平面向量基本定理及坐标表示

平面向量基本定理及坐标表示一．知识点总结1.平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1122aee．（不共线的向量1e、2e作为这一平面内所有向量的一组基底）（1）平面内用来表示一个向量的基底有无数组；（2）若基底选取不同，则表示同一向量的实数21,可以相同，也可以不同；（3）任意不共线的两个向量都可以作为基底。2.向量的坐标表示与坐标运算:(1)平面向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示取x轴、y轴上两个单位向量i,j作基底，则平面内作一向量a=xi+yj，记作：a=(x,y)称作向量a的坐标(2)．注意：①每一平面向量的坐标表示是唯一的;②设A(1x,1y)B(2x,2y)则1212,yyxxAB结论：同理可得，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。(3).两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。(4).两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。(5)．实数与向量积的坐标运算：已知a=(x,y)和实数λ，则λa=λ(xi+yj)=λxi+λyj∴λa=(λx,λy)结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。3.向量平行的坐标表示:结论：a//b(b0)的充要条件是01221yxyx.二．练习1.在梯形ABCD中，AB//CD,CDAB2,FE,是BADC,的中点，bABaAD,,是以ba,为基底表示EFBCDC,,。2.已知ABCD为矩形，且ABAD2，又ADE为等腰直角三角形，F为ED的中点，2121,,,eeeEFeEA以为基底，表示向量BDADABAF,,,.4．已知a＝(x,3)，b＝(3，－1)且a∥b，则x等于()A．－1B．9C．－9D．15．已知A(3，－6)，B(－5,2)，且A、B、C三点在一条直线上，则C点坐标不可能是()A．(－9,6)B．(－1，－2)C．(－7，－2)D．(6，－9)6.已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于()A．(－5，－10)B．(－4，－8)C．(－3，－6)D．(－2，－4)7.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则mn等于()A.12B．2C．－12D．－28.已知向量a＝(x,1)，b＝(1，x)方向相反，则x＝________.9.．已知M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R}，则M∩N＝________.10.已知向量OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，OC→＝(10，k)，如果A、B、C三点共线，则实数k＝________.11.如果向量AB→＝i－2j，BC→＝i＋mj，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线．10．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP→＝OA→＋tAB→，试问：(1)t为何值时，P在x轴上，P在y轴上，P在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形，若能，求出t的值，若不能，请说明理由．13.已知向量a＝(3,4)，b＝(sinα，cosα)，且a∥b，则tanα等于()A.34B．－34C.43D．－4314.已知A(2,3)，B(6，－3)，P是靠近A的线段AB的一个三等分点，则点P的坐标是________．15.已知向量AB→＝(6,1)，BC→＝(x，y)，CD→＝(－2，－3)，当BC→∥DA→时，求x，y应满足的关系式．16.设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.17.已知点A(－1,2)，B(2,8)以及AC→＝13AB→，DA→＝－13BA→，求点C，D的坐标和CD→的坐标．18.已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a，b)．(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；(2)若AC＝2AB，求点C的坐标．19.下列向量中，不是单位向量的有：（）（1）sin,cosa（2）5lg,2lgb（3）22,xxc（4）xxd,1A.1个B.2个C.3个D.4个