电子科技大学2016数值分析研究生期末考试

1/15Ex2.对于二元方程G(x，y)=0，已知（x0，y0）满足方程。如果在点x0附近有函数y=y(x)，则根据隐函数存在定理，对于接近于x0的自变量x，试构造牛顿迭代法计算隐函数值的迭代格式。《数值分析》复习题Ex1.证明方程1–x–sinx=0在区间[0，1]上有一根。使用二分法求误差不大于0.5×10-4的根需二分多少次？Ex3.各主要迭代法的收敛性如何？极小化方法的等价性是怎么回事？2/15)()()()(111nnnnnnnxfxfxfxxxxEx3.确定求解方程f(x)=0的割线法计算公式(n=0,1,2,·····)Ex4.证明矩阵A的谱半径与A的范数有如下关系ρ(A)≤||A||其中，||A||为A的任何一种算子范数。的收敛阶1'Ex5.()0(),,()(0).()kkkkfxmamZfxxxmkfx若方程有重根证明牛顿迭代法是线性收敛的而改用修改的格式是局部平方收敛的3/154/153231532223522121A7554544354324321BEx7.对下列矩阵做LU分解3332112121Ex8.求上三角(下三角)矩阵的条件数10111221215/15Ex9.对任意x，y∈Rn，利用向量范数的三角形不等式证明：||||||||||||yxyxEx10.常用的插值法有哪些，特点是什么?几种插值法的关系怎么样？Ex11.拟合的基本思想、插值、拟合、函数逼近三者的区别的联系？6/154444''44(),(0)0,(1)1,(2)1,(0)0,(1)1,HermiteHxHHHHH试构造一个不高于4次的插值多项式使Ex12.其满足条件EX13.已知f(x)=ex的数据点如下：（1）用x1,x2,x3构造二次Lagrange插值多项式L2(x)，并计算e1.5的近似值L2(1.5)。（2）用事后误差估计方法估计L2(1.5)的误差。xi0123exi12.71837.389120.08557/15Ex14.求经过A(0，1)，B(1，2)，C(2，3)三个样点的插值多项式Ex15.已知函数y=f(x)的数据如下表x–101y-101y’0确定三次插值多项式P3(x)及其插值误差R(x)210)4(3)])([(!4)()()()(xxxxfxHxfxREx16.求证:两点Hermite插值的误差8/15Ex17．已知函数f(x)在三个相异结点x0，x1，x2，处的函数值y0，y1，y2，且函数在点x1处的导数值为m1，推导三次插值多项式P(x)及其插值余项R(x)的表达式.Ex18.已知实验数据如下：x1234y10305080求二次多项式拟合函数P(x)=a+bx2Ex19利用数据表t–2–1012yyk-2yk-1ykyk+1yk+2求线性拟合函数P(t)=a0+a1t的常数项系数a0。9/15返回0101,,,,,,,,imimbxxxxxyyyyxae已知数据表用公式s()Ex2=拟合所给数0.据。Ex21.推导左矩形求积公式2)(2)()()()(abfafabdxxfbaEx22.求复合中矩形公式的截断误差10))5.0(()(njbahjafhdxxf10/15Ex23.取h=(b–a)/3，令x0=a，xj=a+jh（j=0，1，2，3）。利用两点插值公式求下面开型数值求积公式的系数A1、A2)()()(2211xfAxfAdxxfbaEx24.给定积分当要求误差小于10-3时用复合梯形公式计算时,需要计算多少次函数值？dxxex31sinEx25.验证，复合梯形公式与复合Simpson公式之间有如下关系21[4]3mmmSTT11/15Ex27将积分上限函数xdttxxf022)exp()exp()(转化为常微分方程初值问题。并确定一种可求解的二阶方法Ex26.试推导数值微分公式)]2()(8)(8)2([121)(00000hxfhxfhxfhxfhxf的截断误差。12/15第一章思考题1.在科学计算中，一般误差的来源有几种？列出部分数值分析课中主要讨论误差。2.有效数字的概念是如何抽象而来的，简单给予叙述3.什么样的算法被称为是不稳定的算法？试举一个例子说明第二章思考题1.二分法收敛定理对于迭代数列的误差是如何估计的？2.牛顿迭代法和割线法各有什么特点？3.描述将牛顿迭代法推广到二元非线性方程组求解问题的算法，以手机定位问题为例子，写出数学描述和求解方法。13/15第三章思考题第四章思考题1.高斯消元法消元过程的目标是什么？消元过程需用多少次乘除法？有何数学理论支持2.解三对角方程组的消元过程有何特点？3.矩阵的范数和向量的范数有何联系，条件数是如何定义的1.解线性方程组的迭代法有何特点？它与解方程组的直接法有何不同？2.解线性方程组的迭代法收敛定理对迭代产生的向量序列的误差是如何估计的？3.迭代法求解线性方程组的本质是什么？14/15第五章思考题第六章思考题1.代数插值问题的存在唯一性定理是如何叙述的2.拉格朗日插值和牛顿插值方法各有何特点？3.Runge反例主要说明一个什么样的问题？1.多项式拟合与代数插值问题有何差异？拟合函数有何特点？2.曲线拟合的最小二乘法有何特点？3.求一个超定方程组的最小二乘解有哪些主要方法？15/15第七章思考题第八章思考题1.插值型求积公式有何特点？2.复合梯形公式有何特点？3.高斯型求积公式是如何构造的？1.求解常微分方程的数值方法有几种主要方法，列出主要几种，它们各有何特点？2.求常微分方程初值问题的数值求解公式的局部截断误差指什么？3.如何用龙格-库塔方法求解高阶常微分方程(组)初值问题?