叶中豪平面几何讲座1

高中平面几何(上海教育出版社叶中豪)知识要点知识要点知识要点知识要点三角形的特殊点重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat点，Napoleon点，Brocard点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线特殊直线、圆Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆，Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆特殊三角形中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形，第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形相关直线及相关三角形Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形重心坐标和三线坐标四边形和四点形质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线完全四边形Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理重要轨迹平方差，平方和，Apollonius圆三角形和四边形中的共轭关系等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线几何变换及相似理论平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心MiquelMiquelMiquelMiquel定理内接三角形，外接三角形，Miquel点根轴圆幂，根轴，共轴圆系，极限点反演反演，分式线性变换（正定向和反定向）配极极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点射影几何点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性，Pappus定理，Desargues定理，Pascal定理，Brianchon定理著名定理三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P’tolemy定理，Menelaus定理，Ceva定理，Stewart定理，Euler线，Fermat-Torricelli问题，Fagnano-Schwarz问题，Newton线，Miquel定理，Simson线，Steiner定理，九点圆，Feuerbach定理，Napoleon定理，蝴蝶定理，Morley定理，Mannheim定理例题和习题例题和习题例题和习题例题和习题1．已知：ABCD是圆外切四边形，内切圆心O在对角线BD上射影为M。求证：∠AMD＝∠CMD。（09010703.gsp）CCCCAAAAMMMMDDDDBBBBOOOO2．在ΔABC中AC＞BC，F是AB的中点，过F作它的外接圆直径DE，使得C、E在AB同一侧，又过C做AB的平行线交DE于L。求证：(AC+BC)2＝4DL×EF。（09011003.gsp）LLLLDDDDEEEEOOOOFFFFCCCCAAAABBBB3．已知：P是垂直ABC外接圆BC弧上任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥CA于E，PF⊥AB于F。求证：(BC/PD)＝(AC/PE)+(AB/PF)。（09012201-7.1.gsp）FFFFEEEEDDDDAAAABBBBCCCCPPPP4．已知△ABC内接于⊙O，弦AB的垂直平分线PO与AB、AC分别交于M、N，与弧AB相交于点D，与BC的延长线交于点P，以OP为直径作圆与⊙O的另一个交点为G。求证：GN⊥DP。（09012202.gsp）GGGGDDDDPPPPNNNNOOOOMMMMAAAABBBBCCCC5．如图，设D是△ABC外接圆BAC弧上的任意一点，D点在BC中垂线上的射影为E。△ADE、△BDE、△CDE的垂心分别为Ha、Hb、Hc。求证：HaE平分∠HbHaHc。（09012203.gsp）HHHHaaaaHHHHbbbbHHHHccccEEEEBBBBCCCCAAAADDDD6．三角形ABC的内切圆⊙Ｉ切三边BC、AC、AB于点D、E、F，AD和⊙Ｉ相交于M，DF上有点N，使得DCMN四点共圆，CN交AB于G。求证：CD＝3GF。（09012602.gsp）GGGGNNNNMMMMEEEEDDDDFFFFIIIIAAAABBBBCCCC7．给定△ABC。点D、E在直线AB上，顺次为D、A、B、E，AD＝AC，BE=BC。∠A、∠B的平分线分别交BC、AC于P、Q，交△ABC外接圆于M和N。A与△BME外心的联线及B与△AND外心的联线交于点X。求证：CX⊥PQ。（09012901.gsp）OOOO2222OOOO1111MMMMNNNNQQQQPPPPEEEEDDDDAAAABBBBCCCC8．矩形ABCD中，AB＝AC。P是以为AB直径的半圆上任意一点，PC、PD2分别交AB于F、E。求证：AE2＋BF2＝AB2。（09013001.gsp）EEEEFFFFDDDDCCCCAAAABBBBPPPP9．如图，△ABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆分别与AB、AC交于E、F两点，圆在E、F两点的切线交于点D。求证：DM⊥BC。（09013101.gsp）DDDDFFFFEEEEMMMMAAAABBBBCCCC10．△ABC中，∠A＝60°，I为△ABC的内心，过I做IE∥AC交AB于E。在BC上取一点D，使得CD=2BD。求证：∠B＝2∠DEB。（09020201.gsp）60°60°60°60°DDDDEEEEIIIIAAAABBBBCCCC11．设⊙O1与⊙O2交于C、D。过D的直线交⊙O1与⊙O2于A、B。