第6讲博弈论连续策略

博弈论GameTheory蔡树彬[e-mail]13510646162（66162）科技楼14062第6讲连续策略3古诺模型产量q价格P=8-Q88成本c=2供需曲线：实际上应为一个曲线4如果没有对手的产量（垄断）•利润u=收入-成本•=价格×数量-单位成本×数量•=P*q-cq•=(8-q)*q-2q=-q^2+6q•厂商：找到产量q，使得u最大•求导：-2q+6=0q=3，此时价格为5，利润为9.•为什么这时候不继续生产？生产得多了，供应增加，价格会下跌，利润反而下降了•比如q=4，此时价格为4，利润为85如果不考虑对手的产量（自由竞争）•应该生产多少？生产到不亏不赚为止•(8-q)*q=2q•q=6，此时价格为2，利润为6•为什么产量不是3？此时价格为5，比成本（2）高，生产还是有利可图的，所以会有其他厂商加大生产（或者有其他领域的厂商来生产），还不如自己加大生产•这时候，再生产已经无利可图•哪怕市场上只有一家企业，只要其他企业有进入这个市场的可能，就会形成自由竞争6考虑对手的产量•假定对手的产量为q2•则我的利润=收入-成本•=（8-Q）*q1-2*q1=(8-q1-q2)*q1-2q1•=6q1-q1q2-q1^2•最大化利润，得到•最佳应对函数7厂商1最希望对手生产多少？Nash均衡在哪里？q1q2QPR1R23035902.513.54.56.252.52244441.534.53.52.254.51453140.555.52.50.252.50662008反应函数ResponseFunction9双方完全理性•我考虑对手的产量选择，对手也会考虑我的产量选择•均衡为（2，2）•此时每个厂商生产q=2•市场Q=4•价格P=4•利润，每个厂商=4，总共为810合谋垄断及囚徒困境•垄断产量为3，垄断价格为5，垄断利润为9•假定两个厂商协商各自生产1.5，平分利润，此时市场价格为5，每个厂商得到4.5•但是每个厂商都会试图突破产量限制以获取更高的利润（OPEC），结果大家的利润都降低了11不同情况下的均衡点产量q价格P=8-Q88成本c=2垄断：产量3，价格5，利润9双寡头垄断：产量4，价格4，利润8自由竞争：产量6，价格2，利润612垄断的坏处•双寡头垄断比垄断好•自由竞争比双寡头垄断好•中石油中石化•电信联通移动•肯德基麦当劳•可口可乐百事•耐克阿迪•尼康佳能13禁止合谋•垄断的坏处：–产量降低、价格升高、–短缺（垄断商甚至不会去追求最大利润）•在美国，禁止合谋和垄断–肯德基和麦当劳老总一般不能一起开会商量价格–微软的Windows垄断–Google收购Moto是否构成垄断？–At&T被分拆•在中国，到处都是垄断–电信联通移动：都是一个爹–中石油中石化–校园的餐厅：•为什么吃饭的人多反而不高兴？垄断，员工没有得到好处•如果是自由竞争，人越多越高兴。扩大生产、延长时间，多招员工等手段•在世界，也是合谋垄断–波音、空客、麦道和中国的故事–铁矿石和稀土的故事14古诺模型中的补充•如何在古诺模型中获取更多的益处？•合谋—垄断（可信的承诺或者威胁）•收购对手（美国大豆）•非理性–（疯子公司，我行我素，从来不考虑别人，此时疯子公司生产多少能得到最大益处？假定对方是理性的）–3，收益为4.5，高于4–对方只能生产1.5，why对方不多生产？•先下手为强–首先生产3•信息告知–我们今年要生产3，被间谍偷了过去–有时候信息多了，选择的结果反而差了–还不如不知道–建一个产量为3的工厂15伯特兰德模型•厂商定价而不是定产量•如果商品完全替代，价格低的一方将通吃，价格高的一方完全卖不出去•策略：商品无法完全替代，差异化竞争–电脑市场：伯特兰德模型市场中有两个厂商进行价格竞争。