2018年各地高考数学文科分类汇编――导函数

（全国1卷6）答案：（全国1卷21）答案：（全国2卷13）曲线2lnyx在点(1,0)处的切线方程为__________．答案：（全国2卷21）已知函数321()(1)3fxxaxx．（1）若3a，求()fx的单调区间；（2）证明：()fx只有一个零点．答案：（1）当a=3时，f（x）=3213333xxx，f′（x）=263xx．令f′（x）=0解得x=323或x=323．当x∈（–∞，323）∪（323，+∞）时，f′（x）0；当x∈（323，323）时，f′（x）0．故f（x）在（–∞，323），（323，+∞）单调递增，在（323，323）单调递减．（2）由于210xx，所以()0fx等价于32301xaxx．设()gx=3231xaxx，则g′（x）=2222(23)(1)xxxxx≥0，仅当x=0时g′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．又f（3a–1）=22111626()0366aaa，f（3a+1）=103，故f（x）有一个零点．综上，f（x）只有一个零点．【注】因为211()(1)(13)33fxxxxa，22131()024xxx，所以1(13)03fa，2(23)(1)0faxx．综上，f（x）只有一个零点．（全国3卷9）答案：D（全国3卷21）答案：（北京卷19）设函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.（天津卷10）()ln,()()(1)xfxexfxfxf已知函数为的导函数，则的值为.答案：e解析：'1()(ln)xfxexx=+()'1fe=（天津卷20）（20）本小题满分14分设函数123()()()()fxxtxtxt，其中123,,tttR，且123,,ttt是公差为d的等差数列。（I）若201t，d，求曲线()yfx在点（0,f(0))处的切线方程；（II）若3d，求()fx的极值；（III）若曲线()yfx与直线2()63yxt有三个互异的公共点，求d的取值范围。答案：（I）解：由已知，可得3()(1)(1)fxxxxxx，故2'()31fxx，因此，(0)0,'(0)1ff，又因为曲线()yfx在点（0,f(0))处的切线方程为(0)'(0)(0)yffx，故所求切线方程为0xy.（II）解：由已知可得33223222222222()=3)()(3)=)9()3(39)9fxxtxtxtxtxtxtxtxtt（（故2222'()3639fxxtxt.令'()0fx，解得23,xt或23xt当x变化时，(),'()fxfx的变化情况如下表x2(,3)t23t22(3,3)tt23t2(3,)t'()fx+0—0+()fx极大值极小值所以函数()fx的极大值为32(3)(3)9(3)63ft；函数()fx的极小值为32(+3)(3)9(3)63ft(III)曲线()yfx与直线2()63yxt有三个互异的公共点等价于关于x的方程2222()=)()()+()63=0fxxtdxtxtdxt（有三个互异的实数解。令2uxt,可得32(1)630udu.设函数32()(1)63gxudu，则曲线()yfx与直线2()63yxt有三个互异的公共点等价于函数()ygx有三个零点。22'()3(1)gxxd当21d≤时，'()0gx≥，这时(gx）在R上单调递增，不合题意。当21d＞时，令'()0gx，解得221211,33ddxx易得，(gx）在1)（-，x上单调递增,在12[,]xx上单调递减，在2(,)x上单调递增。(gx）的极大值32221123(1)()[]63093ddgxg＞(gx）的极小值32222123(1)()[]6393ddgxg若2(gx）≥0，由(gx）的单调性可知函数()ygx至多有两个零点，不合题意。若2()0gx＜，即322(1)27d＞，也就是||10d＞，此时2||d＞x，(||)||630gdd＞，且12||dx＜，3(2||)6||2||636210630gddd＜，从而由(gx）的单调性，可知函数()ygx在区间1122),(,),(,||)dxxxxd（-2||,内各有一个零点，符合题意。所以，d的取值范围是1010+（-,-）（，）.