[原创]2012年《高考风向标》高考文科数学一轮复习 第六章 第3讲 三角函数的图像与性质 [配套课

第3讲三角函数的图像与性质1.三角函数和其它函数一样，重点研究它的解析式、六条性质、图像、应用．这是整个复习过程的一条主线．这六条性质是：______________________________________________.2．研究三角函数问题的基本数学思想方法转化：例如将函数y＝Asin(ωx＋φ)问题转化为问________题．类比：三角函数是函数，注意用普通的函数的思想方法解定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性正弦函数通常取________________五个值．决三角函数问题．另外，要注意一些基本方法的类比．数形结合：用好三角函数的图像、三角函数线，有利于问题的快速解决．3．五点法作y＝Asin(ωx＋φ)的简图时，设X＝ωx＋φ，则X4．研究函数y＝Asinx＋Bcosx的性质时，先要进行的变换是_________．0、π2、π、3π2、2π合一变换DA．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数C1．函数y＝cosπ2－2x是()2．函数y＝sinx2的图像的一条对称轴的方程是()A．x＝0B．x＝π2C．x＝πD．x＝2πDkπ(k∈Z)kπ＋π2(k∈Z)3．函数y＝cosx的一个单调递增区间为()A.－π2，π2B．(0，π)C.π2，3π2D．(π，2π)4．如果函数f(x)＝sin(x＋θ)是奇函数，则常数θ的值为-____________；如果函数f(x)＝sin(x＋θ)是偶函数，则常数θ的值为________________．图6－3－1125．如图6－3－1，已知函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形(阴影部分)，现向长方形ABCD内任投一个质点，则此质点落在阴影部分的概率为____.解析：把y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像和x轴围成的封闭的平面图形(在x轴下方)的部分割去，补到x轴上方，这时，恰它的面好补成一个长为2π、宽为2的矩形，这个矩形的面积是4π，故阴影部分的面积为4π.而长方形ABCD的面积为8π，故所求的概率为4π8π＝12.考点1三角函数的性质例1：已知函数f(x)＝sinx＋sinx＋π2，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最大值和最小值；(3)若f(α)＝34，求sin2α的值．解题思路：将函数表达式化简为f(x)＝Msin(ωx＋φ)＋k的形式，应用f(x)＝Msin(ωx＋φ)＋k的图像和性质解决问题．解析：f(x)＝sinx＋sinx＋π2＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4.(1)f(x)的最小正周期为T＝2π1＝2π；(2)f(x)的最大值为2，此时，x＝2kπ＋π4(k∈Z)；最小值－2，此时，x＝2kπ－3π4(k∈Z)；【互动探究】1．已知函数y＝2sinxcosx－2(sinx＋cosx)＋.(1)设t＝sinx＋cosx，t为何值时，函数y取得最小值；(2)若函数y的最小值为1，试求a的值．(3)因为f(α)＝34，即sinα＋cosα＝34⇒2sinαcosα＝－716，即sin2α＝－716.研究函数的性质问题，先要把函数解析式化简为正弦型或余弦型函数，通过正弦型或余弦型函数来解决问题．a2考点2三角函数的图像解：(1)∵t＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4，∴－2≤t≤2，∵t2＝1＋2sinxcosx，∴2sinxcosx＝t2－1.∴y＝t2－1－2t＋a2＝(t－1)2＋a2－2.∵－2≤t≤2，∴当t＝1时，函数y取得最小值a2－2.(2)∵a2－2＝1，∴a＝±3.例2：关于x的方程3sin2x＋cos2x＝k在0，π2内有两个不同的实数根，求实数k的取值范围．解题思路：转化为函数y＝3sin2x＋cos2x和函数y＝k的图像有两个公共点问题．