多项式,高次方程,复数

数学竞赛1第四讲多项式、高次方程与复数多项式问题，就内容来说，常涉及到多项式的恒等，多项式的运算，整值多项式，多项式的根，多项式的公因式，因式分解，多元多项式等.一、一元多项式先从一个实际试题谈起.例1.计算4444444444(10324)(22324)(34324)(46324)(58324)(4324)(16324)(28324)(40324)(52324)解：仔细观察各括号中的式子，都具有的形式，而4()324faa422221818218aaa222(18)(6)aa22(618)(618)aaaa2()(6)(()618)qaqaqaaa命4a,18,10,16,22,…,58,则原式(10)(22)(34)(46)(58)(4)(16)(28)(40)(52)ffffffffff(10)(16)(22)(28)(58)(64)(4)(10)(16)(22)(58)qqqqqqqqqqq(64)3730373(14)10qq.例2.以(1)x的方幂表示232xx.解设2232(1)(1)xxAxBxC，于是2232(2)()xxAxBAxABC比较恒等式两端同类项的系数，得A=1,2A+B=3,A-B+C=2.解之，得A=1,B=5,C=6.于是2232(1)5(1)6xxxx.例3.求多项式()fx被()()xaxb除的余式.解因为除式是二次多项式，所以余式最多是一次二项式.设(()()()()fxQxxaxbAxB令,xaxb，分别可得(),()faAabfbAbB.可此可得数学竞赛2()()()(),fafbbfaafbABabba于是所求余式为()()()()fafbbfaafbxabba例4.试将多项式432()1fxxxxx表示为两个不同次数的实系数多项式的平方差的形式.分析：可以预见到()fx有形式：222()()()(0)fxxaxbcxdc.想一想为什么？解：设4322221()()xxxxxaxbcxd432222(2)xaxabcx22(22)()abcdxbd.其中abcd、、、是待定系数，且0c.由多项式的恒等定理得方程组22221,2121,21,221,5,21.0.aababcabcdcbdd故21()12uxxx，5()2vxx是一个解，其余三个解为：(),();(),();(),()uxvxuxvxuxvx.二、多元多项式多元多项式有多种类型，一般可分为齐次多项式和非齐次多项式两大类.如果对n元多项式12(,,,)nfxxx的变数字母的下标集｛1,2,…,n｝施行任意一个置换后，12(,,,)nfxxx都不改变，那么就称12(,,,)nfxxx为一个n元对称多项式.例如2221212(,,,)nnfxxxxxx.又如(,,)fxyz22222xyzxyxz22221yzxyz与(,,)()()()fxyzxyyzzx.也是对称多项式.由此可见，对称多项式也可以是齐次的，也可以数学竞赛3是非齐次的.利用待定系数法可以计算齐次对称多项式的同型项的系数.例5.求3()abc的展开式解3()abc的展开式是三次齐次对称多项式.设3()abc333()Labc222222()MababacacbcbcNabc.取1,0,0abc,得1L①取1,1,0abc,得822LM②取1,1,1abc,得27=3L+6M+N.③由①、②、③式解得L=1,M=3,N=6,于是3()abc333222333abcabbaac2223336cabccbabc.如果对n元多项式12(,,,)nfxxx的变数字母按照某种次序施行一次轮换后，得到与原来相同的多项式，那么就称12(,,,)nfxxx为轮换对称多项式.例如，222122331xxxxxx；333()()()xyyzzx；()()()xyzyzxzxy都是轮换对称多项式，轮换对称多项式不一定是对称多项式，例如，222xyyzxz不是对称多项式，但对称多项式一定是轮换对称多项式.三、多项式的恒等变形.一个多项式用另一个与它恒等的多项式代换称为多项式的恒等变形.由多项式乘法的某些特殊情形的结果而形成多项式恒等变形的常用公式：（1）222()2xyxxyy；（2）222()2xyxxyy；（3）22()()xyxyxy（4）33223()33xyxxyxyy；（5）33223()33xyxxyxyy；（6）2233()()xyxxyyxy；（7）2233()()xyxxyyxy；（8）2()()()xaxbxabxab；数学竞赛4（9）211()nxxx2221212131222nnnxxxxxxxxx.（10）1221()()nnnnxyxxyxyynnxy（11）222()()xyzxyzxyyzzx3333xyzxyz.（12）()nxy011nnnncxcxy222nknkknnnnncxycxycy.其中0(1)(1)1.!knnnnnkcck(0,,)knkNnN.例6.已知xya，221xy，求证455(5)4aaxy.