弹性力学-04(习题答案)

第四章平面问题的极坐标解答（习题讲解）习题4-1试导出位移分量的坐标变换式sincosvuurcossinvuusincosuuurcossinuuvrrASuvruuxyo习题4-2设有内径为a而外径为b的圆筒受内压力q，试求内半径及外半径的改变，并求圆筒厚度的改变。解：轴对称问题的径向位移公式（平面应变）：sincos)21(2KICrBrrBrrAEur)41()1(ln)21(21对于圆筒轴对称问题，有ur不随变化，即0KICrrAEur)21(21又由位移单值条件，有0B常数A、B由应力边界条件确定。应力分量：CrAr22边界条件：qarr0brrqCaA22022CbAqabbaA2222qabaC2222CrrAEur)21(21qabbaA2222qabaC2222rrbqabEaur)21()(122221)(122222ababqEauarr)(21222ababEaqubrr112ababqEauuarrbrr习题4-3设有刚体，具有半径为b的圆柱形孔道，孔道内放置一外半径为b而内半径为a的圆筒，受内压力q，试求圆筒壁的应力。解：刚体边界条件：qarr0arr0brruCrrAEur)21(21CrAr22代入边界条件，有qCaA220)21(2CbbAqabbaA2222)21()21(qabaC222)21(2CrA220r将常数A、C代入，有将常数A、C代入，有)211()21(222222rbqabba)211()21(222222rbqabbar刚体CrAr22CrA220rqabbaA2222)21()21(qabaC222)21(2)211()21(222222abqabba)211()21(222222abqabbararq习题4-4矩形薄板受纯剪，剪力集度为q，如图所示。如果离板边较远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。qqqqqqqq45°解：xyrqqxyr(a)由图（a）给出的孔边应力结果：)2cos21(q得：)45(2cos21q)45(2cos21q2sin21q2sin21q2sin4qq4maxq4min习题4-5楔形体在两侧受有均布剪应力q，如图所示。试求其应力分量。xyOqq22解：（1）应力函数的确定),(r由因次分析法，可知)(2fr代入相容方程：011222222rrrr得到：0)(4)(122442dfddfdr0)(4)(2244dfddfdDCBAf2sin2cos)()(2fr)2sin2cos(2DCBAr（2）应力分量的确定DCBAr222sin22cos2DCBA222sin22cos2CBAr2cos22sin2)(2fr)2sin2cos(2DCBArxyOqq22由对称性，,r应为的偶函数；r应为的奇函数，因而有，0CB（3）由边界条件确定常数边界条件：DAr22cos2DA22cos22sin2Ar02qr2代入，有：02cos2DAqAsin2sin2qAcot2qD代入应力分量式，有22211rrrr22rrrr1DAr22cos2DA22cos22sin2ArxyOqq22代入应力分量式，有sin2qAcot2qDcotsin2cosqrsin2sinqrcotsin2cosqr习题4-6三角形悬臂梁在自由端受集中荷载P，如图所示。试用公式（4-21）求任一铅直截面上的正应力和剪应力，并与材料力学中的结果对比。xyO22P)sinsin(2rPr解：由密切尔（J.H.Michell）解答，得0,0r2sin2cos22rrrx2sin2cos22rrry2cos2sin2rrxy由应力分量的坐标变换式：2cos22rrx)2cos1)(sinsin(rP2cos22rry)2cos1)(sinsin(rP00rr)sinsinsinsincoscos(2rPr（4-21）——密切尔（J.H.Michell）解答2sin2cos22rrrx2sin2cos22rrry2cos2sin2rrxy2cos22rrx)2cos1)(sinsin(rP2cos22rry)2cos1)(sinsin(rP2sin2rxy2sin)sinsin(rP由坐标变换式：22yxrsin,cosryrx,)(sin22222yxyxPx,)(sin22223yxyPy,)(sin22222yxxyPxy,)(sin22222yxyxPx,)(sin22222yxxyPxyx2tanxh材料力学结果：截面弯矩xyO22PPxM截面惯性矩1223hI截面正应力IMyx2tan3233x2tan2332xPy,)(sin22222yxyxPx——弹性力学结果两者结果相差较大。习题4-7曲梁在两端受相反的两个力P作用，如图所示。试求其应力分量。xyrabOPP解：（1）应力函数的确定分析：任取一截面，截面弯矩为PyMsinrP)()(1rfMsin)(1rf22rsin)(rf将其代入相容方程：011222222rrrr0sin)(3)(3)(3)(2)(432223344rfrdrrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd0)(3)(3)(3)(2)(432223344rfrdrrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd（a）0)(3)(3)(3)(2)(432223344rfrdrrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd上述欧拉方程的解：rDrCrrBArrfln1)(3（b）代入应力函数为sinln13rDrCrrBAr（c）（2）应力分量的确定22211rrrr22rrrr1sin)22(3rDrBArsin)26(3rDrBArcos)22(3rDrBAr（d）边界条件：0arr,0arr0brr,0brr代入应力分量得：0223aDaBAa0223bDbBAb端部条件（右端）：Pdrbar0代入剪应力分量得：PrDrBArbaln122PabDbaabBabAln)(222222（f）联立求解式（e）、（f），得：xyrabOPP（e）00drba00rdrba自然满足22211rrrr22rrrr1sin)22(3rDrBArsin)26(3rDrBArcos)22(3rDrBAr（d）22211rrrr22rrrr1sin)22(3rDrBArsin)26(3rDrBArcos)22(3rDrBAr（d）,2NPA,222NbPaB)(22baNPD其中，abbabaNln)()(2222代入应力分量式（d），有：sin)(32222rbarbarNPrsin)3(32222rbarbarNPcos)(32222rbarbarNPr（f）xyrabOPP习题4-8设有无限大的薄板，在板内的小孔中受有集中力P，如图所示。试用如下应力函数求其应力分量。解：（1）应力分量sincoslnBrrAr提示：须要考虑位移单值条件。22211rrrr22rrrr1cos)2(rBAcosrAsinrA（2）确定常数rrr取一半径为r的圆板为隔离体，其上受力如图。由圆板的平衡，得,0xF0sincos20Prdrr代入应力分量，有rrr0sincos22022PrdrArBA0cos2sincos20222PdBA02PB代入应力分量，有2PB,0yF,0OM0cossin20rdrr020rdrcos)2(rBArsinrAr0cossin220dBA0sin20dA恒等式（3）由位移单值条件确定常数A由物理方程与几何方程：rrrcos)2(rBArcosrAsinrAr2PB其中：应力分量：)(1rrrErucos)2(1ABArE积分得：)(cos)2(lnfABAErur代入：)(11rrEurrucos)2(1BAArEruucos)2(1BAAE将ur代入积分得：)2(ln)2(sinABArBAAEu)()(rgdf)(1rrrEru)(11rrEurrurE12ruruurrr1rE12ruruurrr1将uru代入r,rAEsin12dfBBAEddf)(sin)2(2)(0)()(rgdrrdgr要使上式对任意的r、成立，有LdfBBAEddf)(sin)2(2)(Lrgdrrdgr)()(LJrrg)(其中：L为常数。（a）（b）求解式（a），有（c）将式（b）变为：0)(cos)2(2)(22fBBAEdfd（d）0)(cos)2(2)(22fBBAEdfd（d）求解式（b），有sin2sincos)(EB