导数及其应用复习小结

复习与小结微积分导数定积分导数概念导数运算导数应用函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线斜率基本初等函数求导导数的四则运算法则简单复合函数的导数函数单调性研究函数的极值、最值曲线的切线变速运动的速度面积功积分定义的含义微积分基本定理的含义微积分基本定理的应用路程定积分概念微积分基本定理最优化问题知识结构①函数的平均变化率fx121)()fxxx2f(x函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为:②函数的瞬时变化率'()lim()fxfxx0x121)()limfxxx2f(x21xx()limfxx0x导数变化率与导数0)(,)(.1'xfcxf则若1')(,)(.2nnnxxfxxf则若xxfxxfcos)(,sin)(.3'则若xxfxxfsin)(,cos)(.4'则若aaxfaxfxxln)(,)(.5'则若xxexfexf)(,)(.6'则若axxfxxfaln1)(,log)(.7'则若xxfxxf1)(,ln)(.8'则若基本初等函数的求导公式导数的运算法则法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:()()()()fxgxfxgx法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:()()()()()()fxgxfxgxfxgx法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:'00000()()()limlimxxfxxfxykfxxx切线PQoxyy=f(x)割线切线T（1)如果恒有f′(x)0，那么y=f（x)在这个区间（a,b)内单调递增；（2)如果恒有f′(x)0，那么y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内函数的单调性aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf（2)如果a是f'(x)=0的一个根，并且在a的左侧附近f'(x)0，在a右侧附近f'(x)0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值.函数的极值（1)如果b是f'(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f'(x)0，在b右侧附近f'(x)0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值注：导数等于零的点不一定是极值点．xy0abx1x2x3x4f(a)f(x3)f(b)f(x1)f(x2)gg在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.函数的最值xy0abx1x2x3x4f(a)f(x3)f(b)f(x1)f(x2)gg复合函数的导数注:y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为:;xuxuyy[()]()().xfxfux或返回过p(x0,y0)的切线求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法(2)取近似求和:任取xi[xi1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为x的小矩形面积f(xi)x近似之。(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xiy=f(x)xyObaxi+1xix1lim()niniSfxx1()niiSfxx(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度△xban11211,,,,,,,,,iinaxxxxxxb定积分的定义11()()nniiiibafxfnxx小矩形面积和S=如果当n∞时，S的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作baf(x)dx，即baf(x)dxni10limf(xi)xi。从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.1()lim()ninibafxdxfnxba即baIdxxf)(iinixf)(lim10x被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限说明：(1)定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，定积分的几何意义Oxyabyf(x)baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时，积分dxxfba)(在几何上表示由y=f(x)、特别地，当ab时，有baf(x)dx0。当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，xyOdxxfSba)]([，dxxfba)(．abyf(x)yf(x)dxxfSba)]([baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。S上述曲边梯形面积的负值。积分baf(x)dx在几何上表示baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。S定积分的基本性质性质1.dx)]x(g)x(f[bababadx)x(gdx)x(f性质2.badx)x(kfbadx)x(fk性质3.bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f牛顿—莱布尼茨公式()|()()()bbaafxdxFbxFFa或定理（微积分基本定理）如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F'(x)=f(x),则bafxdxFbFa()()()微积分常用积分公式''1'1''''(1)()|(2)()|1(3)(sin)coscossin|(4)(cos)sinsincos|1(5)()ln|ln(6)()|11(7)(log)lnbbaanbnnnbaabbaabbaabxxxxbaabxxxxbaaacxccdxcxxxnxxdxnxxxdxxxxxdxxaaaadxaaeeedxexxa'log|ln11(8)(ln)ln|bbaaabbaadxxxaxdxxxx由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：（1）画草图，求出曲线的交点坐标（3）确定被积函数及积分区间（4）计算定积分，求出面积（2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积定积分在几何中的应用(1)匀变速运动的路程公式.做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间［a,b］上的定积分，即(2)变力作功公式一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向,从x=a移动到x=b(a＜b)(单位：m),则力F所作的功为basvtdt.baWFxdx.定积分在物理中的应用课外作业P65-66复习参考题A组1--12P66-67复习参考题B组1--7