洛必达法则

上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院1一、二、三、其它未定式四、小结00型未定式型未定式2.2洛必达法则上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院2()()()()()lim().00xaxxaxfxFxfxFx如果当或时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那末极限可能存在、也可能不存在．通常把这种极限称或型未定式为,tanlim0xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()(例上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院300型未定式定理2.2.1(00型未定式的洛必达法则Ⅰ)若函数f(x)和g(x)满足下述条件:1)lim()lim()0;xaxafxgx2)在点a的某个去心邻域内，()fx和()gx均存在且()0;gx()3)lim()xafxFx存在(或为),一、上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院4则有()()limlim.()()xaxafxfxgxgx(在x,a之间)证不妨假设()()0,faFa在所给的邻域内任则在以x,a为端点的区间上满故()()()()()()fxfxfaFxFxFa()()fF足柯西中值定理条件,取上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院5()lim()xafF3)这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.注(1)洛必达法则只适用于未定式；(2)当()lim()xafxgx存在时，()lim()xafxgx也存在且上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院6等于()lim()xafxgx；当()lim()xafxgx为无穷大时，()lim()xafxgx也为无穷大．但当()lim()xafxgx不存在（不为无穷大）时，我们不能说()lim()xafxgx也不存在，只能说洛必达法则失效；(3)若()lim()xafxgx仍属00型，且()fx，()gx能满足定理中f(x)和g(x)所要满足的条件，则可继续上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院7使用法则.此时，()()()limlimlim,()()()xaxaxafxfxfxgxgxgx且可以此类推.(4)由于数列不是连续函数，因此，求数列极限时，不能直接使用洛必达法则.但可先将数列改为相应的函数后，再用洛必达法则求．上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院8(5)定理中xa换为,xa之一,条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.例1求0sinlim.xxx解00sin(sin)limlimxxxxxx0coslim1.1xx上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院9例2求01lim.xxex解001(1)limlimxxxxeexx0lim1.1xxe例3求320sinlim.sincosxxxxx解如果直接用洛必达法则,那么分母的导数较繁．若与其他求极限的方法结合使用,往往上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院10能使运算简捷.由于0x时，33sinxx．而cos1x,则32300sinsinlimlimsincosxxxxxxxxx2001cossinlimlim36xxxxxx1.6上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院11定理2.2.2(00型未定式的洛必达法则Ⅱ)若函数f(x)和g(x)满足下述条件:(1)lim()lim()0;xxfxgx(2)存在正数N，当|x|N时，()fx与()gx均存在且()0;gx()(3)lim()xafxFx存在(或为),上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院12则有()()limlim.()()xxfxfxgxgx型未定式定理2.2.3(型未定式的洛必达法则Ⅰ)若函数f(x)和g(x)满足下述条件:二、上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院131)当xa时，()fx和()gx均趋向无穷大；2)在点a的某个去心邻域内，()fx与()gx均存在且()0gx；()3)lim()xafxFx存在(或为),则有()()limlim.()()xaxafxfxgxgx说明：(1)如果将xa改为x，即可得型未定式的洛必达法则Ⅱ.上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院14(2)定理中xa换为之一,条件(2)作相应的修改,定理仍然成立.,xa,xa,xx,x例4求解原式11limxnxnx1limnxnx0.上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院15例5求2lnlim.nnn分析此为数列极限,不能直接用洛必达法则,应转化为函数极限.解因为212lnlnlimlim1xxxxxxln2limxxxl2lim0,xx上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院16所以2lnlim0.nnn例6求0lncotlim.lnxxx解200lncottancsclimlim1lnxxxxxxx20tanlimsinxxxx222(tan,sin)xxxxx220lim1.xxx上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院171．0型未定式可化为00型或型未定式．例7求0limcot.xxx解00limcotlimtanxxxxxx201lim1.secxx例8求0limln.xxx解00lnlimlnlim1xxxxxx0021limlim0.1xxxxx三、其它未定式上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院18例9求1limlnln(1).xxx解11ln(1)limlnln(1)lim1lnxxxxxx21121ln1limlim11lnxxxxxxxx21ln2lnlim0.1xxx上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院190,.0,型通常用通分的方法化为若直接不能通分可采用有理化,变量代换等方法.2．型未定式经过通分可化为00，型未定式．例22lim()limxxxxxxxxx上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院20例10求2201lim(cot).xxx解22222220x01sincoslim(cot)limsinxxxxxxxx40(sincos)(sincos)limxxxxxxxx30sincossincoslimxxxxxxxxx20coscossin2lim3xxxxxx2.3上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院21例11求21lim[ln(1)].xxxx解令1,xt则x时，0t．因此220111lim[ln(1)]lim[ln(1)]xtxxtxtt20ln(1)limtttt0111lim2ttt011lim.2(1)2tt上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院223．1，00，0型未定式()[()]vxux基本思路()ln()vxuxe转化例12求sin0lim.xxx00型解令sinxyx，两边取对数得lnsinlnyxx则()[()]vxyuxln()ln()yvxux取对数上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院23000lnlimlnlimsinlnlimcscxxxxyxxx001sintanlimlimcsccotxxxxxxxx0,因为ln,yye则0limln00lim1,xyxyee即sin0lim1.xxx上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院24例13求21lim(sincos).xxxx1型解令1,xt则x时，0t．因此1021lim(sincos)lim(sin2cos)xtxtttxx1ln(sin2cos)0limtttte0ln(sin2cos)limtttte02cos2sinlim2sin2cos.tttttee上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院25例14求1lim(1).xxx解0型11ln(1)lim(1)limxxxxxxeln(1)limxxxe1lim1xxe01.e上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院26注意：洛必达法则是求未定式的一种方法，当()lim()xafxgx不存在时（不为无穷大），不能断定()lim()xafxgx是否存在．如:例15求201sinlim.sinxxxx00型解如用洛必达法则，上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院27220011sin(sin)limlimsin(sin)xxxxxxxx0112sincoslim,cosxxxxx由于01lim2sin0,xxx0limcos1xx而01limcosxx不存在，因此201(sin)lim(sin)xxxx不存在．上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院28但是201sinlimsinxxxx存在.事实上2001sin1limlimsin0sinsinxxxxxxxxx上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院29四、小结洛必达法则000,1,型型0型00型型1gffg1111gfgffggyf令取对数上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院30作业上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院31洛必达(1661–1704)法国数学家,他著有《无穷小分析》(1696),并在该书中提出了求未定式极限的方法,后人将其命名为“洛必达法的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“最速降线”问题,在他去世后的1720年出版了他的关于圆锥曲线的书.则”.他在15岁时就解决了帕斯卡提出