误差处理与数据处理

北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制Δx–测量误差x–测量结果x0–真值定义：测量结果与其真值的差异真值：被测量的客观真实值0xxx理论真值：理论上存在、计算推导出来如：三角形内角和180°约定真值：国际上公认的最高基准值如：基准米1m=1650763.73λ(氪-86的能级跃迁在真空中的辐射波长)相对真值：利用高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真值标准仪器的测量标准差1/3测量系统标准差→检定定性概念，定量表示§14.1.1测量误差的定义北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制绝对误差是示值与被测量真值之间的差值。设被测量的真值为A0，器具的标称值或示值为x，则绝对误差为0AxxAxx§14.1.2测量误差的表示绝对误差由于一般无法求得真值A0，在实际应用时常用精度高一级的标准器具的示值，即实际值A代替真值A0。x与A之差称为测量器具的示值误差，记为通常以此值来代表绝对误差。北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制相对误差是绝对误差与被测量的约定值之比。相对误差有以下表现形式：%AxA100%xxx100%xxmm100相对误差①实际相对误差：绝对误差Δx与被测量的实际值A的百分比。②示值相对误差：绝对误差Δx与测量器具的示值x的百分比。③满度（引用）相对误差：绝对误差△x与器具满度值xm之比,是应用最多的误差表示方法。§14.1.2测量误差的表示北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制§14.1.3测量误差的来源电路：电源波动、元件老化、漂移、电气噪声（1）原理误差：测量原理和方法本身存在缺陷和偏差近似：理论分析与实际情况差异。如：非线性比较小时可以近似为线性假设：理论上成立、实际中不成立。如：误差因素互不相关方法：测量方法存在错误或不足。如：采样频率低、测量基准错误（2）装置误差：测量仪器、设备、装置导致的测量误差机械：零件材料性能变化、配合间隙变化、传动比变化、蠕变、空程北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制（3）环境误差：测量环境、条件引起的测量误差空气温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，气流扰动(4)使用误差：读数误差、违规操作§14.1.3测量误差的来源北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制§14.1.4测量误差的性质与分类(1)随机误差(randomerror)正态分布性质：原因：装置误差、环境误差、使用误差处理：统计分析、计算处理→减小对称性单峰性有界性抵偿性次数统计绝对值相等的正负误差出现的次数相等绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多偶然误差绝对值不会超过一定程度当测量次数足够多时，偶然误差算术平均值趋于0北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制随机事例的例子彩票摇奖(1)随机误差(randomerror)§14.1.4测量误差的性质与分类北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制性质：有规律，可再现，可以预测原因：原理误差、方法误差、环境误差、使用误差处理：理论分析、实验验证→修正夏天摆钟变慢的原因是什么？(2)系统误差(systemerror)§14.1.4测量误差的性质与分类北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制性质：偶然出现，误差很大，异常数据与有用数据混在一起原因：测量人员的粗心大意及电子测量仪器受到突然而强大的干扰所引起处理：判断、剔除(3)粗大误差(abnormalerror)§14.1.4测量误差的性质与分类北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制精密度(precision)：概念：重复测量时，测量结果的分散性表述：随机误差的标准差(standarddeviation)准确度(accuracy)：性质：测量结果与真值的接近程度，系统误差的影响程度表述：平均值与真值的偏差(deviation)精确度(正确度)：性质：系统误差和随机误差综合影响程度表述：不确定度(uncertainty)工程表示：引用误差，最大允许误差相对于仪表测量范围地百分数0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0七级minmaxmaxxxA§14.1.5测量精度北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制精度：测量结果与真值吻合程度定性概念测量精度举例准确不精密不精密不准确精密不准确精密准确§14.1.5测量精度北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制•算术平均值法•异常数据剔除•最小二乘法•函数误差§14.2数据处理一般方法北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制表述：式中x1,x2,…xn——测量数据原理：多次重复测量时，取全部测量数据的算术平均值为测量结果niinxnnxxxx1211xxi真值ix性质：(1)残余误差的代数和等于零，即算术平均值法可以滤除或减小偶然误差(2)残余误差的平方和为最小最小二乘法基础0vmin2v残余误差iv随机误差i§14.2.1算术平均值法北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