDll=ε五、压力结构函数M与M’两点压力结构函数为2)()(pprDpp−′=422)]([−−=TLMrDpp压力结构函数Dpp(r)根据相似性假设(1)和量纲理论,Dpp(r)决定于密度ρ,分子粘性υ和耗散率ε,因而有321~)(xxxpprDευρx1=?,x2=?,x3=?压力结构函数Dpp(r)根据量纲理论,得到321)()()(32123422xxxTLTLMLTLM−−−−−=⎪⎩⎪⎨⎧−−=−++−=−=3232113422322xxxxxx⎪⎩⎪⎨⎧===112321xxx)(~)(02lrrDppυεπρ惯性子区压力结构函数Dpp(r)对于惯性子区l0rL0,其结构函数与粘性无关,则?)(0=lrπalrlr)()(00=πaaaaapprrrD4/314/3124/32)(~)(+−−=ευρευυερ3/42)(~)(rCrDpppερpC粘性子区压力结构函数Dpp(r)对于惯性子区rl0,类似前面处理200)(~)(lrlrπ22/13/22~)(rCrDppp−′υερ六、Ko1mogorov的修正部分几十年来,Ko1mogorov理论已获得很大成功,在大气中,在海洋中,在实验室中,人们几乎到处都观测到了这个理论所预测的2/3湍谱。它不仅有重要的理论意义,是湍流发展史中一个具有里程碑意义的成就,而且在许多工程应用中有直接应用价值。人们在大量实验观测中看到了Ko1mogorov理论所预测的结果。Ko1mogorov湍流模型一定正确?湍流的不连续性又称间歇性现象的发现是对Ko1mogorov湍流模型的一个挑战。湍流的间歇性现象,也有人把它称为淬发、湍斑或湍流的团块结构。它最早是由Batchlor与Townsend在l949年在风洞实验中栅网后的均匀各向同性湍流中发现的。间歇性广泛地存在于时间、空间、波数空间之中。湍流间歇性的描述如何描述这类不连续的随机现象,在概率论上也是一个挑战。Batchlor与Townsend建议用平坦因子F来描述。定义平坦因子F为四阶矩与二阶矩平方之比。224uuF=F/3=γ间歇性意味着间歇性为湍涡尺度的不均匀,表现在湍谱上就是湍谱频率分量的不连续过程,反映出小尺度分量在空间分布中的不均匀性。就是说,小尺度并非如Ko1mogorov理论所假设的那样,是均匀各向同性的。湍谱的不连续意味着湍谱各分量的不连续过程还意味着,湍能输送并非如Ko1mogorov所设想的那样,是一个连续的在波数空间中由低波数向高波数的输送过程。也就是说湍能耗散率ε并非常数。实际上它是一个间歇性的,在波数空间中以随机跳跃方式向高波数输送的量。Kolmogorov第三相似假设1962年Ko1mogorov与Obukbov在一次国际会议上第一次承认了ε具有随机性(却仍然回避ε的间歇性问题),并对他们1941年的湍流相似理论进行了修正。Kolmogorov与Obukhov假定ε服从对数正态分布。ye0εε=式中ε0是平均几何值,y为满足正态分布的随机量Kolmogorov第三相似假设y的均值和方差为0=yβ=2y202βεεnnne=可以证明:Kolmogorov第三相似假设从而得到2/0βεεe=9/3/29/23/203/2ββεεε−==ee)(220222ββεεεεσee−=−=εσε=M21Me+=β9/123/23/2)1(−+=MεεKolmogorov第三相似假设最后得到结构函数的表达式为:9/123/23/2)1()(MrCrDll+=ε当M1时3/23/2)(rCrDllε=Kolmogorov理论面临着危机Kolmogorov与Obukhov对2/3定律1962年的修正,事实上已放弃了他们1941年理论的物理基础。当ε作为“纯”系综的相似判据出现时,它们已不再代表波数空间中一个稳定的能量流,而只是简单的一个数学上的一个考虑。这就自我否定了该理论的湍流物理模型。这样,一方面Kolmogorov的2/3定律已取得巨大的成功,另一方面这个理论的基础又面临着危机。湍流基础理论的发展近二三十年来在湍流研究领域中就出现了许许多多各式各样的新的探讨,思想空前活跃。由湍流的不连续性所提出的问题,涉及到流体运动的本质问题,涉及到Navier—stokes方程解的性质与求解,显然这是一个极为艰巨的任务。虽有近二三十年来的大量工作,这问题至今尚未圆满解决,新的突破仍末出现。但在80年代已出现了一些重要进展。其中法国学者Frisch、美国学者
本文标题:第七章第四节局地均匀各向同性湍流
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