数学史概论

第二讲：古希腊数学古希腊的变迁公元前6－前4世纪末公元前11世纪－前9世纪：希腊各部落进入爱琴地区公元前9－前6世纪：希腊各城邦先后形成亚历山大后期：公元前30－公元640年西罗马帝国：公元395－476年东罗马帝国：公元395－1453年（610年改称拜占廷帝国）公元前11世纪－前6世纪亚历山大前期：公元前4世纪末－前30年(希腊化时期)罗马帝国：公元前27－公元395年希腊时期亚历山大时期波希战争（前499－前449）伯罗奔尼撒战争（前431－前404）马其顿帝国：前6世纪－前323年（前337年希腊各城邦承认马其顿的霸主地位，前334－前323亚历山大东征）前48－前30年凯撒、屋大维侵占埃及公元640年阿拉伯人焚毁亚历山大城藏书公元330年君士坦丁大帝迁都拜占廷（一）论证数学的发端（1）泰勒斯（约625-547B.C.）证明四条定理；泰勒斯定理:半圆上的圆周角是直角；预报日蚀(585B.C.)；测量金字塔的高等。希腊数学一般指从公元前600年至公元600年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。泰勒斯他是一位圣贤，又是一位天文学家，在日月星辰的王国里，他顶天立地、万古流芳。（2）毕达哥拉斯（约580-500B.C.）萨摩斯岛—克洛托内毕达哥拉斯定理(勾股定理);正多面体;黄金分割;“万物皆数”；不可公度量。abbaPlutarch(约46--120)的面积证明法bababccaaca毕达哥拉斯定理：毕达哥拉斯，约前580｜前500正多面体作图五种正多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。五种正多面体的作图都与毕达哥拉斯学派有关，前三种归功于毕氏学派，后两种为毕氏学派晚期学生所作。正十二面体由正五边形围成。正五边形的作图与著名的“黄金分割”问题有关。黄金分割毕达哥拉斯学派的形数●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●“万物皆数”仅指整数，对数进行分类，分数被看成两个整数之比。定义了完全数（即因数之和等于该数，如6,28等）、过剩数（即因数之和大于该数）、不足数（即因数之和小于该数）亲和数（即a是b的因数之和，b也是a的因数之和，最小的一对亲和数为220和284）等三角形数：N=1+2+3+…+n=n(n+1)/2;正方形数：N=1+3+5+7+….+(2n-1);五边形数：N=1+4+7+….+(3n-2)=n(3n-1)/2;六边形数：N=1+5+9+….+(4n-3)=2n2-n.这是一些等差数列。可以推广到三维空间去构造多面体数。“形数”体现了数与形结合的思想。数形结合的另一个典型例子:(m2-1)/2,m,(m2+1)/2(m为奇整数)给出的毕达哥拉斯三元数组，它们分别表示一个直角三角形的两条直角边和斜边，与勾股定理密切相关。这一公式未能给出全部毕达哥拉斯数组。不可公度量(无理数的发现)第一次数学危机任何量都可以表示成两个整数之比。在几何上就是：对于任何两条给定的线段，总能找到第三条线段，以它为单位能将给定的线段划分为整数段。希腊人称这两条线段为“可公度量”，意即为有公共的度量单位。2是一个不可公度的数希帕苏斯Hippasus(公元前470年左右）112222bacabc勾股定理导致了无理量的发现.假设直角三角形是等腰的,直角边是1，那么弦是，它不可能用任何的“数”(有理数)表示出来，即直角边与弦是不可通约的．2无理数的发现222yxzx22224yz222zyx、y均为偶数yx2x、y互素（3）雅典时期•伊利亚学派代表人物：芝诺；主要贡献：芝诺悖论•巧辩学派代表人物：希比阿斯(Hippias,c.BC.460)、安提丰(Antiphon,c.BC.480--BC.411),布里松主要贡献：三大几何作图问题•柏拉图学派(雅典学院)代表人物：柏拉图(Plato,BC.427-BC.347)、梅内赫莫斯(Menaechmus)、蒂诺斯特拉图斯(Dinostratus)、欧多克斯(Eudoxus,c.BC.408--BC.347)主要贡献：倡导逻辑演绎结构•亚里斯多德学派(吕园学派)代表人物：亚里士多德(Aritotle,BC.383-BC.322)欧多谟斯主要贡献：倡导逻辑演绎结构。