点P在弧AD上，PD与AC的延长线交于M，Q在弧BD上，QD与BC的延长线交于N，O为△ABC外心。求证：MN⊥OD是P、Q、M、N四点共圆的充要条件。（09020401.gsp）OOOOMMMMNNNNBBBBDDDDOOOO1111CCCCOOOO2222AAAAPPPPQQQQ12．如图，设N是△ABC的BAC弧中点，M是BC边中点，I是△ABC的内心。求证：∠ANI＝2∠IMC。（09021701.gsp）NNNNIIIIMMMMAAAABBBBCCCC13．如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D、E、F各点，AD交内切圆于X，在AD上截取DY＝AX，联结YB、YC分别交内切圆于P、Q。求证：FP∥EQ∥AD。（09021801.gsp）QQQQPPPPYYYYXXXXDDDDEEEEFFFFAAAABBBBCCCC14．已知⊙O1与⊙O2交于C、D两点，A、B分别是两圆上的点，满足PA＝PB，E、F是弧AQ、BQ中点。求证：C、D、E、F四点共圆。（09022001.gsp）FFFFEEEEDDDDCCCCQQQQBBBBOOOO1111PPPPOOOO2222AAAA15．已知：⊙O两切线PA、PB和一割线PCD，AD、AP交C处的切线于E、F，BE交DF于K。求证：K在圆O上。（09022201.gsp）KKKKFFFFEEEEDDDDAAAABBBBOOOOCCCCPPPP16．已知：AD是高，O、H是外心和垂心，过D作OD垂线，交AC于E。求证：∠DHE=∠C。（09022202.gsp）HHHHEEEEOOOODDDDAAAABBBBCCCC17．过⊙O外一点A做其切线AB、AC，在AB延长线上取一点D，△ACD的外接圆和圆O交于另一点P，Q是B到CD的垂足。求证：∠DPQ=2∠ADC。（09022203.gsp）PPPPQQQQBBBBCCCCOOOOAAAADDDD18．已知：在△OAB与△OCD中，OA=OB，OC=OD，直线AB与CD交于点P，△PAC与△PBD的外接圆交于P、Q两点。求证：OQ⊥PQ。（09022301.gsp）QQQQPPPPOOOOAAAACCCCBBBBDDDD19．已知：D、E、F是△ABC各边中点，I、U、V是内心与顶点联线与内切圆的交点。求证：DT、EU、FV三线共点。（09022601.gsp）FFFFEEEEDDDDUUUUVVVVTTTTIIIIAAAABBBBCCCC20．平面上有四个点A1、A2、A3、A4，其中任意三个点都不在一条直线上。并且它们满足：A1A2×A3A4＝A1A3×A2A4＝A1A4×A2A3。对于任意｛i，j，k，l｝＝｛1，2，3，4｝，我们设Oi为△AjAkAl的外心。若对于1≤i≤4均有Ai≠Oi，证明：四条直线AiOi平行或共点。（09030602.gsp）OOOO2222OOOO1111OOOO3333OOOO4444AAAA4444AAAA1111AAAA2222AAAA333321．（2004年IMO）已知：P是四边形ABCD内的一点，满足∠1=∠2，∠3=∠4。求证：PB=PD的充要条件是ABCD内接于圆。（09030801.gsp）2222111144443333PPPPAAAABBBBDDDDCCCC22．已知，D是△ABC底边BC上任一点，P是形内一点，满足∠1=∠2，∠3=∠4。求证：(PB/PC)=(AB/AC)。（09030801.gsp）4444333322221111PPPPAAAABBBBCCCCDDDD23．在四边形ABCD内取点M，使得ABMD是平行四边形。求证：如果∠CBM＝∠CDM，则∠ACD＝∠BCM。（09031001.gsp）MMMMBBBBAAAADDDDCCCC24．P为圆外一点，PA、PD为切线，PCE为割线。过D作PA的平行线，分别与AC延长线及线段AE交于B、F。求证：D为BF中点。（09031302.gsp）FFFFBBBBCCCCDDDDAAAAOOOOPPPPEEEE25．如图2，⊙O切△ABC的边AB于点D，切边AC于点C，M是边BC上一点，AM交CD于点N．求证：M是BC中点的充要条件是ON⊥BC。（09031302.gsp）NNNNMMMMDDDDCCCCOOOOAAAABBBB26．已知矩形ABCD外接于正三角形AEF。求证：S△ABE+S△ADF＝S△CEF。（09031401.gsp）BBBBDDDDAAAAEEEEFFFFCCCC27．已知△ABC和任意直线d，自A、B、C作d的垂线，垂足分别为A′、B′、C′；再自A′、B′、C′分别作对边BC、CA、AB的垂线，设这三条垂线共点于H。在d上任取一个动点M，自M作d的垂线，分别交AB、AC所在直线于K、L。在线段BK、CL及HA′延长线上分别取分点P、Q、X，满足(BP/PK)=(CQ/QL)=(HA′/A′X)。求证：XM⊥PQ。。（09031602.gsp）ddddHHHHC'C'C'C'B'B'B'B'XXXXA'A'A'A'QQQQPPPPLLLLKKKKAAAABBBBCCCCMMMM28．△ABC中，AD为边BC上的中线，E、F、G分别为AB、AC、AD上的点，且A、E、G、F四点共圆。设△BDE外心为O1、半径为r1；△CDF外心为O2、半径为r2。求证：GO12＋GO22＝r12＋r22。（09031401.gsp）OOOO2222OOOO1111GGGGFFFFEEEEDDDDAAAABBBBCCCC29．ABCD是圆外切四边形，M、N、P、Q分别是AB、BC、CD、DA的切点，MQ⊥MJ，J在PN上，MN⊥MI，I在PQ上。求证：AI平行于BJ。（09031901.gsp）IIIIJJJJDDDDCCCCBBBBAAAAOOOOQQQQMMMMNNNNPPPP30．设X是P点的Simson线关于△ABC的垂极点。求证：XP被Simson线所平分。（09031903.gsp）XXXXFFFFEEEEDDDDAAAABBBBCCCCPPPP31．在凸四边形ABCD中，∠DCA与∠CDB的外角平分线分别是边CB与DA，E、F分别为AC、BD的延长线上的点，且C、E、F、D四点共圆。平面上的一点P使得DA是∠PDE的外角平分线，CB是∠PC