厂商1的价格为p1。厂商2的价格为p2。厂商1的生产成本函数为：C(q1)=cq1。其中c为厂商1的边际成本，且假设厂商1的生产没有固定成本。类似的，厂商2的生产成本函数为：C(q2)=cq2。厂商1和厂商2通过选择各自的最优价格达到各自利润最大化的目标。•当厂商1产品的价格大于厂商2产品的价格时，消费者会购买厂商2的产品，对厂商1产品的消费量为零。•当厂商1产品的价格小于厂商2产品的价格时，消费者会购买厂商1的产品，对厂商2产品的消费量为零。•当厂商1产品的价格等于厂商2产品的价格时，消费者会同时消费厂商1和厂商2的产品。•因此伯特兰德寡头博弈的均衡为：**12ppc•伯特兰德寡头博弈的均衡是一个纳什均衡。•这是因为：当厂商2的价格满足时，•厂商1的最优策略选择是使得自己的定价满足•如果厂商1的定价高于c，则厂商1会失去整个市场；•如果厂商1的定价低于c，则厂商1会亏损。•因此当厂商2的定价等于c时，厂商1的最优定价策略是使得价格等于c。•类似的，当厂商1的价格等于c时，厂商2的最优定价策略也是使得价格等于c。*2pc*1pc公共地悲剧•问题描述–考虑一个有n个农民的村庄共同拥有一片草地，每个农民都有在草地上放牧的自由。每年春天，每个农民要决定自己养多少只羊。用gi∈[0,∞)代表第i个农民饲养的数量，i=1,…,n，G=∑gi表示n个农民饲养的总数量，v代表每只羊的平均价值。–一个重要的假设是v是G的函数，v=v(G)。因为每只羊至少要一定数量的草才不至于饿死，因此有一个最大的存活量Gmax。公共地悲剧•问题描述•当GGmax时，v(G)0;当G≥Gmax时，v(G)=0。–当草地上的羊很少时，增加一只羊也许不会对其他羊的价值有太大的不利影响，但随着饲养量的不断增加，每只羊的价值会急剧下降，因此假定：0,022GvGv可用右图描述这个特征0,022GvGvGmaxGv每只羊的价值随饲养总量的增加而下降曲线公共地悲剧公共地悲剧–整个社会的最优化饲养量，用G*表示，为cGGvGG**)(*max*一阶最优化条件为0)(')(***cGvGGv•均衡分析–在该博弈中，每个农民的问题是选择gi以最大化自己的利润。假定购买一只羊羔的价格为c，那么利润函数为nicggvggggijinii,...,2,1,)(),...,,...,(1公共地悲剧nicGvgGvgiii,...2,1,0)(')(公共地悲剧–最优化一阶条件为该式表明，对于每个农民来说，增加一只羊有正负两方面效用…将上面n个式子相加，再同时除以n，得0)('1)(cGGvnGv公共地悲剧比较上面两个式子，可推出GG*.0)('1)(cGGvnGv0)(')(***cGvGGv[反证法]假设G≤G*,那么由于v’＜0，因此v(G)≥v(G*)。类似的，由于v’’＜0,又可推出v’(G)≥v’(G*)。另外，从G≤G*还可推出G/nG*。于是上面第一式子左端严格小于第二式左端。但这是不可能的，因为两个式子均等于0。因此必有GG*公共地悲剧•3户人，v=100-（q1+q2+q3），成本=4•收益函数1=q1*(100-(q1+q2+q3))-4q1•=96q1-(q2+q3)q1-q1^2•反应函数q1=R1(q2,q3)=48-(q2+q3)/2•均衡q1*=q2*=q3*=24，得到收益576•总收益576×3=1728•考虑整体，Q(100-Q)-4Q时的最优Q=48，总收益2304