数学的理论化倾向1、三大几何作图问题：化圆为方:即作一个与给定的圆面积相等的正方形安纳萨哥拉斯(约BC.500--BC.428)希波克拉底：解决了化月牙形为方安提芬：首先提出用圆内接正多边形逼近圆面积的方法来化圆为方。他从圆内接正方形开始，将边数逐次加倍，并一直进行下去，则随着圆面积的逐渐“穷竭”，将得到一个边长极其微小的内接正多边形。1882林德曼π的超越性。化圆为方、倍立方、三等分任意角。问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。倍立方:即求一个立方体,使其体积等于已知立方体的两倍希波克拉底:对问题的简化是问题的关键进展.指出倍立方问题可以化为求一线段与它的二倍长线段之间的双重比例中项问题,即：梅内赫莫斯:圆锥曲线的发现(约360B.C.)；双重比例中项关系等价于方程：332axayyxxa2:::三等分角:即分任意角为三等分西比阿斯：发明“割圆曲线”.如果这种曲线能够作出，那么它不但能够三等分角，而且可以任意等分角，并且也可以用来化圆为方。•1837年法国数学家旺泽尔(P.L.Wantzel)在代数方程论基础上证明了倍立方和三等分角不可能用尺规作图。2、无限性概念的早期探索芝诺（约公元前490－前430）悖论：（1）两分法（2）阿基里斯（3）飞箭不动（4）运动场问题芝诺Zeno③飞箭静止说，每一瞬间箭总在一个确定的位置上，因此它是不动的。芝诺悖论:飞矢不动ts,时刻t运动场问题，芝诺论证了时间和它的一半相等。注：前两个悖论针对于事物无限可分的观点，而后两个则矛头直指不可分无限小量的思想。德莫克里特(Democritus，约公元前460—357)：原子论学派的创始人．数学家、哲学家。关于物理、气象、动物和控学的著作丰富，流传下来的很少．他到过东方旅行，在埃及住过．认为万物的始源只有两个：原子与虚空．“原子”(atom,拉丁文是不可分割的思)是不可分的物质粒子，永远处于运动状态之中．在数学方面，德设克利特应用了原子的观点．他认为线段、面积和立体，是由有限个不可再分的原子构成的．计算体积就等于将这些原子集合起来．3、逻辑演绎推理的倡导柏拉图学院:“不懂几何者莫入”分析法和归谬法亚里斯多德学派三段论推理反证法:矛盾律,排中律拉斐尔·圣齐奥(1483-1520)所绘油画《雅典学派》Aristotle亚里士多德，古希腊著名哲学家、自然科学家，西方文艺理论的真正奠基者。公元前384年生于爱琴海北岸的哈尔基迪凯半岛上的达吉罗斯，其父是马其顿国王阿明塔斯二世的御医。母亲法伊斯提来自优卑亚岛的哈尔基斯。亚里士多德早年丧父，由监护人“抚养”。17岁赴雅典就读于柏拉图的“学园”，受教20年。为学员中出类拔萃者。柏拉图去世后，亚里士多德曾受马其顿王之聘，教育太子亚历山大。回雅典后，亚里士多德在吕刻翁自立学园，专心教育和著述，经常在走廊边走边讲授，后世称他的弟子为“逍遥学派”。恩格斯称他是古代“最博学的人”。（二）亚历山大时期（1）欧几里得(约300B.C.前后)（2）阿基米德(287-212B.C.)（3）阿波罗尼奥斯(约262-190B.C.)欧几里得的《几何原本》是一部划时代的著作。其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成宏伟的大厦。《几何原本》体现了这种精神，它对整个数学的发展产生深远的影响。阿基米德是物理学家兼数学家，他善于将抽象的理论和工程技术的具体应用结合起来，又在实践中洞察事物的本质，通过严格的论证，使经验事实上升为理论。他根据力学原理去探求解决面积和体积问题，已经包含积分学的初步思想。阿波罗尼奥斯的主要贡献是对圆锥曲线的深入研究。