[原创]2012年《高考风向标》高考文科数学一轮复习 第九章 第5讲 数列的通项公式 [配套课件]

第5讲数列的通项公式数列通项的常用方法(1)利用观察法求数列的通项．(2)利用公式法求数列的通项：①an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2；②等差数列{an}公式、等比数列{an}公式．(3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项：①an＋1＝an＋f(n)；②an＋1＝anf(n)．(4)构造等差、等比数列求通项：①an＋1＝pan＋q；②an＋1＝pan＋qn；③an＋1＝pan＋f(n)；④an＋2＝p·an＋1＋q·an.1．已知点An(n，an)(n∈N*)都在函数y＝ax(a0，a≠1)的图像上，则a3＋a7与2a5的大小关系是()A．a3＋a7＞2a5B．a3＋a7＜2a5C．a3＋a7＝2a5D．a3＋a7与2a5的大小与a有关2．已知等差数列{an}的前三项分别为a－1,2a＋1，a＋7，则这个数列的通项公式为_________.Aan＝4n－33．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则an=___.2n13122解析：方法一：∵a2＝a1q＝2a6＝a1q5＝162⇒q4＝81，∴a10＝a1q9＝a6q4＝162×81＝13122.方法二：∵2,6,10为等差数列，∴a2、a6、a10为等比数列，∴a2·a10＝a26⇒a10＝a26a2＝16222＝13122.5．数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an2＋an(n∈N*)，则{an}的通项an＝________.21n4．已知{an}为等比数列，a2＝2，a6＝162，则a10＝______.考点1应用迭加(迭乘、迭代)法求通项例1：(1)已知数列{an}中，a1＝2，an＝an-1＋2n－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式；(2)已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，Sn＝n2·an，求数列{an}的通项公式．解题思路：(1)已知关系式an＋1＝an＋f(n)，可利用迭加法或迭代法．(2)已知关系式an＋1＝an·f(n)，可利用迭乘法．解析：(1)方法一：(迭加法)∵a1＝2，an＝an－1＋2n－1(n≥2)，∴an－an－1＝2n－1.∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－1)＋(2n－3)＋(2n－5)＋…＋5＋3＋1＝n2n－1＋12＝n2.方法二：(迭代法)∵a1＝2，an＝an－1＋2n－1(n≥2)，∴an＝an－1＋2n－1＝an－2＋2(n－1)＋2n－1＝an－3＋2(n－2)＋2(n－1)＋2n－1…＝1＋3＋5＋…＋2(n－2)＋2(n－1)＋2n－1＝n2，∴an＝n2.(2)∵a1＝1，Sn＝n2·an，∴当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2an－1，∴an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1⇒anan－1＝n－1n＋1.∴an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a3a2·a2a1·a1＝n－1n＋1·n－2n·n－3n－1·…·24·13·1＝2nn＋1.(1)迭加法适用于求递推关系形如“an＋1＝an＋f(n)”，迭乘法适用于求递推关系形如“an＋1＝an·f(n)”．(2)迭加法、迭乘法公式：①an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1；②an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a3a2·a2a1·a1.【互动探究】1．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1·an＝0(n∈N*)，则数列{an}的通项an＝____.1n解析：由(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0得，(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0，a2＋1≠0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，∴nan＝1×a1＝1，an＝1n.考点2应用通项求参数例2：若数列{an}中，an＝2n＋3n，且数列{an+1－pan}为等比数列，则p的值.