振型分解反应谱法

四、振型分解反应谱法in多自由度弹性体系的振动方程)(}]{[)}(]{[)}(]{[)}(]{[0txIMtxktxCtxM振型矩阵]}{}{}[{][21nXXXA令}]{[)](}{)(}{)(}[{)}({2211qAtqXtqXtqXtxnn其中称广义坐标q代入振动方程，前乘后利用振型的正交性，得TjX)(0***txIMXqkqCqMTjjjjjjj其中jTjjjTjjXCXCXMXM**jTjjXkXk*)(202txqqqjjjjjjj其中，nijiinijiijTjTjjxmxmXMXIMX121第j振型参与系数的物理意义：质点i受荷（总的作用),单位质量上受荷，有分配到j振型上jj)(0txmi其中dtexttjtjjjj)(sin)()(0)(01第j振型mi的位移(第j振型）jjtjtjjjtdtxetqjj)()(sin)()(00)()(0txjjji)t(x全部振型mi的位移njjijjinjjijjix)t()t(xx)t()t(x11（全部振型）11njjijx质点i的惯性力njjijnjjijjiiiitxxtxxttxtxtxmtF10010)()()()()]()([)(第j振型i质点的水平地震作用Fji(t))]()()([)(0txxtxtmtFjijjijjiji最大Fji（惯性力）max0)]()([txtxmFjjijiji)(tj单自由度体系，自振频率为，在的作用下的加速度。jj,)(0txmax0)()(txtj),(jjaSjT于是ijjijjiGxF其中jjxjjjij振型的水平地震影响系数振型i质点水平相对位移幅值振型的振型参与系数)(jTjijkFF用静力方法就可以求出第j振型的地震作用效应。如地震作用下j振型产生的层间剪力nikjkjiFV就可以求出每个振型的地震作用效应。考虑全部振型的地震作用效应2jSSSRSS法(thesquarerootofthesumofthesquares)取多少个振型，一般2—3个。T11.5s时或高宽比较大（大于5）的房屋适当多取几个。总结：多自由度弹性体系振型分解反应谱法解题步骤（1）求T1,T2…..Tjjxxx,......,,21j,......,,21(2)j,......,,21(3)计算振型参与系数j,......,,21（4）计算各质点各振型的地震作用及地震作用效应ijijjjiGxFSj（地震作用效应）（5）求总的地震作用效应SRSS法2jSS例3—4三层结构，80，北京Ⅲ类场地。多遇地震的层间地震剪力,ζ=0.05tm2701tm2701tm1801解：（1）求T1,T2,T3(方法后面要讲实用方法）sTsTsT134.0208.0467.0321000.1035.3019.4000.1666.0667.0000.1667.0334.0321TTTXXX（2）求321,,155.0)467.045.0(16.0)(0.1,16.09.09.0max12max1TTg16.0max32（3）求振型参与系数（4）求惯性力Fji=jjxjiGi(按振型）（5）求层间剪力Vji(按振型）（6）求321,,2jSS可以发现，组合后的地震作用效应与第一振型的地震作用效应几乎相等。3—5计算地震作用效应的底部剪力法振型分解反应谱法，计算比较复杂，有些结构可以采用简化计算方法。即底部剪力法。适用条件：高度不超过40m，以剪切变形为主，质量和刚度分布较均匀。满足以上条件的结构，结构的地震反应以第一振型为主，第一振型接近于一条直线。可采用底部剪力法。这时计算水平地震作用效应可大大简化。一、底部剪力的计算由振型分解法，第j振型产生的结构总的水平地震作用剪力标准值。EKF底部剪力niijijjniijijjnijijoGGxGGxFV11111式中（结构总重量）niiGG1则结构总的水平地震作用（底部剪力）cGxGVFnjniGGjijnjjoEKij1112112)(1其中njniGGjiiic112)(1c等效系数(高振型影响系数)当结构各质点的质量相等，并在高度上均匀分布时，1215.1nnc75.011cncn抗震规范规定85.0ceqEKGF1（底部剪力作用的标准值）EKeqFG1基本周期的水平地震影响系数由T1查设计反应谱结构等效重力荷载代表值结构总的重力荷载代表值的85%总的水平地震作用标准值（结构底部剪力标准值）二、各质点水平地震作用标准值的计算结构振型以第一（基本）振型为主，且基本振型接近直线则i质点的水平地震作用角度（过渡变量，下面将消去）质点i的计算高度kF1kiHHiiiiiGHGxF11111iH（角度）总的水平地震作用nlllnllEKGHFF1111于是EKGHGHiFFnlllii1三、顶部附加地震作用的计算经过计算发现底部剪力法对于层数比较多的结构（自振周期长T1≽1.4Tg），顶部水平地震作用计算结果偏小，所以规范规定：将总的地震作用拿出一部分，作为集中力作用在顶部。