线性规划解题技巧

xyo人教A版高三数学总复习课件钟祥市实验中学罗毅邮编：431900线性规划解题技巧【教学目标】1.复习线性规划的约束条件、目标函数、可行解、可行域以及最优解等基本概念；2.掌握解线性规划问题的步骤，理解线性规划问题的图解法，并能求解一些比较复杂的目标函数.【教学重点】准确求得线性规划问题的最优解.【教学难点】【教学方法】演绎法、讨论法.运用图解法解决比较复杂的线性规划问题.设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件，求ｚ的最大值和最小值.分析:将z＝2ｘ+ｙ变形为斜率为-2的直线在y轴上的截距.则直线l：2ｘ+ｙ=z是一组与l0平行的直线,故直线l可通过平移直线l0而得，当直线往右上方平移时z逐渐增大：当l过点(-1,-1)时,z最小,即zmin=-3；当l过点(2,-1)时,z最大,即zmax=3.作直线l0：2ｘ+ｙ=0,ｙ＝-2ｘ+z，则z几何意义是(2,-1){x-y≥0x+y-1≤0y≥-1复习引入y=-1x-y=0x+y=12x+y=0(-1,-1)xy0)21,21(解：作出可行域如图：最优解：使目标函数达到最大值线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程.目标函数：欲求最值的关于x、y的一次解析式.线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值.可行解：满足线性约束条件的解（x，y）.可行域：所有可行解组成的集合.设Z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件，求Z的最大值和最小值.y=-1x-y=0x+y=12x+y=0(-1,-1)(2,-1)xy0)21,21({x-y≥0x+y-1≤0y≥-1有关概念或最小值的可行解.解线性规划问题的步骤2.在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；3.通过解方程组求出最优解；4.作出答案.1.画出线性约束条件所表示的可行域；画移求答BCxyox－4y=－33x+5y=25x=1Ａ例1设z＝2x－y,式中变量x、y满足条件,3x+5y≤25x－4y≤－3x≥1解：作出可行域如图：当z=0时，设直线l0：2x－y＝0,由得A点坐标_____；x－4y＝－33x＋5y＝25由得C点坐标_______；x=13x＋5y＝25∴zmax＝2×5－2＝8,zmin＝2×1－4.4＝－2.4.(5,2)(5,2)(1,4.4)(1,4.4)平移l0，平移l0，(5,2)2x－y＝0(1,4.4)(5,2)(1,4.4)例题分析求ｚ的最大值和最小值.-z为直线y=2x-z在y轴上的截距.分析：将z=2x-y变形为y=2x-z，当l0经过可行域上点A时，-z最小，即z最大；当l0经过可行域上点C时，-z最大，即z最小.例2已知x、y满足，设z＝ax＋y(a0)，若ｚ取得最大值时，对应点有无数个，求a的值.3x+5y≤25x－4y≤－3x≥1例题分析分析：将z=ax+y变形为y=-ax+z3x+5y=25xyox-4y=-3x=1CBＡ解：当直线l：y=-ax+z点使函数值取得最大值，此与直线AC重合时，有无数个可有,lACkk53∵kAC＝,kl=-a,3.5a即例3满足线性约束条件的可行域中共有多少个整数解？在哪个整数点Z=3x+y取最大值？x+4y≤113x+2≤10x0y01223314455xy03x+２y=10x+4y=11解：由题意得可行域如图：由图知满足约束条件的可行域中的整点为(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)，故有四个整点可行解.例题分析3x+y=0Z=3x+y在（2，2）取得最大值，最大值为8.例题分析X+2y=0xyX=2X-y+2=0X+y-2=0C(2,4)B(2,0)A(0,2)omax22+4=8Z.当z=0时，x+2y=0，向来越大，当经过可行域上的点右上方平移的时候，z的值越C时取最大值.（1）解：作出不等式组表示的可行域：的最大值；的最小值；的范围.例4已知，求：20202xyxyx22122=132ZxyZxyyZx例题分析（2）将22Zxy变形为2200Zxy其几何意义是一点到原点距离的平方，则z的最小值为可行域中的点到原点距离的最小值的平方.2min22002211Z.解：作出可行域如图：xyX=2X-y+2=0X+y-2=0C(2,4)B(2,0)A(0,2)o的最大值；的最小值；的范围.例4已知，求：20202xyxyx22122=132ZxyZxyyZxD(-2,-1)例题分析解：作出可行域如图：（3）将12yZx变形为12yZx其几何意义是一点到定点（-2，-1）的斜率，则z的范围是可行域中的点到定点（-2，-1）的斜率的范围.minmax012113.224022ZZ，xyX=2X-y+2=0X+y-2=0C(2,4)B(2,0)A(0,2)o13,42Z.的最大值；的最小值；的范围.例4已知，求：20202xyxyx22122=132ZxyZxyyZx巩固练习解：（1），线段BC上的点都是最优解；max2Z2min2212014512Z为点（-1，0）到直线AB的距离；（2）maxmin1333403414ZZ，0,4Z（3）.设S为平面上以A（3，-1）、B（-1，1）、C(1，3)为顶点的Zyx（2）求的最小值；221Zxy34yZx三角形区域（含三角形内部及边界），若点（x,y）在区域S上变动,（1）求的最大值，并指出其解；（3）求的范围.D(4,3)(-1,0)-1A(3,-1)B(-1,1)C(1,3)23344xy0-1112y=x小结1.图解法求线性规划问题的基本步骤：2.求线性目标函数的最优解，主要注意分析目标函数所表示的几何意义；3.线性目标函数的最大值和最小值一般在可行域的顶点或边界上取得.画移求答；课后作业1.已知，求z=2x+y的最大值.11－＋yyxxy2.已知,求z=|x-4y+1|的最小值.1255334xyxyx3.已知，求：35x11535yxyyx－＋＋22132=21132ZxyZxyyZx的最大值；的最小值；的范围.