解析：∵数列{an＋1－pan}为等比数列，∴(an＋1－pan)2＝(an－pan－1)(an＋2－pan＋1)，将an＝2n＋3n代入上式并整理，得(2－p)(3－p)×2n×3n＝0，∴p＝2或p＝3.若数列{an}是等比数列，求参数p的值，可以采用下列两种方法：(1)利用a2n＋1＝anan＋2对任意正整数n恒成【互动探究】2．已知函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)的导函数f′(x)＝－2x＋7，数列{an}的前n项和为Sn，点Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图像上．求数列{an}的通项公式．解：∵f(x)＝ax2＋bx(b≠0)，∴f′(x)＝2ax＋b，由f′(x)＝－2x＋7，得：a＝－1，b＝7，所以f(x)＝－x2+7.又∵点Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图像上，立．(2)利用＝a1a3得关于p的方程求出p后，再证明数列{an}是等比数列．若数列{an}是等差数列，也有类似的结论．22a错源：使用公式an＝Sn－Sn-1时未注意n≥2的条件例3：已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，Sn＝2an+1－1.求数列{an}的通项公式．∴有Sn＝－n2＋7n，当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋8，∴an＝－2n＋8(n∈N*)．综上，an＝－2n＋8(n∈N*)．误解分析：解本题易出现的错误就是：(1)使用公式an＝Sn-Sn-1时未注意n≥2的条件．(2)对等比数列概念认识不够，只要式子an+1an＝q成立，就认为是等比数列．(3)数列{an}的首项为a2时，仍然认为an是第n项．正解：由Sn＝2an＋1－1，得Sn－1＝2an－1，则an＝2an＋1－2an，∴an＋1an＝32(n≥2)．而a1＝1，Sn＝2an＋1－1，得a2＝1，a2a1＝1≠32，∴数列{an}从第二项起是等比数列，故有an＝1×(32)n－2(n≥2)，∴an＝1n＝132n－2n≥2纠错反思：(1)求数列的通项公式要特别注意数列的首项，分清是第几项.(2)得到的结论Sn-1=2an-1只有在n≥2的条件下才能成立.(3)当n≥2时，1nnaa=32成立，数列{an}不一定是等比数列.(4)正确利用数列的概念及公式解题.【互动探究】3．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.a1、a2、…、a11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a1、a2、…、a11是等差数列，则数列a1、a2、…、a11的公差的最大值为10－4610.解析：圆心坐标为C(3,4)，半径为5，圆的弦长的最小值和最大值分别是46和10，数列a1、a2、…、a11的公差的最大值为10－4610.例4：已知数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，对任意的n≥2,3Sn－4，an,2－32Sn－1总成等差数列．(1)求a2、a3、a4的值；(2)求通项公式an.解析：(1)当n≥2时，3Sn－4，an,2－32Sn－1成等差数列，∴2an＝3Sn－4＋2－32Sn－1，∴an＝3Sn－4(n≥2)．由a1＝1，得a2＝3(1＋a2)－4，∴a2＝12，a3＝31＋12＋a3－4，∴a3＝－14，a4＝31＋12－14＋a4－4，∴a4＝18.∴a2＝12，a3＝－14，a4＝18.(2)∵当n≥2时，an＝3Sn－4，∴3Sn＝an＋4，∴3Sn＝an＋43Sn＋1＝an＋1＋4，可得：3an＋1＝an＋1－an，∴an＋1an＝－12，∴a2、a3、…、an成等比数列，【互动探究】∴an＝a2·qn－2＝12·－12n－2＝－－12n－1，∴an＝1n＝1－－12n－1n≥2.4．已知由正数组成的两个数列{an}，{bn}，如果an、an＋1是关于x的方程x2－2b2nx＋anbnbn＋1＝0的两根.(1)求证：{bn}为等差数列；(2)已知a1＝2，a2＝6，分别求数列{an}，{bn}的通项公式．解：(1)由an、an＋1是关于x的方程x2－2b2nx＋anbnbn＋1＝0的两根得an＋an＋1＝2b2n，anan＋1＝anbnbn＋1，∴2b2n＝bn－1bn＋bnbn＋1.∵bn0，∴2bn＝bn－1＋bn＋1(n1)，∴{bn}是等差数列．(2)由(1)知2b21＝a1＋a2＝8，∴b1＝2，∵a2＝b1b2，∴b2＝3，∴bn＝n＋1，∴bn－1＝n，an＝bn－1bn＝n(n＋1)(n1)．又a1＝2符合上式，∴an＝n(n＋1)．求数列通项常用数学思想有：(1)转化与化归思想．(2)整体(换元)思想．(3)方程思想．