导数及微分习题

练习题（极限、导数与微分）P●x0x0yfx函数与极限2lim1xxxx21lim1xxxxx32lim1xxxx323111lim1xxxxx2111lim21111xxxx求2013sincoslim1cosln1xxxxxx2013sincoslim1cosln1xxxxxx解：2013sincos1lim2ln1xxxxx2013sincos1lim2xxxxx201cos13sinlim2xxxxxx32函数与极限函数与极限21limxxex01limxxex212e000lim10xxeeex01limxxex01limln1xuueuu1011lim1lnln1uueuxxee函数与极限2tan2lim13cotxxx3tan13cot2lim13cotxxxx当0x时，2232xxxx与相比，哪一个是高阶无穷小？解：因为22320022limlimxxxxxxxxx所以当0x时，是高阶无穷小。23xx2cos11sincos10lim1cos1xxxxx222002sincos12limlimsinsinxxxxxx其中:220212lim2xxx12e函数与极限21sin0limcosxxx21sin0limcosxxx其它方法：2211122sin22sin00lim1sinlim1sinxxxxxxe222002sincos12limlimsinsinxxxxxx另外20222sin2lim4sincos22xxxx或200cos111limlimsin1cos2xxxxx函数与极限函数与极限0lim3,2xxfx设求03limxfxx解：03limxfxx02332lim2ufuxuu12要使函数处处可导，必须（）。22,0()1,0xeaxfxxbxx()1,2;()1,2;()1,2;()1,2.AabBabCabDabC00200limlim22limlim11xxxxxfxeaafxxbx1a000200122limlimlim221limlimxxxxxxxfxeexxfxxbxbxx2b设在处可导，2,1,1xxfxaxbx1xab问常数与应取什么值？并求。1f解：函数在处可导，故也连续。1x1lim11xfxabf所以因为2111lim21xxfx111lim1xaxbfx1lim1xaxbabax所以得：2,1,12abf导数与微分导数与微分设2log3,xyx求y2ln3lnxyx解：22221lnln33lnxxxxxyx222222ln3ln33lnxxxxxxx导数与微分设sin,xyx求ysinlnxxye解：sinlnxxesinlnsincoslnxxxyexxxsinsincoslnxxxxxx（此题也可利用对数求导）导数与微分设sin,xyx求ylnsinlnyxx解：1sincoslnxyxxyxsincoslnxyyxxxsinsincoslnxxxxxx导数与微分设sinsin,xxyxx求ysinlnsinlnxxxxyee解：lnsinsinlnxxxxeesinlnsincoslnxxxyexxxlnsinlnsincotxxexxxsinsincoslnxxxxxxsinlnsincotxxxxxsin1sincoslnxxyxxxx2sinlnsincotxyxxxx解：令sin12,sinxxyxyx12......yyy导数与微分设sinsin,xxyxx求y12lnsinln,lnlnsinyxxyxx分别取对数：求曲线1yxx过它与横轴交点处的切线方程解：令0y得1x1211,2xyyx1,0过点的切线方程：21yx1,0过点的切线方程：21yx导数与微分在曲线上求一点，使过该点的切线211yx平行于轴，并写出该切线方程。x解：2221xyx令0,y得0,x01xy得0,1过点的切线平行于轴。x导数与微分切线方程式是：1y在曲线上求一点，使过该点的切线2yxx平行于直线，并写出该切线方程。53yx解：21yx令5,y得2,x26xy又切线方程式是：652yx2,6过点的切线平行于。53yx导数与微分求曲线221yx过点2,21P的切线方程。解：显然点P不在曲线上设所求切线的切点是200,21xx421yx因为所以过点2,21P的切线是0214212yxx将切点代入：200021214212xxx故所求的过点2,21P的切线有两条：21122,yx21282yx解得：0013xx或导数与微分导数与微分证明：双曲线是任一点处的切线与两坐标轴2xya构成的三角形的面积都有等于2a解：2xya2ayx22ayx在任一点处的切线方程：00,xy20000200yayyxxxxxx令得002,yxx令得002,xyy即切线在两坐标轴上的截距分别是和0022xy所述的三角形的面积20000122222Sxyxya0.01米/秒的速度减少，以0.02米/秒的速度增加，y某长方形的两边长用和表示，若以xxy问当米，20x15y米时，长方形面积的变化率。解：由题设：0.01,0.02xtytAtxtyt长方形面积Atxtytxtyt长方形面积的变化率：设当米，20x15y米时的时刻为0t则所求为：00000Atxtytxtyt0.0115200.020.25（米2/秒）导数与微分导数与微分证明：设tanyu有2secyu当00,uux时，tan0tan0tan0yux2sec01dyduux即：tanxx当较小时，证明有近似公式xtanxx若函数在fx,ab内具有二阶导数，且导数与微分123,fxfxfx其中123,axxxb证明：在12,xx内至少有一点,使得0f证明：因为分别在fx1223,,,xxxx上满足罗尔定理条件，所以存在112223,,,xxxx使120ff从而函数fx在12,上满足罗尔定理条件，故存在1213,,xx使得0f导数与微分设fx在0,a上连续，在0,a内可导，且0,fa证明：存在一点0,,a使0ff则yfxxfx解：令,yxfx因为00xxayy所以0,ya在上满足罗尔定理条件故存在一点0,,a使0ff导数与微分使01fxdxf解：令01xyxfxdx因为010xxyy所以0,1y在上满足罗尔定理条件故存在一点0,1,设fx在0,1上连续，证明在中至少存在一点0,1,则01xyfxdxxfx使010fxdxf01fxdxf即得证。导数与微分ufue证法一:设，则ufue当时，由拉格朗日中值定理，存在0x,0x使1xeex因为，所以1xeexx1e1xex从而当时，由拉格朗日中值定理，存在0x0,x使1xeex因为，所以1xeexx1e1xex从而0x时，有不等式：1xex证明，当导数与微分设lim,limxxfxkfxafx求解：由拉格朗日中值定理，,,xxaxax存在或limlimxfxafxfaak使fxafxfa所求得的点总是位二区间的中点。试证明对函数应用拉格朗日中值定理2ypxqxr证明：对任意给定的一个区间,ab2ypxqxr显然函数在其上满足2ypq拉格朗日中值定理的条件。故存在使,ab22pbqbrpaqarpbaqba2ab得证。导数与微分讨论函数11121,0,0xxxxefxex在点0x处的连续性。1121ln111lnln1lnxxxxxuuxeexxx200011ln1111limlimlim2212xxxxxxxxx故函数在点0x处的连续。120limxuxe导数与微分设215lim31xaxbxx求,.ab解：记251axbxyx因为当1x时y收敛，所以21lim50xaxbx即50ab......12115limlim231xxaxbxaxbx又得23ab......2解联立方程（1）、（2），得2,7ab导数与微分设215lim31xaxbxx求,.ab解：记251axbxyx因为当1x时y收敛，所以21lim50xaxbx即50ab2211555limlim11xxaxaxaxbxxx5ba1lim553xaxa2,7ab导数与微分设215lim31xaxbxx求,.ab解：记251axbxyx因为当1x时y收敛于3，故设25125axbxxx这时，确有215lim31xaxbxx所以2,7ab导数与微分211000limxxex21000limxxxe22210198983000100100100limlimlim222xxxxxxxxxexee2296942300100981009896limlim22xxxxxxee249005001002......l