通信原理课件：随机信号分析

第三章随机信号分析孙恩昌北京工业大学电控学院3.1引言为什么研究随机过程？在通信系统的研究中，输入信号、干扰、噪声等都不是确定信号，而是随机信号。但这些随机信号又具有一定的统计规律性。随机过程是随机信号的数学模型，研究它的理论就是研究随机信号的数学工具2北京工业大学电控学院随机过程的概念无论信号还是噪声，两者都是随机的。它们不能表示成一个确定的时间函数。随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数进行描述。设有无数台性能相同的接收机，在同样条件下测其输出噪声,可得图示波形,每条曲线都是一个随机起伏的时间函数,称为随机函数。每一个随机函数称为一次实现或样本函数，全部样本函数构成的总体称为随机过程。在t1时刻，输出噪声值是一个随机量。在t2时刻，输出噪声是另一个随机量。时间不同，随机量也不相同，即随机量是一个变量，称为随机变量，它是时间的函数。，3北京工业大学电控学院随机过程的含义有两点：首先它是一个时间函数；其次每个时刻上的函数值是随机的，按照一定的概率分布。如果时间是离散的，则称为随机序列。例如计算机产生的信号则是随机序列，而通信中的热噪声是随机过程。随机过程的概念4北京工业大学电控学院3.1引言随机过程定义,,tTXtXttTXt设有一随机实验的样本空间为。对任一时间参数，都有一定义在上的随机变量与之对应，则称为一随机过程。一般也可把随机过程简记为。5北京工业大学电控学院3.1引言随机过程的两个含义在某一个确定的时刻，随机过程表现为一个随机变量，随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。随机过程X(t)的一个具体取值形成一个样本函数，用x(t)表示，即随机过程是所有样本函数的集合6北京工业大学电控学院3.1引言研究什么？随机过程的各种统计特性随机过程通过线性系统7北京工业大学电控学院3.2随机过程的统计特性随机过程的一维分布函数和概率密度、n维分布函数和概率密度。n越大对其统计特性的描述越充分111111111111121211221212121212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,nnnnnnnnnnnnFxtPXtxFxtpxtxFxxxtttPXtxXtxXtxFxxxtttpxxxtttxxx8北京工业大学电控学院3.2随机过程的统计特性随机过程的数字特征1222212121221212121,23,,,,XXXXmtEXtxpxtdxtDXtEXtEXtEXtmtRttEXtXtxxpxxttdxdx所有样本函数曲线的中心值相对于均值的偏离程度不同时刻的随数学期望（统计平均值）,方差，自相关函数机变，量之间的关联程度9北京工业大学电控学院3.2随机过程的统计特性随机过程的数字特征121122121212121212114,,5,,,0XXXXXXXXXXXCttEXtmtXtmtRttmtmtCttttttttXtXt自协方差函数相关系数（归一化协方差函数）若，则称和不相关10北京工业大学电控学院3.2随机过程的统计特性两随机过程X(t),Y(t)的n+m维联合分布函数和概率密度,1212121211221122,12121212,1212,,,,,;,,,,',',',,,;',',,',,,,,;,,,,',','nmnnmmnnmmnmnnmmnmnmFxxxtttyyytttXtxXtxXtxPXtyXtyXtyFxxxtttyyytttpxxxyyy11北京工业大学电控学院3.2随机过程的统计特性两随机过程X(t),Y(t)相互独立的充分必要条件（满足任何一个即可）..nmnmnmnmFFFppp12北京工业大学电控学院3.2随机过程的统计特性两随机过程的数字特征（互相关函数和互协方差函数）12122121211221212,,,,,,XYXYXYXYXYRttEXtYtxypxtytdxdyCttEXtmtYtmtRttmtmt13北京工业大学电控学院3.2随机过程的统计特性不相关与独立两随机过程相互独立，则必定不相关；若不相关，则不一定独立对于正态（高斯）随机过程，不相关与独立是等价的1212,,0XYXtYtttCtt若两随机过程和对任何有，则称这两随机过程不相关14北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程严平稳（狭义平稳）随机过程：任意有限维分布函数与时间起点无关平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变12121212,,,,,,,,,,nnnnnnXtnpxxxtttpxxxtttXt若随机过程对于任意正整数和所有实数有则称为严平稳随机过程或狭义平稳随机过程15北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程严平稳随机过程的数字特征21221212123,4,XXXXXXXEXtmtDXtRttRttCttRm与时间无关只与相关16北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程宽平稳（广义平稳）随机过程满足以下条件的随机过程即为宽平稳注意：由这两个条件即可得到与严平稳随机过程相同的四个数字特征性质，即也有12,XXXEXtmRttR2212,XXXXDXtCttRm17北