数值分析课件 (第4章)

机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列第四章数值积分和数值微分内容提要4.1引言4.2牛顿-柯特斯公式4.3复化求积公式4.4龙贝格求积公式4.5高斯求积公式4.6数值微分机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列4.1引言一、数值求积的基本思想对定义在区间［a,b］上的定积分)()()(aFbFxxfIbad但有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分复杂，难于求出或计算；另外如被积函数是由测量或数值计算给出的一张数据表示时，上述方法也不能直接运用。因此有必要研究积分的数值计算问题。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列).)(()(abfxxfIbad积分中值定理告诉我们：平均高度f(ζ)aζbyxy=f(x)0机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列af((a+b)/2)byxy=f(x)0abyxy=f(x)0梯形公式d)(2)]()([)(abbfafxxfTba平均高度中矩形公式平均高度d)2()()(bafabxxfRba机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列。则称该求积公式具有立成次的多项式等式不准确一个都准确成立，而对于某的多项式对于所有次数不超过若某个求积公式次代数精度定义1mmm,1更一般地，我们构造具有下列形式的求积公式求积节点求积系数这类数值方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难。二、代数精度的概念)()(0knkkbaxfAxxfd机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列代数精确度。因此梯形公式具有一次右边左边右边左边当右边左边右边左边当右边左边右边左边当令代数精度梯形公式)(2][)(3)(33]3[,)(22)(2][22]2[,)()(2][,1)(,....,1)())(2)]()([)((223332222222ababaabbabxxxxxfabababxxxxxfabababxxfxxfabbfafxxfTbabababababa22abdabd11d1d机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列1,,()()()1hhfxdxAfhBfx确定下面公式中的待定参数使其代数精度尽量高并指明所构造的求积公式所具有的代数精度例4-利用代数精度的概念构造求积公式212231:()1,,,2023fxxxABhhABxhABxh解令代入公式并令其相等，得机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列)(knkknknfxlxLnkfxfbxxxa010)()(,,,2,1,0)(值多项式作拉格朗日插在这些节点上的值且已知设给定一组节点133334112,,.3231()[()3()]23(),140()3()239hhhhxhAhBhhfxdxfhfhfxxhxdxhhh，解得于是再令得故求积公式具有2次代数精度。三、插值型的求积公式机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列0(1),()()()()[]()()()(1)!banbbnnkkaaknbbnnaaIfxdxILxdxlxdxffRfIIfxLxdxxdxnn于是得到积分的近似值这样构造的求积公式称为插值型的求积公式。它的余项为这时的求积公式至少具有次代数精度梯形公式余项344()()[]=()()=(),(,)212[]=()(),(,)1802bafbaRfxaxbdxfabbabaRffab（）：同理，辛普森公式余项：4.2牛顿-柯特斯公式一、牛顿-柯特斯公式的导出机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列.C-C系数Cotes公式-Newton柯特斯称为），柯特斯公式（牛顿称为式构造出的插值型求积公在等距节点等分，步长做设将求积区间)(0)(,)()(,],[nknkknknkxfabIkhaxnabhnba柯特斯系数0()()(),0,1,,nbbnnkkaakbkkaILxdxlxdxfAlxdxknxath由插值型求积公式：知求积系数引入变换机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列()0000(1)Cd()d.!()!nknnnnnkjjjkjkhtjttjtbakjnknk则有公式不稳定出现负值时柯特斯系数表其中得到时当也称为得到抛物线公式时当得到梯形公式时当CNnabhkhaxxfxfxfxfxfabCnbfbafafabSxxfbfafabTxxfnkkbaba,84,)],(7)(32)(12)(32)(7[904)]()2(4)([6)(,2)]()([2)()(43210C,d,nd,1n.公式柯特斯(cotes)n)公式辛普森(Simpso机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列.1,次代数精度公式至少有阶则为偶数若nCNnn定理310101031101201[]1.859140921()(10)0.2265235,(0,1)12121[4e+]1.71886126110()(180242xxxedxedxeeeRfeedxeeRfe运用梯形公式、辛普森公式分别计算积分，并估计误差。解：运用梯形公式其误差为运用辛普森公式其误差为例41)=0.00094385,(0,1)28802880ee牛顿-柯特斯公式的代数精度机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列4.3复合求积公式一、问题与基本思想在使用牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n≥8时,牛顿.