电磁学 北大 王稼军 讲义 ppt 5.5 复数解法

2020/2/7北京大学物理学院王稼军编§8交流电路的复数解法p396/p3975-50、51、53复数基本知识交流电的复数表示法复数的实部是简谐量)sin()cos()(~tjAtAtjAAe)(~)cos()(111111tjAAtAtae)(~)cos()(222222tjAAtAtae)(~)cos(~~~)()()(2121tjAAtAAAAtatatae2020/2/7北京大学物理学院王稼军编简谐量的微商和积分利用复数法，可以把微商、积分运算简化成代数运算AjtjAjtjAdtddtAddttdaee~)()(~)(==][=AjtjAjdttjAdtAdttaee~1)(1)(~)(2020/2/7北京大学物理学院王稼军编交流电的复数表示复电压复电流)(~)cos()(00utjUUtUtueu)(~)cos()(iiiiitjIItItie复阻抗jZiujIUtjItjUIUZeeeeiu)()()(~~~000000IUiujYjZZYee1~1~复导纳幅角差一个负号2020/2/7北京大学物理学院王稼军编好处元件阻抗相位差复阻抗复导纳jZeIUZ~~~复数形式的欧姆定律；将Z、φ用一个复阻抗来代替cjcjffccC121211LjLjffLLL122RRfRR10无关与2020/2/7北京大学物理学院王稼军编交流串、并联电路的复数解法用复数法计算简单电路时，电路的电压、电流关系与直流电路一样串联电路21212121~~~~~~~~~~~~,~~~ZZZZIZIZIUUUIII21212121~~~~~~~~~~~~,~~~YYYZUZUZUIIIUUU并联电路2020/2/7北京大学物理学院王稼军编LjRCRjLCCjLjRYYYCLR211~~~例题：求R、L、C串并联电路的总阻抗和相位差先算L、R串联电路的复阻抗ZLRLjRZZZRLLR~~~再算总电路复导纳YCRjLCLjRZ21~复阻抗2020/2/7北京大学物理学院王稼军编RLRCLtgLCCRRLLCCRRLtg])([111221221求阻抗和幅角用三角恒等式)(21221212211~~1~jjjeZZeZeZZZCRjLCLjRZ利用复数运算规则222222)()1()(1~CRLCLRCRjLCLjRZZ模LCCRtgRLtg211211幅角xyyxtgytgxtg11112020/2/7北京大学物理学院王稼军编串、并联电路的应用交流元件的这种特性——“频率响应”有许多重要的应用CjZLjZCL1~,~都与频率有关有确定值一定时CjZLjZCL1~,~随着变化改变时CjZLjZCL1~,~2020/2/7北京大学物理学院王稼军编滤波电路能使某些频率的交流讯号顺利通过，而将另外一些频率的交流讯号阻挡住的电路低通滤波电路：将高频流讯号阻挡住高通滤波电路：能使高频讯号顺利通过，而将低频流讯号阻挡住的电路在无线电、多路载波通讯等技术领域中广泛地使用着各种类型的滤波电路2020/2/7北京大学物理学院王稼军编单级的RC低通滤波电路利用电容具有隔直流、通交流，高频短路，直流开路的频率特性，由电容和电阻组合而成实际上是一个分压电路。以电容两端作为输出端，则该电路的输出复电压与输入复电压之比为RCjCjRCjUU1111~~输入输出2)(11~~RCUU输入输出)(tan)(1RC模幅角都是的函数2020/2/7北京大学物理学院王稼军编对于一定的输入电压，输出端分压与频率成反比，频率越高，输出电压占输入电压的份额就越少当输入电压中包含有各种频率的交流成分和直流成分时，直流成分大小不变，而交流成分减少，起到了滤波作用因为输出的交流成分中，低频成分比高频成分占的比例多一些，——低通滤波电路2)(11~~RCUU输入输出)(tan)(1RC2020/2/7北京大学物理学院王稼军编例题：已知电压中包含直流成分240伏和100Hz的交流纹波100伏，将此电压输入低通滤波电路，其中R＝200Ω，C=50μf求：输出电压中的交、直流成分各占多少?直流成分全部集中在电容上电容上的交流成分？157.0)(11~~2RCUUUUCCVVVUjTUC167.15157.0100)(输出讯号交流成分由100V降到16伏，输出电压比原来平稳多了2020/2/7北京大学物理学院王稼军编高通滤波电路由于高频讯号的电压在电阻上分配得比较多，因此输出端将得到较多的高频讯号利用电感具有阻高频、通低频的频率特征，可以将电感和电阻组合成高通滤波电路2020/2/7北京大学物理学院王稼军编旁路作用无线电路设计中，要求某一部位有一定直流压降，但同时必须让交流畅通、交流压降很小，使压降保持稳定通常在这种部位中安置适当搭配的RC并联电路，此时由于电容隔直流、通交流，因此起到交流旁路作用2020/2/7北京大学物理学院王稼军编例题：如图所示，电源提供500周3毫安电流，未接通电容时，电阻R＝500Ω，两端交流电压为多少？当并联一个30μf的电容后又如何？