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程严平稳与宽平稳的关系宽平稳随机过程不一定满足以下条件严平稳随机过程一定是宽平稳随机过程；但宽平稳随机过程不一定是严平稳随机过程对正态（高斯）随机过程而言，宽平稳和严平稳等价若不加特别说明，平稳过程都是指宽平稳随机过程12121212,,,,,,,,,,nnnnnnpxxxtttpxxxttt18北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程联合宽平稳随机过程1221,,,XYXYXtYtRttEXtYtRttXtYt若均为宽平稳随机过程，且有其中，则为联合宽平稳随机过程19北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程平稳随机过程相关函数的性质22222102304,50XXXXXXXXREXttRRRRREXtaXtXtRR，是，与无关一般，时，可以认为统计平均功和相互独立，，为方差，表示过程的率直流功率交流功率20北京工业大学电控学院()()XREXtXt3.3平稳随机过程遍历性（均值遍历过程）1lim12TTTXtxtxtxtdtPEXtxtTXt的样函数的时间平均值，若则为均值遍历过程21北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程遍历性（自相关遍历过程）1lim21TTTXXtxtxtxtxtxtdtTPRxtxtXt的样函数的自相关平均值，若则为自相关遍历过程22北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程遍历性含义平稳过程的统计平均值等于它的任一次实现的时间平均值，可用时间平均代替统计平均随机过程的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。23北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程遍历性（宽遍历与严遍历）若X(t)是均值遍历和自相关遍历的，则称其为宽遍历过程若X(t)的所有统计平均特性和其样本函数所有相应的时间平均特性以概率为1相等，则称其为严遍历过程或狭义遍历过程如不加特别说明，遍历过程均指宽遍历过程24北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程遍历性（遍历与平稳）遍历过程必是平稳过程；但平稳过程不一定是遍历过程对遍历过程，得到一个样函数，就可得到其数字特征0XtEXtRdXt若平稳高斯过程有，，则是遍历过程25北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程平稳随机过程的功率谱密度22limlim/20TTXTTTXtEXXPETTXttTXt的功率谱密度为其中，其它26北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程维纳-辛钦定理平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度互为傅立叶变换，即证明目标是XXRP2limTjXXTEXPRedT27北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程维纳-辛钦定理（证明）2/2/2'/2/2/2/2'/2/2/2/2''/2/2'1''1''1'TTTjtjtTTTTTTjttXTTTTtttjXTTtEXEXtedtXtedtTTRttedtdtTReddtT28北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程维纳-辛钦定理（证明）下一步证明思路是变换积分次序29北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程/2/2'/2/200/20/200/2/2/2'/2021110,''11120,''1limTTtTTjjXXTTTjXTTjjXXTTtTTTjXTXTReddtRedtdTTRedTReddtRedtdTTRedTEXPTlim12lim1limTjXTTTTjjXXTTRedTRedRed30北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程平稳随机过程功率谱密度的性质210201230XXXXXPREXtPdPRd，是平均功率31北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程平稳随机过程功率谱密度的性质00420002cos11cos2XXXXjXXXjXXXXtRPPGPRedRdRPedPd若为实平稳随机过程，则和均为实偶函数定义双边功率谱密度32北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程01200012010202102103.3.1sin102,20sinsincoscossin0,sinsin11coscos2cos22XXXXXXXttpRttPmtEttEtERttEttEttttRP例中为随机变量，概率密度为，求和其他平稳随机过程00233北京工业大学电控学院3.4高斯（正态）随机过程