EKnnFF顶部附加地震作用系数gT1T由于是将各个质点的作用拿出一部分放在顶部进行修正，所以，各质点要把那一部分水平地震作用减去。)1(1nEKHGHGiFFnkkkii对于顶部突出屋顶的建筑物（如女儿墙、烟囱、屋顶间等）计算其地震作用效应时，将结果乘放大系数3（相当于增加两倍），增加的两倍只在计算这些突出屋顶的建筑物时考虑，不往下传。例3—5用底部剪力法求层间剪力解：（1）等效重力荷载代表值sT467.01Tg(s)δn≤0.350.08T1+0.070.35∽0.550.08T1+0.01≥0.550.08T1-0.02kwGGnjieq6.599785.01（2）求水平地震影响系数1155.0)(16.09.0max1max1TTg（3）计算结构总的水平地震作用标准值kNGFeqEK7.9291（4）计算各层的水平地震作用标准值)0,4.1(1ngTT9.3719.3719.185313331223111321EKHGHGEKHGHGEKHGHGFFFFFFkkkkkkkkk（5）求层间剪力321FFF333223211FVFFVFFFV与前面的计算结果很接近说明底部剪力法的计算结果是可靠的。1m2m1k2k例如图已知8度，设计地震分组为一组的地区，场地条件为Ⅰ类，试用振型分解法及底部剪力法计算该框架的层间剪力mknkmknktmtm/103/1055060424121解⒈自振特性刚度矩阵mknmknmknkkk/108/103/1054442111mknkkk/103422112mknkk/103422200002121222211211xxmmkkkk00021222211211mmkkkk0222221121211mkkkmk05010310310360108244424015058.000003.024sradsrad/32.408.1625/54.176.307222121488.011031086.307604412112111112kkmXX71.111031088.1625604412112211112kkmXXsTsT156.02358.022211⒉用振型分解反应谱法计算000.1710.1000.1488.022211211XXXX第一振型iiiGxF11111158.016.0358.025.09.0max9.011TTg第一振型参与系数23.1150488.060150488.0602221212111iiiiiixmxmkNF9.408.960488.023.11158.011kNF8.698.950123.11158.012第二振型iiiGxF222216.0max2第二振型参与系数233.0)1(5071.160)1(5071.1602221222122iiiiiixmxmkNF5.378.96071.1233.016.021kNF3.188.950)1(233.016.02225.0156.01.02gTsTs⒊用底部剪力法计算⑴结构总水平地震作用第一振型第二振型KN5.37KN3.18KN2.19KN3.18KN9.40KN8.69KN7.110KN8.69平方和开平方法KNVVV4.1122.197.110222212111KNVVV2.723.188.69222222122KN4.112KN2.72总层间剪力eqEKGF1KNGGGeq916)(85.01158.0211⑵各质点的地震作用KNGFeqEK1.1061顶部附加作用)1(1nEKnllliiiFHGHGF由于sTsTg35.04.1358.01所以0986.007.008.01TnKNFHGHGFnEKlll9.35)0986.01(88.95048.96048.960)1(21111KNFHGHGFnEKlll8.59)0986.01(88.95048.96088.950)1(21222KNFFEKnn5.101.1060986.0KN4.112KN2.72KN2.106KN3.70KN9.35KN8.59KN5.10底部剪力法振型分解反应谱法