解析：函数y＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，设2x＋π6＝t，∵0≤x≤π2，∴π6≤2x＋π6≤7π6，则转化为函数y＝2sint(π6≤t≤7π6)与函数y＝k的图像有两个公共点问题，观察它们的图像，如图6－3－2得，k的取值范围为1≤k＜2.图6－3－2方程有解问题，一般可转化为根的分布问题、函数图像问题、函数的值域问题．2．如图6－3－3，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.(1)求这段时间的最大温差；【互动探究】(2)写出这段曲线的函数解析式．图6－3－3解：(1)由图像可知，这段时间的最大温差是30－10＝20(℃)．(2)图中从6时至14时的图像是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的错源：忽略对参数的讨论半个周期的图像，∴12×2πω＝14－6,ω＝π8，A＝12(30－10)＝10，b＝12(30＋10)＝20，这时y＝10sinπ8x＋φ＋20，将x＝6，y＝10代入，取φ＝3π4，∴y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14].例3：已知函数f(x)＝2acos2x＋3asin2x＋a2(a∈R，a≠0且为常数)．(1)若x∈R，求f(x)的最小正周期；(2)若x∈R时，f(x)的最大值等于4，求a的值．误解分析：对于形如f(x)＝A＋Bsinx，若B0时，f(x)的最大值是A＋B；若B0时，f(x)的最大值是A－B.不少学生考虑问题不周到，忽略对参数的讨论，出现错误．学生认为2asin2x＋π6＋a2＋a的最大值为2a＋a2＋a＝4，解出a＝1.正解：(1)f(x)＝a(1＋cos2x)＋3asin2x＋a2＝2asin2x＋π6＋a2＋a，∴最小正周期为π.(2)依题意得a02a＋a2＋a＝4或a0－2a＋a2＋a＝4.解得a＝1或a＝1－172.∴a的取值为a＝1或a＝1－172.【互动探究】3．f(x)＝2sinxcosx＋cos2x－12，0≤x≤π，当方程f(x)＝a有两个不相等实根x1、x2时，求实数a的取值范围．解：f(x)＝212sin2x＋1＋cos2x2－12＝22(sin2x＋cos2x)＝sin2x＋π4，在同一坐标系内作出y＝sin2x＋π4(0≤x≤π)与y＝a的图像知：当f(x)＝a有两不等实根时a∈－1，22∪22，1.(1)求电流I的最小正周期T和频率f；(2)设t≥0，求电流I的最大值和最小值，并指出I第一次达到最大值和最小值时的t值．例4：设有同频率的两个正弦电流I1＝3sin100πt＋π3，I2＝sin100πt－π6，把它们合成后，得到电流I＝I1＋I2.解析：(1)∵I＝I1＋I2＝3sin100πt＋π3＋sin100πt－π6＝3cosπ6－100πt＋sin100πt－π6＝3cos100πt－π6＋sin100πt－π6＝2sin100πt＋π6，∴电流I的最小正周期T＝2π100π＝150，频率f＝1T＝50.(2)由(1)当100πt＋π6＝π2＋2kπ，即t＝k5＋1300，k∈N时，Imax＝2；当100πt＋π6＝3π2＋2kπ，即t＝k50＋175，k∈N时，Imin＝－2.而t≥0，∴I第一次达到最大值时，t＝1300；I第一次达到最小值时，t＝175.【互动探究】4．已知向量a＝(sinθ，cosθ)与b＝(3，1)，其中θ∈0，π2.(1)若a∥b，求sinθ和cosθ的值；(2)若f(θ)＝(a＋b)2，求f(θ)的值域．解：(1)∵a∥b，∴sinθ·1－3cosθ＝0，得tanθ＝3.又∵θ∈0，π2，∴θ＝π3，sinθ＝32，cosθ＝12；(2)f(θ)＝(sinθ＋3)2＋(cosθ＋1)2＝23sinθ＋2cosθ＋5＝4sinθ＋π6＋5，又∵θ∈0，π2，θ＋π6∈π6，2π3，12sinθ＋π4≤1,7f(θ)≤9，即函数f(θ)的值域为(7,9]．1．作函数的图像时，首先要确定函数的定义域．2．对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图像时只要作出一个周期的图像，就可根据周期性作出整个函数的图像．