证：55432234()()xyxyxxyxyxyy42243223(2)axxyyxyxyxy22222[()()]axyxyxxyy[1(1)]axyxy.因为22222()()1xyxyxya，所以212axy，于是2245511(5)[1(1)]224aaaaxya四、多项式的因式分解多项式的因式分解与多项式相乘是相反的恒等变形过程，因此，多项式因式分解的基本方法是多项式运算法则与运算律的运用.例7.将(1)(2)(3)(4)1xxxx分解因式.解(1)(2)(3)(4)1xxxx[(1)(4)][(2)(3)]1xxxx22(54)(56)1xxxx222(54)2(54)1xxxx2222[(54)1](55)xxxx.例8.将51nnxx分解因式.解552211nnnnnnxxxxxx232(1)(1)nnnnxxxx数学竞赛5222(1)(1)(1)nnnnnnxxxxxx232(1)(1)nnnnxxxx例9.将432441369xxxx分解因式.解因为首项与常数项分别为完全平方式，于是，设43222441369(23)xxxxxmx.因为22(23)xmx432244(12)69xmxmxmx.所以44m，从而11n.因为2212(1)1213m，66m.所以，1m满足所设的等式，于是43222441369(23)xxxxxx.例10.将555()xyxy分解因式解555()xyxy5432234510105xxyxyxyxy555yxy32235(22)xyxxyyxy335[()2()]xyxyxyxy225()()xyxyxxyy例11.把5555()xyzxyz分解因式分析和解:不难看出，当xy时，已知多项式等于零，因此，多项式能被xy整除.同样，当xz和yz时，多项式等于零.因此多项式能被xz和yz整除.因此，我们可以肯定多项式能被()()()xyxzyz整除.这个结果可以说明，多项式可以写成2()()()(,,)xyxzyzPxyz的形式，其中2(,,)Pxyz是二次多项式，由于已知多项式和()()()xyxzyz是齐次和对称多项式，所以2(,,)Pxyz也应当是齐次和对称多项式，也就是说，它可以写成：222()()AxyzBxyxzyz，其中A和B是待确定的系数.假定恒等式5555()xyzxyz=()()()xyyzzx数学竞赛6222[()()]AxyzBxyyzzx中先取1,1,0xyz，然后取1,1,1xyz，得到215AB，10AB，解得5,5AB.于是5555()xyzxyz5()()()xyyzzx222()xyzxyyzzx.例12.求证：有无穷多个自然数a，使得4zna对于任何非零自然数n均为合数.分析:根据题意，应设法找到无数个自然数a，使得4na能分解成两个大于1的自然数的积.不妨取1,2,3,4,a去试，会发现a是4的倍数时，用拆项、添项、配方较为方便.进一步探索发现a为44k形式的数，能使z分解因式.解设44ak（k为大于1的自然数），则444znk422422444nknkkn=2222(2)(2)nkkn=2222(22)(22)nkknnkkn.因为1k，222222()1nkknnkk，222222()1nkknnkk.所以z能分解为两个大于1的自然数之积，又k是任意大于1的自然数，有无穷多个值。例13.已知a是自然数，向4239aa是质数还是合数？分析质数只有1和它本身两个约数，而合数除了1和它本身还有别的约数，要判定4239aa是质数还是合数，关键看它能否分解因式，并且有没有除了1和它本身以外的约数.数学竞赛7解4242239(69)9aaaaa222(3)(3)aa22(33)(33)aaaa.当0a时，42399aa是合数.当1a时，42397aa是质数.当2a时，423913aa也是质数.当2a时，2331aa，233(2)(1)11aaaa，这说明，此时4239aa可以分解为两个大于1的自然数的积，即它为合数.所以，当1a或2时，4239aa是质数；当0a或2a时，4239aa是合数.例14.解不等式1210864353210xxxxx.解分组分解：121081086()(222)xxxxxx864(444)xxx64242()(1)0xxxxx，可得864242(241)(1)0xxxxxx，所以4210xx，即221515022xx，所以2152x，即151522x例15.设,,abc是三角形的三边，求证几何不等式数学竞赛822()abc22()bca22()cab3332abcabc.证：由于0,0,0abcbcaacb而2222()()abcbca22333()2cababcabc222222(2)(2)abcbcabacacb222(2)cababc2222()()abcabacb22()cabc()()()0abcbcaacb.从而要证的不等式成立.五、高次方程1．三次简化方程的韦达公式如果123,,xxx是方程320xpxqxr的根，那么有123xxxp,122331xxxxxxq