高一数学必修一 集合与函数概念

第一章集合与函数概念1.1集合1.2函数及其表示1.3函数的基本性质1.1集合数学中常用的数集及其记法自然数的集合，记作N。正整数的集合，记作N﹡或N+。全体整数的集合，记作Z。全体有理数的集合，记作Q。全体实数的集合，记作R。1.1.1集合的定义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。一个给定集合中的元素是互不相同的，不重复出现。只要构成两个集合的元素是一样的，我们就说这两个集合是相等的，和顺序是无关的。1.1.2集合与元素的关系注：通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示集合，用小写的拉丁字母a，b，c…表示集合中的元素。如果a是集合的A的元素，就说a属于A，记作a∈A；如果a不是集合的A的元素，就说a不属于A，记作a∈A；集合中元素的特征：确定性；互异性；无序性。小于10的所有自然数组成的集合；方程X2=X的所有实数根组成的集合；像这样把集合中的元素一一列举出来，并用花括号{}括起来的表示集合的方法叫做列举法。（有限集）不等式X-73的解集；D={X∈R|X10}用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。（无限集）1.1.3集合的表示方法上节回顾1.集合的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。（通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示集合，用小写的拉丁字母a，b，c…表示集合中的元素。）2.常用的数集及其记法自然数的集合，记作N。正整数的集合，记作N﹡或N+。全体整数的集合，记作Z。全体有理数的集合，记作Q。全体实数的集合，记作R。一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作:Φ3.元素与集合的关系：属于∈；不属于∉。如果a是集合的A的元素，就说a属于A，记作a∈A；如果a不是集合的A的元素，就说a不属于A，记作a∉A；4.集合中元素的特征：确定性；互异性；无序性。5.集合的表示方法：列举法，描述法。1.1.2集合间的基本关系A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}1.包含关系：一般地，集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，集合A叫做集合B的子集，记作：A⊆B或B⊇A,读作：“A包含于B”或“B包含A”。【Venn图表示（用封闭曲线的内部代表集合）】规定：空集是任何集合的子集，Φ⊆A（空集是不含有任何元素的集合）如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作：AB或BA读作：“A真包含于B”，或“B真包含A”。空集是任何非空集合的真子集。设C={X|X是两条边相等的三角形}，D={X|X是等腰三角形}2.集合相等：一般地,集合A的每一个元素都是集合B的元素,反过来,集合B的每一个元素也都是集合A的元素,那么我们就说集合A等于集合B,记作：A=B注解：构成两个集合的元素完全一样。若A⊆B且B⊇A，则称A等于B，记作A=B；若A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集。由集合之间的关系，可以得到下列结论：（1）任何一个集合是他本身的子集，即A⊆A；（2）对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C,则A⊆C；注：子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.1.1.3集合的基本运算A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6}一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集记作A∪B(读作A并B),即A∪B={x|x∈A,或X∈B}Venn图表示(Venn图是用平面上的封闭曲线的内部代表集合)1.并集A⊆(A∪B),B⊆(A∪B),A∪A=A,A∪Φ=A,A∪B=B∪A,2.交集A={2,4,6},B={1,6,8,9},C={6}一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集.记作：A∩B读作：“A交B”即：A∩B={x|∈A，且x∈B}交集的Venn图表示(A∩B)⊆A,(A∩B)⊆B,A∩A=A,A∩Φ=ΦA∩B=B∩A3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作：CUA即：CUA={x|x∈U,且x∉A}补集的Venn图表示(x-2)(x2-3)=0的解集，在有理数的范围内的解{x∈Q|(x-2)(x2-3)=0}={2},在实数范围内有三个解：2，即{x∈R|(x-2)(x2-3)=0}={2,},3,33,3CUU=Φ,CUΦ=U,A∪(CUA)=U,A∩(CUA)=ΦCU(CUA)=A,CU(A∩B)=CUA∪CUB,CU(A∪B)=CUA∩CUB1.2函数及其表示对课本上的例子进行分析，你能得出什么？1.2.1函数的概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。值域是集合B的子集。A中元素无剩余，一对一或多对一，B中科有余。构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）注意：1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.y=tanx中，x≠k∏+∏/2,(k∈z)(5)指数为零底不可以等于零，(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(7)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(8)函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.研究函数常会用到区间的概念区间的分类：(1)开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．1.解析法:根据自变量求出对应的函数值，便于研究函数的性质。2.列表法：不比计算机会知道自变量取某些值时函数的对应值。3.图像法：直观形象的表示函数值的变化情况。1.2.2函数的表示方法分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A→B”1、理解函数单调性的本质内容和函数单调性的几何意义；2、掌握判断函数单调性的判断方法：定义法和图象法；3、熟练的掌握用定义法证明函数单调性及其步骤.