没有电容时，电源提供的电流全部通过电阻，电阻两端的交流压降为VVIRUR5.15001033并联30μf电容，其容抗1021fCZC电流向电容支路分流，其电流有效值之比为5010500CRRcZZII2020/2/7北京大学物理学院王稼军编旁路作用绝大部分电流从电容支路旁路流过，通过电阻的电流还不到总电流的1/50，近似认为mAIIC3mVZIUCC30'减少到没有电容的电压的1/502020/2/7北京大学物理学院王稼军编相移作用R、C滤波电路，不仅有低通滤波作用，而且也改变了输出电压和输入电压的相位差，因此它可构成相移电路（相移器）)(tan)(1RCUC与U相位差显然输出电压相位落后于输入电压。当输入讯号的频率一定时，改变电容或电阻，即可改变输出电压与电流之间的相位差2020/2/7北京大学物理学院王稼军编交流电路的基尔霍夫定律自学要求复习直流基尔霍夫定律；找出与直流相同之处和不同之处；会运用复数形式的基尔霍夫定律适用于处理只有一个电源或有若干个同步电源的复杂交流电路（如电路中包含互感，就会出现不同步电源）。讨论2020/2/7北京大学物理学院王稼军编交流电路的基尔霍夫方程组对于电路的任意一个节点瞬时电流代数和为0节点方程i(t)=0沿任意一个闭合回路瞬时电压降的代数和为0电压回路方程u(t)=0i(t)、u(t)对应成复电压、复电流——复数形式基尔霍夫定律2020/2/7北京大学物理学院王稼军编复数形式基尔霍夫定律汇于节点的各支路复电流的代数和为零0)~(I沿回路环绕一周回到出发点，电势数值不变0()~~(~)~ZIU2020/2/7北京大学物理学院王稼军编与直流电路比较在每段支路上标定电流方向（同），i(t)0，与标定方向一致i(t)0，与标定方向相反为每一个闭合回路规定绕行方向（同）u(t)0，电势降落为正u(t)0，电势降落为负标定某一瞬时电源的极性（不同）e(t)0，电源极性与标定的一致e(t)0，电源极性与标定的相反2020/2/7北京大学物理学院王稼军编符号法则第一方程（同）对于节点，流入为负，流出为正第二方程元件（含电源内阻）（同）：•电流方向与绕行方向一致，认为电势降落取正，相反取负。电源（同）•绕行方向与某个（理想）电源所标定的方向一致（即从负极穿过电源内部到正极）取负，相反取正。2020/2/7北京大学物理学院王稼军编关于复数基尔霍夫定律的几点说明电流及电势降落的正负的规定带有人为的因素，不同书规定的方法可能不一样，但反映的物理规律完全相同（同）复数形式的基尔霍夫定律中确定电压回路的独立回路个数的方法与直流电路中所述相同（见直流基尔霍夫定律）（同）用复数形式的基尔霍夫定律解复杂交流电路比较方便，基本上与直流电路做法相似，但这里有一个重要的区别，即在得到复数结果之后还要计算它们的模和幅角，以便得到有物理意义的实际结论2020/2/7北京大学物理学院王稼军编适用范围和意义适合处理只有一个电源或有若干个同频、同步电源的复杂交流电路用于含多个同频但非同步电源的交流电路时（如电路中包含互感，就会出现非同步电源），则应当已知各电源之间的相位差（不同）无论是直流电路的基尔霍夫定律还是交流电路的基尔霍夫定律，它们实际上就是电流连续性方程和环路定理在电路中的具体实现，从纯理论的角度看，并没有给出什么新东西基尔霍夫定律的建立使纯理论研究转化为应用理论，使之给出关于电路中电压、电流、电动势之间的完备方程组，解决了电压、电流和元件阻抗之间的关系问题，而这种关系本身是应用的前题，它为电路的测量提供了依据，这正是基尔霍夫的重大贡献。2020/2/7北京大学物理学院王稼军编三级RC低通滤波电路（三级RC相移电路）试用基尔霍夫定律计算该滤波电路输出和输入复电压之比设复电流的方向如图由节点方程决定流经各电容C的电流选择图示三个回路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ规定了回路的绕行方向UCjIIRI~~~~I211：0~~~~~II21322CjIICjIIRI：0~~~~III3233CjIICjIRI：2020/2/7北京大学物理学院王稼军编0)2(~1~01~)2(~1~~1~)1(~3232121CjRICjICjICjRICjIUCjICjRI三元一次方程组CRCRjCRCjUI])(6[)(51~~223CRCRjCRUCjIZIUC])(6[)(51~~~~'~2233CRCRjCRUU])(6[)(511~'~22输出和输入复电压之比越大输出电压占输入电压的份额越少2020/2/7北京大学物理学院王稼军编交流电桥交流电桥原理与直流电桥相似不同的是四臂上的元件不一定是电阻，可以是R、L、C元件图中已规定了电流方向和回路绕行方向以及电源的极性301~~~IIIB：402~~~IIID：0~~~~~~220011ZIZIZIABDA：0~~~~~~004433ZIZIZIBCDB：0~0I电桥平衡时4213~~,~~IIII44332211~~~~,~~~~ZIZIZIZI23414231~~~~;~~~~ZZZZZZZZ平衡条件2020/2/7北京大学物理学院王稼军编电桥平衡条件交流电桥平衡条件要求电桥两对边元件的阻抗之积相等且要求两对边的相位之和相等说明交流电桥四臂上的元件不能任意选择•如2、4臂选了纯电阻，则1、3臂必须选用同为电感或同为电容的元件，不能选一个电感一个电容。（思考p3875-35）2341~~~~ZZZZ)()(32324141jZZjZZee32413241ZZZZ2020/2/7北京大学物理学院王稼军编各种实用的电桥实用中，各臂采用不同性质的阻抗，可以组成多种形式的电桥（实际应用）可以自行写出各电桥的平衡条件a电容桥b麦克斯韦LC