制随机误差的评定（关键求出σ的大小）求标准偏差σ的理论公式Llnniiniin1222221关键:L—未知1、标准偏差§14.2.1算术平均值法北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制估算σBessel公式：实测数据的标准偏差S（标准不确定度）112nniis1、标准偏差§14.2.1算术平均值法北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制2、随机误差的极限误差3limx3、求算术平均值的实验标准偏差nssL§14.2.1算术平均值法北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制22221efy4、随机误差服从正态分布22221Llelfy随机误差测量值σ：标准偏差，反映测量结果的分散性L：真值§14.2.1算术平均值法北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制为概率。，令讨论zz:%.%..%..99.7399730z23459595450z22276868270z2，，，当§14.2.1算术平均值法北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制5、系统误差的消除定值系统误差：用“修正表”方法消除用“抵消法”方法消除变值系统误差：线性变化系统误差—对称法消除周期性变化误差—半周期法消除§14.2.1算术平均值法北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制说明：(1)测量误差为随机变量，且符合正态分布(2)真值必然处于一个有限的范围原理：当测量结果超出正常范围时，给予剔除准则：测量数据与算术平均值的偏差大于标准差的3倍(3)此法只适合于测量数据大于10个的情况3xxi概率95.4%2xxi概率99.73%，即±3σ以外的概率为0.27%3xxi3σ准则(莱以特准则)§14.2.2异常数据剔除北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制数据处理过程♫发现和消除系统误差♫求算术平均值♫求“残差”及标准偏差♫判别和消除粗大误差♫求算术平均值的标准偏差♫写出测量结果§14.2.2异常数据剔除北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制计算举例§14.2.2异常数据剔除北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制算术平均值的标准误差：x分组重复多次测量，以每组算术平均值作为处理数据算术平均值法§14.2.2异常数据剔除北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制•直线拟合→一元线性回归方程•曲线拟合→一元非线性回归方程•多项式回归→多元线性回归••••••••§14.2.3最小二乘法北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制一元线性回归方程拟合直线形式：实际测量值与回归值之差：tytyˆttttbxbyyy0ˆty与偏差平方和：tyˆ因min),(0bbQ0)(20)(210100tNtttNtttxbxbybQbxbybQ正规方程ttbxby0ˆNtttNtttbxbyyybbQ120120)()ˆ(),(§14.2.3最小二乘法北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制解正规方程得：xbybllbxxxy0NtNtNtNtxyNtNtNtxxyxNxyyyxxlxNxxxl111121121211其中：NtNtyNyxNx1111一元线性回归方程§14.2.3最小二乘法北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制•曲线问题直线问题（变量代换）•回归曲线回归多项式步骤：(1)确定函数的类型（如双曲线、指数曲线、对数曲线等…）(2)求解相关函数中的未知参数举例:指数曲线bxaey一元线性回归方程§14.2.3最小二乘法北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制酚含量x0.0050.0100.0200.0300.0400.050吸光度y0.0200.0460.1000.1200.1400.180x..yˆ....aˆ...bˆ...nxx./...nyxyx.y,.x,.yxn.y,.x.yx.y,.xniiiiiiiiiiii40301300130025804031010403001500051000150615500055000510660601550020800789,0005001560101,00258002080606,01550622222回归方程：故则，解：例题§14.2.3最小二乘法北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制某位移传感器在校准时测得的数据如下表，若该传感器的线性表达式为，试用最小二乘法，计算和。naax10210iixnaa0a1a脉冲数ni1020304050位移值xi0.10.20.30.40.5一元线性回归方程§14.2.3最小二乘法北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制(1)基本公式),...,,(21nxxxfynndxxfdxxfdxxfdy...2211函数误差其中：idx各直接测量值的误差ixf各个误差的传递函数§14.2.4函数误差计算北京工业大学机电学院胥永刚胥永刚胥永刚制(2)计算系统误差nnxxfxxfxxfy...2211偶然误差各量间相互独立注：nx,...,x,x21212ixniiyxy§14.2.4函数误差计算