【优选整合】人教A版高中数学必修五 2.3等差数列的前n项和 课件 (共37张PPT)

第二章数列2.3等差数列的前n项和1.数列的前n项和对于数列{an}，一般地称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝.[化解疑难]数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和.a1＋a2＋…＋an温故知新等差数列的前n项和[问题1]如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．问题1：共有几层？图形的横截面是什么形状？提示：六层，等腰梯形．探究新知问题2：假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？提示：(4＋9)×6＝78.问题3：原来有多少根钢管？提示：12×78＝39.问题4：能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an?提示：Sn＝a1＋a2＋…＋an，Sn＝an＋an－1＋…＋a1，相加：2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)，∴Sn＝na1＋an2.问题5：试用a1，d，n表示Sn.提示：∵an＝a1＋(n－1)d，∴Sn＝n[a1＋a1＋n－1d]2＝na1＋nn－12d.等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式Sn＝na1＋an2Sn＝na1＋nn－12d归纳小结[化解疑难]等差数列前n项和公式的特点(1)两个公式共涉及到a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前n项和．(2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．1.等差数列前n项和的有关计算[例1](1)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝12，S2＝a3，则a2＝__________；Sn＝________.(2)在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.(1)[解析]设公差为d，则由S2＝a3得2a1＋d＝a1＋2d，所以d＝a1＝12，故a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋nn－12d＝nn＋14.[答案]1nn＋14典例解析(2)[解]由an＝a1＋n－1d，Sn＝na1＋nn－12d，得a1＋2n－1＝11，na1＋nn－12×2＝35，解方程组，得n＝5，a1＝3或n＝7，a1＝－1.[类题通法]a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．1．已知等差数列{an}．(1)a1＝56，a15＝－32，Sn＝－5，求n和d；(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.跟踪训练解：∵a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－16.又Sn＝na1＋nn－12·d＝－5，解得n＝15，n＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝8a1＋a82＝84＋a82＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.2.已知Sn求通项公式an[例2]已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.(1)求{an}的通项公式；(2)判断{an}是否为等差数列？[解](1)∵Sn＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n＋3.例题解析又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，∴数列{an}的通项公式是an＝1，n＝1，－4n＋3，n≥2.(2)由(1)知，当n≥2时，an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4，但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．[类题通法]已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤：(1)当n＝1时，a1＝S1.(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2(如本例)．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1；当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5，则an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5)＝2n2－3n－2n2＋7n－5＝4n－5.2．已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n－2.跟踪训练此时若n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1，故an＝4n－5.(2)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1；当n≥2时，Sn－1＝3n－1－2，则an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3n－3n－1＝3·3n－1－3n－1＝2·3n－1.此时若n＝1，an＝2·3n－1＝2·31－1＝2≠a1，故an＝1，n＝1，2·3n－1，n≥2.3.等差数列前n项和的性质[例3](1)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()A．58B．88C．143D．176(2)等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求S110.例题解析(1)[解析]利用等差数列的性质及求和公式求解．因为{an}是等差数列，所以a1＋a11＝a4＋a8＝2a6＝16⇒a6＝8，则该数列的前11项和为S11＝11a1＋a112＝11a6＝88.[答案]B(2)[解]∵数列{an}为等差数列，∴S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100也成等差数列．设其公差为D，则S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋…＋(S100－S90)＝S100，即10S10＋10×92×D＝S100＝10.又∵S10＝100，代入上式，得D＝－22，∴S110－S100＝S10＋(11－1)×D＝100＋10×(－22)＝－120，∴S110＝－120＋S100＝－110.[类题通法]等差数列的前n项和常用的性质(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公差为k2d的等差数列．(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列{Snn}为等差数列．(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn－1.3．(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，则S13＝________.解析：因为a1＋a13＝a2＋a12＝2a7，又a2＋a7＋a12＝24，所以a7＝8.所以S13＝13a1＋a132＝13×8＝104.答案：104跟踪训练(2)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为()A．9B．12C．16D．17解析：由等差数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{bn}，且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是可求得b3＝5，b4＝7，b5＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9.答案：A[例4]在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值．[解]法一：由S17＝S9，得25×17＋17×17－12d＝25×9＋9×9－12d，解得d＝－2，∴Sn＝25n＋nn－12×(－2)＝－(n－13)2＋169.由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169.4.等差数列前n项和的最值例题解析法二：先求出d＝－2(同法一)，∵a1＝25＞0，由an＝25－2n－1≥0an＋1＝25－2n＜0，得n≤1312，n＞1212，即1212＜n≤1312.∴当n＝13时，Sn有最大值169.[类题通法]求等差数列的前n项和Sn的最值通常有两种思路(1)将Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋(a1－d2)n配方．转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．(2)邻项变号法：当a10，d0时，满足an≥0，an＋1≤0的项数n使Sn取最大值．当a10，d0时，满足an≤0，an＋1≥0的项数n使Sn取最小值．4．已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项an；(2)求{an}前n项和Sn的最大值．解：(1)设{an}的公差为d，由已知条件，得a1＋d＝1，a1＋4d＝－5，解得a1＝3，d＝－2.所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.(2)Sn＝na1＋nn－12d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2.所以n＝2时，Sn最大，且最大值为4.跟踪训练[典例]已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.求an及Sn.例题解析[解题流程]求an及Sn的值，应求a1和d.由a3＝7，a5＋a7＝26，可求首项a1和公差d，应列关于a1和d的方程组．已知条件→列出关于a和d方程组→a1和d的值→利用公式得出an和Sn.[规范解答]设等差数列{an}的公差为d，因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以有a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，4分解得a1＝3，d＝2，6分所以an＝3＋2n－1＝2n＋1，9分Sn＝3n＋nn－12×2＝n2＋2n.12分[名师批注]解决等差数列问题时，有以下几点容易造成失分(1)利用方程的思想联立求解在计算上容易出现失误，不能准确求出首项a1和公差d；(2)基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确；(3)判断一个数列是否为等差数列时，易忽略验证第一项．1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于()A．12B．13C．14D．15解析：由S5＝5a3＝25，∴a3＝5.∴d＝a3－a2＝5－3＝2.∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.答案：B当堂检测2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A．13B．35C．49D．63答案：C解析：法一：设数列{an}公差为d，a1＋d＝3，a1＋5d＝11，解得a1＝1，d＝2，于是S7＝7×1＋7×62×2＝49.法二：由等差数列前n项和公式及性质知S7＝7a1＋a72＝7a2＋a62＝7×3＋112＝49.3．已知数列的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝________.解析：∵an＝－5n＋2，∴数列{an}是等差数列，且a1＝－3，公差d＝－5，∴Sn＝n－3－5n＋22＝－n5n＋12.答案：－n5n＋124．在数列{an}中，a1＝32，an＋1＝an－4，则当n＝________时，前n项和Sn取最大值，最大值是________．解析：∵d＝an＋1－an＝－4，∴an＝－4n＋36.令an＝－4n＋36≥0，得n≤9，∴n＝8或9时，Sn最大，且S8＝S9＝144.答案：8或91445．在等差数列{an}中，(1)已知：a6＝10，S5＝5，求a8；(2)已知：a2＋a4＝485，求S5.解：(1)由已知a6＝10，S5＝5得a1＋5d＝10，5a1＋55－12d＝5，解得a1＝－5，d＝3，所以a8＝a1＋7d＝－5＋7×3＝16(或a8＝a6＋2d＝