柯特斯求积系数会出现负数)，因而不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。为了提高精度通常采用将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式(梯形公式或辛普森公式)，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。本节只讨论复化的梯形公式和复化的辛普森公式。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列11111001[,][,],,(,0,1,,1),,()d()d[()()]()2T[()()]2kkkkknnbxkknaxkknkkkabnxxbaxakhhknnhIfxxfxxfxfxRfhfxfx将区间等分为个小区间其中并在每个小区间上应用梯形公式则得复合梯形公式记11013-1102[()2()()]2()[()],(,)12-(),(,)12nnkknnnkkkkkhfafxfbhRfITfxxbahfab称为复合梯形公式，余项为二、复合梯形公式机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列1211212110110110[,],()d()d=[()4()()](),6S=[()4()()]6kkkkknbxaxknkknkknnkkkkxxxIfxxfxxhfxfxfxRfhfxfxfx记的中点为，在每个小区间上应用辛普森公式则得复合辛普森公式记121101=[()4()2()()]6nnkkkkhfafxfxfb称为复合辛普森公式三、复合辛普森公式机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列4-1(4)104(4)()S(),(,)1802(),(,)1802nnnkkkkkhhRfIfxxbahfab余项为：10sin(),8sindxfxnxxIxx对于函数给出时的函数表，试用复合梯形公式及复合辛普森公式计算积分。例4-3xi01/81/43/81/2f(xi)10.99739780.98961580.97672670.9588510xi5/83/47/81f(xi)0.93615560.90885160.87719250.8414709机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列841(0)1131537(1)[()()()()()()()]82848284820.9456909.11357(0)4[()()()()]4688881132[()()()](1)0.9460832424ffTfffffffSfffffffff20-3sin[0,]2104241Ixdx计算积分，若用复合梯形公式，问区间应分多少等份才能使误差不超过，若取同样的求积节点，改用复合辛普森公式，截断误差例是多少？机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列(4)22-3323-3()cos,()sin,()sin,2,-11()()10,(0,)2121222210,25.416,26[0,]482261102nfxxfxxfxxbabaRfhfnnnn解：由于,故复合梯形公式要求（）即取,即将区间分为等份时，用复合梯形公式计算，截断误差不超过4(4)4-9-()()0.726630310180218022SbahRffn。用复合辛普森公式，截断误差为（）机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列1211110011[,][,],,[()()][()2()()].22[,]2,[,]2kknnnkkkkkkkkkkbaabnnxxhnhhTfxfxfafxfbxxabnxxx把区间作等分得个小区间则复合梯形公式把区间作等分记的中点，则复合梯形公式4.4龙贝格求积公式一、梯形法的递推化(变步长求积法)机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列121212121011100101[()2()()]22[()()]()421().22nnkkkknnkkkkknnkkhTfxfxfxhhfxfxfxhTfx于是可以逐次对分形成一个序列{T1,T2,T4,T8,…},此序列收敛于积分真值I。当|T2n-Tn|ε时，取T2n为I的近似值。以上算法称为变步长求积法。但由于此序列收敛太慢。下节我们将其改造成为收敛快的序列。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列10sindxIxx利用变步长的梯形法求的例如近似值。956909.0)]87()85()83()81([81219445135.0)]43()41([41219397933.0)21(21219207355.0)]1()0([214824121ffffTTffTTfTTffT解：二、龙贝格算法如何提高收敛速度以节省计算量是龙贝格算法要讨论的中心问题。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列21122221222222()(,)12()(,)122()()143441441nnnnnnnnnnnbaIThfabbahITfabffITITTTITTTITTｎ假定，则有整理，移项得（）于是　　记　　Ｓ＝这样我们从收敛较慢的{Tn}序列推出了收敛较快的{Sn}序列。可以证明{Sn}序列实际上就是逐次分半的复化辛普森公式序列。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列14463163641441511516.1513232222222