欧几里得，约公元前300欧几里得原本历史上第一个公理体系13卷119条定义5条公理,5条公设465条定理几何学无王者之道现存著作：《原本》、《数据》、《论剖分》、《现象》、《光学》和《镜面反射》等。失传著作：《圆锥曲线》、《衍论》、《曲面轨迹》、《辩伪术》等。“原本”的希腊文原意是指一个学科中最重要的定理公设：1.从任意一点到任意一点可作一直线；2.线段可任意延长；3.以任意中心和直径可以作圆；4.凡直角都彼此相等；5.若一条直线与两直线相交，所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。公理：1.等于同量的量彼此相等；2.等量加等量，和相等；3.等量减等量，差相等；4.彼此重合的图形是全等的；5.整体大于部分。卷I,II,III,IV及VI:平面几何基本内容卷V:比例论无理量引起的麻烦之回避卷VII,VIII,IX:数论卷X:不可公度量分类卷XI,XII,XIII:立体几何穷竭法(卷XII)ba比例的定义：设A,B,C,D是任意四个量,其中A和B同类(即均为线段、角或面积等),C和D同类.如果对于任何两个正整数m和n,关系mAnB是否成立,相应地取决于关系mCnD是否成立,则称A与B之比等于C与D之比,即四量A,B,C,D成比例.比例论举例定理:如果两个三角形的高相等,则它们的面积之比等于两底长之比比例定义：A，B；C，D对任何正整数m和n，关系mAnB↔mCnDBmC=m(BC)，△ABmC=m(△ABC)；DEn=n(DE)，△ADEn=n(△ADE)。由已证明的结果,可知△ABmC△AEnD↔BmCEnD也就是说m(△ABC)n(△AED)↔m(BC)n(ED)据比例定义，有△ABC:△ADE＝BC:DE穷竭法举例卷XII命题2:圆与圆之比等于其直径平方之比(A)圆的面积可以用内接正多边形面积“穷竭”(正8边形面积–正4边形面积)1/2(圆面积–正4边形面积)(B)反证法矛盾矛盾必有22//DdAa22//DdAa22//DdAa勾股定理的证明1482第一个拉丁文印刷本(威尼斯)1607中译本几何原本(徐光启,利玛窦)缺陷:(1)某些定义借助于直观或含混不清；(2)公理系统不完备.阿基米德，公元前287｜前212（1）阿基米德的著作《抛物线求积法》：研究了曲线图形求积的问题，并用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。”他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。《球与圆柱》：熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球大圆面积的四倍；球的体积是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径。阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积和体积的。在这部著作中，他还提出了著名的“阿基米德公理”。32《圆的度量》:利用圆的外切与内接96边形，求得圆周率π为：＜π＜，这是数学史上最早的、明确指出误差限度的π值。他还证明了圆面积等于以圆周长为底、半径为高的正三角形的面积；使用的是穷举法。10371227《浮体》：是流体静力学的第一部专著，阿基米德把数学推理成功地运用于分析浮体的平衡上，并用数学公式表示浮体平衡的规律。《论锥型体与球型体》：讲的是确定由抛物线和双曲线其轴旋转而成的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的球型体的体积。《平面的平衡》：是关于力学的最早的科学论著，讲的是确定平面图形和立体图形的重心问题。《论螺线》：是阿基米德对数学的出色贡献。他明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。在同一著作中，阿基米德还导出几何